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2025 届广州市普通高中毕业班冲刺题（一〉
数学
一、选择题z 本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
l 己知l集合，lf=lxl 2)
A.
4 已知互不相等的数据x. ’毛，码，句，乓，冉， l,f(.p（~均数为t，方差为s~ ，数据x. ’
毛，乓，句，冉，刊的方差为s；，则
2 2 t; """'si
A. S1 >S2 B ..
C. S1 2 < S2 2 D.1导与s；的大小关系无法判断
5. 四台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为 16.己知P为该回台某条町伐的l中点，
若一脱点从点p出发，绕着该回l台的侧面运动一罔后又回到点p，则i在剧l.O芷动的最短路
径长为
A. 16 B. 16../2
c. 87r D. 16万
6 已失叫子，π）， si 吵子，则sin
cos3 8
7
D -
A. J6 B. 一1 1 6 5 ·－－ . 1 门 6 oo
第 1 页共 4 页7. 如图，假设反老师家在M处，学校在N处， AB段正在修路要绕开，则反老师从家到学
校的最短路径共有（ ）条． ι重』
II口m口II
A. 23 B. 24 I r 「 ·？叫‘』~
C. 25 D. 26
A .”
A.
应1\1
1•
=
8. 如｜到. l~U 0 : x2 + y2 4 与x轴交于A、 B两点， A 、乌是分别过A 、 B的回0的切线，
过囚0上任意一点P作囚0的切线，分别交4 、乌于点C、 D两点，记血统AD与BC交
于点M ，贝lj点M 的轨迹方程为
)l
A. x2+y2 = l(y笋0) B 亏＋卢阳 0)
c 子＋y2=1川） D. f+y2 ＝加0)
二、选择题z 本题共3小题，每小题6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部边对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 己知1(1-x)” =ao ＋α，x＋α2X2 + ... ＋矶，x",(n 主 2, .n e N. ），则下列说法正确的是
A. 第 3 项的二项式系数为c,: B. 4202s除以3 的余数是 l
c. 各项系数的绝对值之和为2” ι)i :c一IY ， c； ι 寸 l ＝ （－） l ”［I+(-1)”+ ,, 1 1
~：“ 2" 2
10. 己知抛物线严、＝2px(p > 0）的焦点为F ，点A(4,4.fi）在此抛物线上，则
A. p=4
B. 若且线AF与抛物线有另一个交点为B，则IABl=9
，←巾 IJ>CI
c. 己知点c(-2,0），点P为抛J灿上的｝if., l一取最大值fj;J, IPFl=4
J1:FI
D. 已知点C(-2,0），点P为抛物线上的点，当直线PC与抛物线相切时， D,.PCF的外
接阻l(r'..i而积为4π
第 2 页共 4 页(
11. 若函数g(x）为函数f’。）的导函数，且对于任意实数Xo，函数值f(xo), f ’ xo)' g(xo)
均为递增的等差数列，则
A. 函数y=f(x）可能为奇函数 B. 爵数y=f(x）存在最大值
c. 函数y=f(x）存在最小值 o. 函数y=f(x）有且仅有一个零点
三、填空题z 本题共3小题，每小题5分，共 15分．
==
12. 复数z满足.＝＋6i (i为虚数单位〉，则z 的虚部为
13.n =I
l3. 己知数到｛an｝不是递增数列，且an 升’ ，则k 的取值范围为
[ 2k11 -k +I, /1注2
sine sin A
14. MSC的内角 A, B, C的对地分别为。， b，。己知c=2，一一＝一一一一， M和N
cosC 2-cosA
分别是MSC的亚心和内心，且MNI/BC. 则ρ＝
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤－
IS. (13 分）
如阁，已知在四梭机AIJCD-J::FGH中， AEJ.平而ABCD, M, N分别是DI/, J::F的中点．
（！〉求iiE: NH II 吁，e而AFM:
(2）牙EAtJ元ICD, AB=AE=2, AD=CD=I, ABl.EH,
E
求直线AN与平而AFM所成角的正弦值．
F伊士二J
＼广1：二~~M
A；！~－－－－－↓－－JD
B
16. (IS 分J
如图，在一条无限长的轨边上，一个质点在随机外力的作用＇F，川、位置。出发，每次向左
或向右移动一个单位的概率都为l ，设移动，1次后记质刷｛Jf也．宙．为X,,.
2
; x
(I) 求E（几） -4-3 -2 -1 0 1 2 3 4
(2）求E(X,,):
(3）指出质点最有可能位于哪个位置， ~1：说明理由．
第 3 页共 4 页17. (IS分〉
函数／（x)=ex-ax,aeR.
(I) 证明g 当a=I时，／（x)>lnx+l.
(2）当x泣。时，／（.i怜。＋1)2恒成立，求a的取值范围．
18. ll7 ~）
如图，已知椭圆C：兰＋i.=t 的左焦点为罚，点P是椭圆C上位于第一象限的点， M,
4 3
N是Y轴上的两个动点（点M位于X轴上方），满足PAIJ.PN且F;M J.J飞N，线段PN交x轴
于点Q.
(I) 若｜啡2，求点P的坐际$ y
M
(2）若四边形FiMPN其所形，求点M 的坐标s
IPQI
(3）求if.·一一一为定值．
"IQNI
x
19. ( 17分〉
若无穷数列｛an｝满足，窜，是E实数，当n注2时， la.-a._11 =max｛剑，a2，…，a，.＿.｝，则称μ，｝
是“L数列’气
(I) 若｛anJ是“L数列”且何＝I，写出04的所有可能值g
(2）设怡，｝是“L数列”，证明g {an｝是等差数列的充要制非是fanJ单调递减$怡，）是等比
数列的充要条件是｛a.｝单调递增s
(3）若｛a，.｝是“Y一数列”且是周期数列〈即存在E整数T，使得对任意正整数”，都有"7+11 =a.),
求集合｛1Si<2邸忡a.｝的元素个数的所有可能值的个数．
第 4 页共 4 页2025 年广州市普通高中毕业班（数学〉冲刺题（一〉参考答案
－、选择题z 本题共 8 1J、题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有－个选项是正确的．请把正确的选项填涂在警题卡相应的位置上．
I 1 I 2 I 3 I 4 Is I 6 I 1 I 8 I
I c I I I c I I c I I I
A D B D D
I. 【答案】 C
印刷叫xi~：到）＝（斗（x咐
所以AnB＝｛对I -m + 2,
又f(x)>-m+2可化为mx2 -mx-l >-m+2 ， 即m{x 2 - x + 1) > 3 ,
当xe[l,3］时， x~-x+l e[l, 7],
川1＞兰立在xe［叫上恒成立，
所以川市）阳’其中xe［叫
当x=l 时， x2 I有最小值为 l， 此时→土→有最大值为 3,
-x+
x--x+l
所以m>3 ，故实数m的取值范围舷p,+oo),
故边： D
c
4. ［答案］
第 1 页共 17 页Xi +X2 +t _
＋与＋X4 ＋乓＋x6
【解析】根据己知条件第一组数据的个数为7个，且 7
所以x.+X2 +X3 +X4 +Xs +x6 = 61 ,
s~ = (x1 -1)2 +(x2-1)2 +(x3-t)2 +(x~t)2 + (x5升＋（x6-tf ＋«升
f
_ ( X1 -I）！＋队一I)2 + ( x3 - I )2 + (X 4 - t )2 + (X s - t )2 + (x6 - t
- x. +x. +x, +x. 61
+x~ +x~
6
第二组数据的个数为6个，且平均数X＝ ’ l .l 4 ) 。 ＝τ＝t,
s2 一 （xi -1)2 +(x2-t)2 + （与－It + ( X4 - I t + (xs - I )2 + （与－tf
因为（x1 -t)2 +(x2 -t)2 +(x~ 1) I (x.i -t)2 +(x5 -t)2 +(x6 -t)2 > 0'
si.
所以s.2 <
故地： C
5. 【答案】 B
【解中斤） I'为，因台母线AB的中点， 01,02分别为上下底而的圆心．
把囚台扩成回锥，如图①所示，
则01A = 2,02B = 6,AB = 16,
=
由01Al/02B，有S..1 =- 8‘SB 子 24,SP 16,
囚制i：底而W•径υ、B~6，底面囚的周长为12万，母线长SB=24,
1节，＃
！可［以侧面展开图的扇形的囚心角为」二＝二，
24 2
如图②所示， ζ附＝%
则质点从点P出发，绕着该回l台的侧面运动…i型后又回到点P的棋短路径为在崩形
环AA’8’B中从P到P’的最短路径，
又因为弦pp’在扇形环AA’B’B内，所以该质点运动的最短路径为弦pp’，
所以PP'=.J否可否2=16.fi..
故~： B.
第 2 页共 17 页s
p
A
s
A’ P’ 8'
图① 图②
6. 【答J案】 C
阳杭】由叶cosθ＝豆两边平方，得sin
cos 2sin
2
ωω＝÷（ si仙cosθ）2 ＝~ ，
而sinB+cosθ＝.f2"sin（叫，什←｜ πjπ）
s巾＋~）＜ si川osH＝÷
0, •
11
si川cos 11－（川叫（si川
16.
c.
的坦布；，，
7. 【答喂】。
【解析】由M到N的最短路径需要向右走四段路．向卜走三段路， λ有c~ =35条路，
由M到A 的最短路径仍要向不7走I呵段wx，向上走一段路， λ有C~＝3条路，
由B到N的最短路径1前要向右走一段路，向上走两段路， ：.有C~＝3条路，
．·．由M到N不fl{>_过AB 的棋短路径有c~ -c~c~ = 26.
她j~： D
8. 【答案】 B
【解析】 法一：设点P(xo,Yo），当囚心0与切点P所成直线的幸悔不存在时，
即当点P(0,±2）时， 易知以C(-2,2).D( 2.2),
所以此时点M 为矩形ABCD的对角线的交点，即M(O,l):
当困心0与切点P所成直线的斜率存在时，则kop ＝丛，
Xo
第 3 页共 17 页因为OP1-CD ，所以切线CD的斜率为kco ＝－土＝立
山 kop Yo ’
又切线CD过点P(xo,Yo），所以切线CD的方程为y-yo ＝－芋（x-x0),
.TO
=
整型得引X·I J'o.V
足点P在囚O上，所以x~ + y~ = 4 ，故切线CD的方程为刚＋YoY =4.
4牛2x,
易知 A(-2,0 ),B( 2,0），在切线CD的方程中，令x=-2，则y＝气」，
J'O
4-2Xn ( 4+2汇） ( 4-2x,, )
l,DI I
令x=2 ，则y ＝一一~，所以「1-2. 一一_JL 2，一一＿＿＿：］＿
Yo ' Yo ) \. Yo )
4-2x.”
所以直线AD 的袋p在 ι - Yo - 2-Xo
., - -
R的－ *2γτ~
缸线AD(r.J方程为y＝主主（x+2),
2yo
4+2x0
直线BC的斜率 1 Yo 2+xu
'”"BC -－-2一-2 －-…－2y,’
2+x...
＿、
直线BC的方程为.r~ 写： lX-2)
rx
y＝导（川2)
=Xo
.. _
版业直线AD和直线BC的方程｛ 句：： ，解得i l：日’
i•-2
y＝二二立（x-2)
-2y，。
所川（吟）， 又乓 ＋y
因为切线CD分别交A 、儿于点C、 U内点， 所以切线不能为I，，儿， ll[lYo ;t 0,
且前述直线OP的斜率不存在时~flM{O,l）也满足上述方程，
所川的轨迹方程为二＋y2=1（严o).
第 4 页共 17 页法二： A(-2,0),B(2,0），设P（勺，Yo)
CD :x0x+ YoY =4,
A o 4-2x牛 4-2γ
令x=2，贝IJy ＝一一」， 则D(2，一一_Q_)
Yo Yo
o 4牛2Xn A牛？γ－
A
令x=-2，则l' ＝一一」， 则C(-2，一一__J!..)
Yo Yo
I --···
AD:y ＝丰产（x+2) ’ 、
’ E－
’ F
飞
又｛吁
[sc:y ＝－专ω） (2)
YoYc 16-4x02 4y02
(1）×（2）得： y2 ＝－一一（x2-4），又J'oYc＝ 一－－－－－，..－一＝ ----,=4
16 .., ~ Yo~ Yo~
卢卡
法三：设M(x，川，过点M作MH ..Lx轴，
·:BD11AC，二旦＝旦， .AC ＝血，同理BD ＝ 组‘
AC BA 2-x 21x
’ ’
γCD切圆0于点P,:.AC =CP,DB =DP‘丘「ο1,4 ＝ζCOP，ζBOD ＝丘DOP
:.LCOD＝飞，又DP..LCD,:. OI'2 = CP· DP
4IYI 4IYI
··一一二旦L=4，化简f!J：三＋ y2 = l(y 0).
:¢:
2-x 2+x
二、选择题z 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分， ，选对但不
金的得部分分，有选错的得0 分．
9.BCD IO.ABC 11. en
9. 【答案】 BCD
【解析】边项A，第 3 顶的二项式系数为r; .所以A错误：
选项 B, 420i.s =<3+1)阳＝czoi.s32oi.s1o + c202,3202411 + C！~：勺m叩＋... +C~. 3012oi.s
202.S 202.S 202.S 0
= (Cfg;f32叫。＋c;g;;32阳11 +CfgfJ32on12 + ... +C乌253112024)+ c:o2s3012阳
第 5 页共 17 页=3(CJ~3202410 +cJgit3202311 +CJg#3202212 + ... +C~o25l2024)+l,
所以 B正确：
=
选项C, laol+Iα，l+···+Iαnl=(l－←t)Y 2n ，所以C 正确：
选项D，等式在边＝ ~C，~吵
x. ι：，. I b ” 1 ” I I ”
L,r；（－一t +Cn（－一y =(1 －一r ＝（一y ,
f';t" 2 2 2 2
I I
：. 等式左边 ＝（一r-c”（－一r ＝（一r[1-(-1）”］＝（一r[l+(-l)'HI],
2 2
所以 D正确：
故地： BCD
10. 【答案】 ABC
阴阳对于儿因为点，4(4.4.J2）在抛物线y2 = 2px(p > 0）上，
所以J2=2px4 ，所以p=4 ，故A正确：
对丁 B，点F(2,0），直线AF 的斜率为主主二旦＝2Jl·
4-2
所以直线AF 的方程为y= 2.fix - 4..／言，
r y = 2.J2.x-4.fi
联立｛气 ， 可得x二，如＋4=0，计算可得Xi =I, X2 = 4,
[y- =8x
所以可得s(1.-2.Ji），所以IABl=9，故B 正确：
对于 C，分析可得，抛物线的准线为／：x=-2,
IPCI
当点P在原点时 一IPF一I 不是最大值，
’
当点p不在原点时，过点p作pp’il ，垂足为ρ’，
IP<:I
IP「I_ 1
在t>.PP'C中， LPP’C=90。，所以…－ － !PP’'I －一一一一一
IPFj sin LP'CP’
IPCI
所以当ζP’CP取最小值时 一IP一FI 取ll旦大值， 此时直线PC与抛物线相切，
’
设过C点的直线y = kx + 2k ( k :;t 0）与抛物线相切，
第 6 页共 17 页+( )x
代入抛物线方程得k2x2 4k2 -8 ＋牡2=0,
t -
得ll=( 4 k2 - 8 16扩＝0，解得k＝士I,
即x2-4x+4=0，解得x=2,
把x=2代入v' =8x得y＝土4,
所以P(2,4 ）·或P(2,-4），所以IPFl=4 ，故C 正确：
1忏 D，根据C选项，可得P(2，土4）， 当P(2,4）时，
显然， PF1-CF , PF = CF = 4 ，即t:.PCF为等服直角三角形，
所以其外接囚半径长等于其斜边长的一半．
=
又其斜边长PC=.JPF2 + CF2 4Ji，所以APCF的外接回半径为2J2
即外接回丽积为8π ，前D不正确．
V
户
P’
c ’
x
故选： ABC.
11. 【答案】 CD
【解析】由题意，在函数／（x）中，函数g(x）为函数f'(x）的导函数，
设d(:Xl=f’（x)-f(x) > 0，则dυ）＝g(x)-f’（x)> 0,
由题意可知： f(x)+ g(x) = 2／飞x） ，则dυ）=d(x), ~[I d’（川－d.(x)= 0,
故eγ（x）了exd(x）＝（坐到＝0
ea l ex }
d(x) _ _
则存在正实数。满足：一一－a ，即d(x)-a·ex ，即fυ）－f(x) ＝α·ex '
e
=
t& ＜：＿·＇！＇（~＂ f(x) （但I= a，存在实加满足： M=ax+b,
e'x l ex } e·
故f(x)=(ax +b) ·ex，α＞0,beR,
第 7 页共 17 页故fυ）= f(x）＋α·ex= (ax＋α＋b)·e"',
λ当xel -00,-£-11时， f’（x)<0 ，当xel _£__1，倒｜时， f’。）＞0,
\ a 1 \ a 1
f(x）在（叫－；－归调递减，在（－；－叫单调递增
•
对于 A, Fh f(x）的单调性可知，函数y= f(x）不可能为奇函数，故A错误：
可•t f B. 对任意实数x， 当x→捕时， f(x）→俑，
战函数f(x）没有最大值，故B错误：
b
对于 C, f(x）在X=---l时取得最小值，故C正确：
a
对于D，因为函数f(x）♂＝似＋b有且仅有一个零点－？，
而e-x > 0，故函数y=f(x）有1=ux有一个零点－立，故D正确，
a
故选z CD.
三、填空题z 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. -3 （寸 11. 3
10.
12. 【答案】 －3
【解析】 设z ＝α＋bi ，则α＋bi+6i＝α－bi， 自ll创＝－-2hi 得b=-3 ，故z的扉：古If~为－3.
故答案为： －3
13. 瞅】（~.~］
lk>O
【解析】 因为（川叫例数列，所以k
I
I = f
l:
-
4
-一
Nl·
一
11
」
1I
＝一.J一5
×
一
.
一
.[3
＝ 二二
15
二
.
.JH::
所以直线AN 与平丽 AFM所成角的正弦值为主二二．
15
16. 【答案】 （ 1 ) 0: ( 2 . 0: \3） 见解析．
【解析】 ； I ） 困题知’
X3 =-3,-1,1,3
' 1 组 l
P(X3 =-3)=Ct(-Y =-
, , 2 8
, 3
勾 I
P(X3 ＝一1)＝可（－）＇ =-
2 8
1 3
P(X3 =l)=GI <-Y> =-
2 8
1 3 1
P（只＝3）＝~（－） =-
2 8
, J
I 3 3 1
·.£(X3)=(-3）×一＋（－1）×一＋I×一＋3×一＝0
8 8 8 8
第 10 页共 17 页(2）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为t，则
Y~ B(n,_!_), X.=Y-(n-Y)=2Y-n, E(Y)=n·＿！＿＝旦， 又X,, =2Y-n ,
2 2
所以E(X.)= 2E(Y)-n = 0.
c*
I I
(3）由 （2 切， P(Y=k) =C~（→k （→n-k＝ 」， keN,k匀，
2 2"
二 2
吨，t 沟偶数时，｛C~｝中间的一项ci取得最大值，即Y＝旦时概率最大，此时x. =0,
2
所以质点最有可能位于位置。：
当呐奇数时，附中间的两项cY,cY取得最大值， t!ll y ＝号或Y＝平时概
率最大， 此时X，，＝一l或Xn=l ，所以加点般有可能位于位置－1或 I.
17. 【答案】 （I ）证明见解析： （2) (-'Xl,e-4j.
【解析】 C J ) a=l 时，要福Fe - x > .Jn x + I , t!ll ex - x一lnx一l>0.
设m（忖－山X l ，则m'(x)＝ιl÷ x>O.
顷，I（巾1!'-l-_!_, x>O，贝lj （吟＝ex＋斗＞。在（O.＋班） h恒成立
/11
x
所以m’（X) = e x - I －.；在（ω）上单调递增2
又m'(I)＝山0, m＇（~）＝山〈υ
则方程m＇川只有咐，设队，且X0 （~，｝）， e句 －）－土＝0
E
Xo
当OXo时， m’（x)>O.
所以’”（x）在（O,x0）上单调递减，在（句，＋∞）上单调递增
所以m忱叫川－Xo－川 ÷x0－）叫
因为X0el b,I I ，所以土＞ I , x0 < I , In X0 < 0 ,
’\ "1 I X0 ’ ”
所以士？忡。剧J
m(x)min > 0.
所以ex-x-lnx-1 ＞。在（0,+oo）上恒成立．
从而原命，也成立．
(2）当x注0时， f(x）注（x+1)2 => e .. -ax兰（x+l)2二：＞ ax~ex -(x+l)2.
第 11 页共 17 页当 x ＝ 时 AxUgA 」 L式 u 恒 iy 成 LH R ” RH ’· Hae R
当〉时 吃-
设 ：
a 〈 4 一
x仁
一 r J
让
－ , -
－ J
句
ι L ρ u w－ － －
t一 2
「 j 〉 AU’
Y x
I] g'(x) = [ c 2(x+ I吃－［ex-(x＋几（卜t){e；十t)
x
设'1,lx)=c‘ －x-1, x>O，则h’（x)=ex -I＞。在（O,+oo）上恒成立，
fill h (x）在（O,+oo）上单调递增，
又h{O)=e0-0-l =0 ，所以e"-x-1＞ 。在（0,+oo）上恒成立．
所以由g’（x)>O=>x>I ，由g’（xl O,y0 > 0，主：＋丛：＝ l,3x02+4y02= 12 .
4 3
~ I）~ ）＇~ ＝年 if
( X11,.,. + Xo =I f 'l \
=>i .. Pl
!l！l 川＿ in~ 3 => I，云｜
(xo- 1)' ＋对＝ llYo丁＼＆／
法二：因为点P是椭圆C上位于第一象限的点，
所以设P(2叫，.f3sin的，其中0 ＜θ〈号
则｜叫 12＝阳＋ l问d叫
化筒，得4cos2θ＋16cosθ－9=0,
第 12 页共 17 页解得叫＝~ （ 叫＝卡去〉，
所以ω＝豆， E山，到
立＼ 1.)
(2）法一：设F;M所在的直线方程为y=k(x+l） ，显然k>O
令x-=--0，得｝＇= k ，则M(O，的，
M叫N，所以罚N所在的直线方程为y ＝卡＋I)'
同理， N叫），
则由 F;M.l F;N可知，
丛二生－
I Pi\t/ 11 FiN I Xn - ' ①
四边形F;MPN为矩形。｛ . ＜：：：＞~ u
. 'P九I= F.N I “ 1
飞’ ＇x什（Yo -k)" =I ＋古，西
‘四川队。， 得x02 + (-.= X .. o !! ...) 2 = x0 2 (1 + --- I .. ,-) = I + --- I .. ,-=> x,, - -= I
k k..: k
’
λ点p是椭圆C上位于第一象限的点，
所 将 以 点 < - 3 1 r 1 l 立 ν 2 l t l t － A W ． ’ 。 ＝ U F 9 · 0 >n υ · = 3 b 1 l ＝ E 且 勾 3 即 P 川 W J L 3 2 － 飞
－ …
-k4v＋f、1 i 、
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3
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咖 川 r 、 J . vu ， 得 l 32 －
一
ι κ
－ ＝
l
－
解得 κ -- 句 ，
，
几 ，b = - 2舍 去
K －
ri'.1.点Al (l~坐标为（0,2).
法二：设M(O,y1),N(O,y2），只＞0,
由于乓M.l F;N'
哥M·页万＝(l,y1 )· (l,y2 )=I+ Y1月＝O,J?,y、←l ③，所以Yi <0.
由于PM.LPN,
所以fiM.两＝（吨，Yi - Yo）（－~， Yi - Yo) = ~阳升（月才
=x~ + Y~ -(Yi+ Y2)Yo + Y1Y2 = x~ + Y~ -(y, + Y2)Yo -I =0(,
第 13 页共 17 页_!_MP,
由于四边形F;MPN为矩形， MF;
所以研I ＇研＝(-l,-y1 }· (xo,Yo-Yi }= -Xo-YoY1 + y/= 0 (,
由于四边形F;MPN为矩形， NF; J_ NP,
所以两·NP=(-l,-y2} (xo •Yo - Y2 }= -Xo - YoY2 + y/= 0 ( ,
.fi -0 ，故解得几＝2 ，所以M（队2).
法三z 由四边形F.MPN为矩形可知，对角线MN与f'.P相互平分且相等，
即F;P的rp点R在MN ，同时点R也为MN的中点，且RF, =-RP= RM= RN
ruiMN在Y轴上， f.!ll~立＝ 0，衔。＝ l
2
v
又点p是椭圆C上位于第一象限的点．
I
Yo ＞。
~ 3 3
所以｛汇2 \L 2 ::::> .l-°r: ’ i’即P(l,-),R(O，一），
-= l 2 4
｜ι~＋二L
l 4 l
I ? 3? 5 3
现1l R_\/ =RN= PR= F;R = "/(l-0)1. + (0--)1. ＝一，OR ＝ 一
v
’ 4 4 4
即OM ＝侃＋RM =2,0N ＝ 即－OR ＝~
--
..
N,
AU
所以M(0,2), 、 2 E F 、 －
显然此时MN与f'.P相互平分且相等. t!D四边形F;MPN为矩形．
综上，点M 的坐标为（0,2).
第 14 页共 17 页主L+EL=t ⑦
4 3
(3） 法一：由点p椭圆C上， 且PM .l PN ， 得
y
。丁 ＋一 K Yo -k , _
一一一一·－一一一－－且 ω）
Xo Xo """'
= 4(yo2 -3）⑨
由⑦得， x
0 3
时，（叶忻←刊
将⑨代入⑩， 化简， 得（川k忻；） = 0,
所以Yo % -3k舍去〉
= (Yo =
9!1J~ ＝国＝且＝。如冉
、 ｜仍 I I Y,v I :_ I I …凡
法·二人 可 一 ' 一 .P γ Q-1 ＝.... Y ::.. o ..! !... =I, Yo =- y2I ( I > 0 )
IQ八 I -y2
由＠）④得λ－~+ y~ -1 －土＋
Y2
I
Y o -1=0,
飞 Y2 J
与丘叶（士今－1
=0.
3卡＋二－±｝＇，. ＝0，将y。可I代入得
.＂＼－~ y;1 +I Y2 －土 IY2l=O, 3－~y;12+yit-t=O,
-' \. Y2 J
j
,“
y;12 -3yit +3t- 9 = 0 ( t-3)+3(t-3)=0 ,
（σ； ＋3)(1-3)=0 ，由于伊；＋3>0，所以t-3二0,f. 3.
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IPQI
所以一一－＝3为定值．
IQNI
19. 【答案】 （ l) -2,0,2,8: (2） 证明见解析： (3) 1012.
【解析】 (I ） 由题可知｜α2- a, I= max {a 1} = a， ， 则02 =0或2,
第 15 页共 17 页因为｜何一问I=max{a.,a2},
所以当a2 =0时， la3- OI = max {I, 0} = I，则向＝l或－1,
当们＝2时， ｜α3- 21 = max {I, 2} = 2 ，贝lja3 = 0或4,
-uJ=
因为la4 max {a1，的，叫，
吵rl'J.~1 a弩 ＝－I时，｜向＋ll=max{l,0,-1}=1 ，则向＝0或－2.
当内＝0时， la4-OI =max {l,2,0} = 2，则叫＝－2或2,
当向＝l时，｜ι－ll=max{l,0,1}=1 ，则向＝0或2,
当α3 =4时， la4-41 =max {l,2,4} = 4，则的＝0或 8,
综上， 内的所有可能值为－：－2.0.2.8:
(2）因为la1-a1 ｜＝矶，所以的＝0或2矶，
吗｛(I
此时｜αJ－α21＝αl ，而max｛α＂a2}=2α1 ’ 矛盾， 所以α ＝υ．
于是公差d=a2-a1=-a1<0，所以｛。，，｝ ψ.il~l递减：
当｛an｝单调递减时，对任怠ι2, max帆，龟，…，an-1} ＝矶，
又｜α，＇－a.-11＝α，，→－ ＂，用I以a,,-a._1 =-a，，从而｛αJ是等差数列：
..
综.r ：“，，｝是等差数列的充分必要条件是｛an｝单调递减：
当｛d.｝是等比数列时， a2 :;eO ，所以α2 =2a1，所以公比q=2>l,
又向＞0，所以｛a，，｝单调递增，
当（α，，）单调递增时，对任意n泣， maxia,,a~…·，如｝ ＝a川，
又｜α，，－a川l=a,, -a._1 ，所以a11-a11_1.-a川 ，目11a,,=2a川，
因为。I :;eO，所以｛a.｝是等比数列．
综上， ｛川是等比数列充要条件是｛a，，｝单调递增．
第 16 页共 17 页(3）先证。t是数列（。，，）的最大项，
事实上，如果i是第一个大于矶的顶的脚标，
则由la，.广a,j=max｛矶，句，··.，a,}=a，知， a，.，是矶的倍数，
假设矶，，，a,,2，…矶山都是矶的倍数，则由
la,‘-a.,.._ ,!= max{a，，吨，…，。忡，｝＝max｛αJ，。，，，,.
所以由归纳法知，对任意，l~i， αn都是矶的倍数，
但(II不是矶的倍数，这与｛α”）是周期数列矛盾，
所以a.是数列｛饨，）的最大项，从而当n<'!! 2肘，｜α＂－an-ii＝叭，
再证明当n是奇数时， an是＂•的沓的｛告： 当n是偶数时， an是01 的偶数倍，
事实上， 当，I=l时结论成在．假设II=k时成立，
lq
当n=k+ll时，［ti ...一川＝a，知，结论也成立，
听以当代－"'' i的值只能是奇数，
J~『以集合｛1~i<2025机＝州的元素个数最多有·1012 t:
下证集合｛I~i < 2025机＝a，｝的元素今如j 以是l～ 1012的所有整数，
0 a 0 a 0 …a 0 ...
事实上，对于i=20万， 可取敬列为： 己午’
1个刷刷
即所有的奇数项均等于矶，所有的偶数项均等于 O,
此时，我列为·r一数列”，且T=2,
对 f任意整数l~／ ＜ 1012 ’构造数列的前2024 项如下：
a,,o，α1,0, ..., a1 ,0, - a1 ,O,-a1 ,O,. .. ,-a1 ,0
」.，........』－『俨＿，
l组 l!fi
－－一一－.，－－一＿，」一二一~一
兴，组 然（1012-t）组
由于数列是无穷数列，故可取T=2024. 显然满足嗷列是“Y一数列”，
综上，集合｛I:5 i < 20251α，＝川的元紫个数的所有可能值的个数是 1012.
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