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2025 届云南三校高考备考实用性联考卷（六）
数学评分细则
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A C B D
【解析】
1．因为 ，所以 中有3个元素，故选B．
2．因为 ，所以 的虚部为−3，故选A．
3．由题意可知 ，即 ，所以数列 是等差数列，且公差 为
2，所以 ，故选D．
4．因为 ，
，所以， ， ，故选C．
5．∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴ ，则 ，则展开式通项公式是
，令 ，得 ，∴ 的系数为 ，
故选A．
6．由题意， ，由 ，则函数
为 奇 函 数 ， 即 因
，易知其为增函数，则 ，解得 或
，故选C．
7．令 ，得 由于 ，所以 . 又因为
在 上有且只有5个零点，所以 ，解得 故
选B．
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学科网（北京）股份有限公司8．由 ， ，可转化为
设 ，则 ，当 时， 即 ，可解得
即 ，即 令 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，即
，即 则 故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AD ABD ABC
【解析】
9．由题意得 ，则新的平均数 ，A正确；举例：1，
1，1，2，2，5满足平均数为2，中位数为 ，增加数据2后中位数变成了2，B错误；
举例：1，2，2，2，2，3，其方差为 ，增加数据2后方
差变为 ，C错误；根据平均数的概念知 ，
当所有数据均相等时，取等；则增加一个数据2，极差不变，D正确，故选AD．
10．当P为BD中点时， ，所以 平面 ，A正确；因为 ，所以截
面为梯形 ，B正确；因为 ，所以体积为定值，
C错误；三棱锥 的外接球可以补形为长方体外接球，半径 ，
所以表面积 D正确，故选ABD．
11．设直线 的方程为 令 由 得
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学科网（北京）股份有限公司得 即 的斜率为
，A正确；设 由
则直线 PQ 方程： 则
点 P 的坐标为 ，则 ，而
， B 正 确 ；
，
C正确；设 ，由 为正三角形，则 ，
， 得
的周长为 ，D错误，故选ABC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 4 ；4948
【解析】
12．由垂径定理知O到直线AB的距离为2，所以 ．
13．由 得 ，由 得 ．设 为双曲线 C 上任意一点，则
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学科网（北京）股份有限公司，即 ．而双曲线C的渐近线为 ，所以点M到两条渐近
线的距离之积为 ．
14． ， ，则 ， 当 时，易得 ，
且 ，则 ，所以 ，而 ，故 ，
所以 ，所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以
， 所 以 ， 所 以 ， ，
， 所 以 ．
，当 时， 递增，且
，因此对于集合 中的元素 有：当 时， 可取 共
97 种情况，当 时， 可取 共 98 种情况，当 时， 可取
共97种情况，当 时， 可取 共96种情况， ，当
时， 可取 共2种情况，当 时， 可取 共1种情况，综上，
可取的情况共有 ．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）
． …………………（5分）
（2）
，
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学科网（北京）股份有限公司……………………………………………（8分）
………………………………（11分）
………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
（1）证明：如图1，取 的中点 ，连接 ，连接 ，交
于 . ………………………………………………（1
分）
在 中， ， ，
图1
． ……………………………………………………………（2分）
平面 平面 ，
平面 底面 ， ………………………………………（3分）
底面 ， 底面 ， ……………………………（4分）
在正方体 中，
………………（5分）
又
即 ……………………………………………（6分）
又 平面 ，
…………………………………………………………………（7分）
平面 ． ……………………………（8分）
（2）解：过 点作 的平行线 ，交 于 ，则 ，
以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴正
方向，建立如图2所示空间直角坐标系，
不妨设 ，则
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 图2
平面
平面 ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司………………………………………………………（9分）
………………………………………………………（10分）
设平面 的一个法向量为
则 即 令 ，
…………………………………………………………………（11分）
设平面 的一个法向量为
则 即 令 ，
………………………………………………………（12分）
设 所成二面角为 ，
…………………………（13分）
………………………………（14分）
所成二面角的正切值为 ． ……………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（1） ， ， ……………………………（2分）
同时取到雅丹黑外观和月影灰内饰的模型有2个，即 ，
． ……………………………………………（4分）
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，即事件 和事件 不独立．
……………………………………………………………（6分）
（2）由题意知 760，380，190，
则外观和内饰均同色的概率
外观和内饰都异色的概率
仅外观或仅内饰同色的概率 ， …………………（9分）
因为 ，
所以 ， ， ，
………………………………………………………………（12分）
则X的分布列为：
(元)． …………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意得 ………………………（2分）
整理得 解得 …………………………………………（4分）
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学科网（北京）股份有限公司所以得椭圆方程为 ． ………………………………………（5分）
（2）（i）当直线 斜率不存在时，设 则有
因为原点 是△ 的重心，所以
即 ， . ……………………………………………（6分）
将 代入 解得 ， ．
所以 到直线 的距离为3． …………………………………………（9分）
（ ii ） 当 斜 率 存 在 时 ， 设 所 在 直 线 方 程 为 ，
由 得
即 ，
且 ． ……………………（11分）
因为原点 是 的重心，所以
所以 ，故
将点 代入椭圆方程并整理可得 ， …………………………（14分）
所以点 到直线 的距离为
．
综上所述，得点 到直线 的距离的最大值为 ．
……………………………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：当 为奇函数时， ，
两边同时求导得 ，即 ，
所以 为偶函数；
当 为偶函数时， ，两边同时求导得 ，
即 ，所以 为奇函数． …………………………………（4分）
（2）解： （注： 可为任意一个常数）
……………………………………………（9分）
（3）解： 且 对 恒成立，
所以必存在 ，使 在 递增，
对应 ，即 对 恒成立．
又 ，所以必有
.
………………………（13分）
当 时，
在 递增，有 进而得 在 递增，
所以 ，不等式恒成立．
综上可知， 的取值范围为 ……………………………………（17分）
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