2025年沈阳市高考三模数学答案_2025年5月_250515辽宁省沈阳市2025届高三下学期教学质量监测（三）（全科）_答案

2025 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BCD 10．ABD 11．AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．−1． 13．−7． 14．15． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） a a （1）由a =3，a =15，可得 1 =3， 3 =5， …………2分 1 3 1 3 a a 又因为{ n}是等差数列，所以{ n}是以3为首项，1为公差的等差数列， …………4分 n n a 所以 n =3+(n−1)=n+2，所以a =n2 +2n； …………6分 n n 1 11 1  （2）因为 =  − ， …………8分 a 2n n+2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以S = [(1− )+( − )+( − )++( + )+( − )]= (1+ − − )， n 2 3 2 4 3 5 n−1 n+1 n n+2 2 2 n+1 n+2 …………11分 1 1 1 1 3 由n∈N*，则 + >0，故S < (1+ )= ． …………13分 n+1 n+2 n 2 2 4 16．（15分） （1）设事件A为“掷出骰子的点数为1或2”，则事件A为“掷出骰子的点数为3,4,5,6”， 1 2 则P(A)= ，P(A)= ， …………1分 3 3 C2 3 1 C2 m(m−1) 设事件B为“摸出的球都是红球”，则P(B| A)= 3 = = ，P(B| A)= m = ， C2 15 5 C2 30 6 6 …………3分 1 1 m(m−1) 2 1 则P(B)= P(B| A)P(A)+P(B| A)P(A)= × + × = ， …………5分 5 3 30 3 3 整理得m2 −m−12=0，解得m=4，或m=−3（舍），所以m=4； …………7分 （2）由题意得，X 的取值范围为{0,1,2}，则 1 C2 2 C2 5 1 1 C1C1 2 C1C1 25 5 1 P(X =0)= × 3 + × 2 = = ，P(X =1)= × 3 3 + × 4 2 = = ，P(X =2)= ， 3 C2 3 C2 45 9 3 C2 3 C2 45 9 3 6 6 6 6 高三数学答案 第1页（共6页）故X 的分布列为： X 0 1 2 1 5 1 P 9 9 3 …………13分 1 5 1 11 则E(X)=0× +1× +2× = ． …………15分 9 9 3 9 17．（15分） p （1）由题意得，圆N 的圆心为(3,0)，半径为5，且抛物线的准线x=− ，与圆N 相切， 2 p 则|3−(− )|=5，解得 p=4，故抛物线的方程为y2 =8x； …………3分 2 （2）设A(x ,y ),B(x ,y ),M(x ,y )，显然直线AB的斜率不为0，故可设l的方程为x=ty+2， 1 1 2 2 0 0 …………4分 与抛物线y2 =8x联立，消去x得：y2 −8ty−16=0，则y + y =8t，y y =−16， …………6分 1 2 1 2 y + y 1 则y = 1 2 =4t，x =ty +2=4t2 +2，因为MN ⊥ x轴，所以x =4t2 +2=3，解得t =± ， 0 2 0 0 0 2 1 因为直线l的斜率为 ，所以直线l的斜率为 ±2； …………9分 t （3）| AB|= x +x +4=t(y + y )+8=8(t2 +1)， …………11分 1 2 1 2 由（2）得，M(4t2 +2,4t)，则|MN |= (4t2 +2−3)2 +(4t)2 = (4t2 −1)2 +16t2 = (4t2 +1)2 =4t2 +1， …………13分 所以| AB|−2|MN |=8(t2 +1)−2(4t2 +1)=6． …………15分 18．（17分） （1）因为 f ′ (x)=a−6cosx， …………1分 π π 所以 f ′ ( )=a−6cos =a−3， …………2分 3 3 且a−3=5，所以a =8； …………3分 π （2）由 f ′ (x)=3−6cosx，令 f ′ (x)=0，解得x= ， …………4分 3 所以 π π π π π x 0 (0, ) ( , ) 3 3 3 2 2 f ′ (x) − 0 + 3 f(x) 0  π−3 3  π−6 2 …………8分 高三数学答案 第2页（共6页）3 又因为 π−6<0， …………9分 2 3 所以b的取值范围为(π−3 3, π−6)； …………10分 2 π （3）方法一：由题意，当x∈(0, )时，F ′ (x)=a−2x−4cosx−2xsinx≥0恒成立，………11分 2 因为F ′′ (x)=−2+2sinx−2xcosx，而−2+2sinx<0，且−2xcosx<0， π 所以F ′′ (x)<0恒成立，即F ′ (x)在(0, )上单调递减， …………14分 2 所以F ′ (x)∈(a−2π,a−4)， …………15分 由F ′ (x)≥0恒成立，所以a−2π≥0，即a≥2π． …………17分 π 方法二：由题意，当x∈(0, )时，F ′ (x)=a−2x−4cosx−2xsinx≥0恒成立， 2 π 即a≥2x+4cosx+2xsinx恒成立，设g(x)=2x+4cosx+2xsinx,x∈(0, )， …………12分 2 g ′ (x)=2−4sinx+2sinx+2xcosx=2−2sinx+2xcosx， π π 当x∈(0, )时，因为2−2sinx>0，2xcosx>0，所以g ′ (x)>0，即g(x)在(0, )单调递增， 2 2 …………14分 所以g(x)∈(4,2π)， …………15分 由a≥ g(x)，所以a≥2π． …………17分 19．（17分） （1）在梯形BCEF中，因为BF∥CE，所以翻折后有AB∥DC ，且AF∥ED， 又因为ABAF = A，AB,AF ⊂平面ABF ，DC,ED⊂平面CDE，所以平面ABF∥平面CDE， …………1分 又因为BF ⊂ 平面ABF ，所以BF∥平面CDE； …………2分 （2）由题意，在梯形BCEF中，∠CBF =∠BCE =90°，AD∥BC ，即AD⊥CE，且AD⊥ FB， 所以翻折后有AD⊥ ED，AD⊥ DC，且EDDC = D，所以AD⊥ 平面CDE， 同理，AD⊥平面ABF ， …………3分 由二面角E−AD−C的大小为α，得∠EDC =∠FAB=α， …………4分 过点E作CD的垂线，交直线CD于点H ，由AD⊥ 平面CDE，EH ⊂ 平面CDE，所以AD⊥ EH ， 且ADDC = D，所以EH ⊥ 平面ABCD，即EH 是四棱锥E− ABCD的高， 由ED=2，CD=t =2，BC =3−CD=3−t =1，， 1 1 4 所以V = S ⋅|EH |= ⋅2×1⋅2sinα= sinα ， …………5分 E−ABCD 3 ABCD 3 3 由ED∥AF ，ED⊄平面ABF ，AF ⊂ 平面ABF ，所以ED∥平面ABF ， 又因为AD⊥ 平面ABF ，且AF =1， 1 1 1 1 所以V =V = S ⋅|DA|= ⋅ ×2×1×sinα⋅1= sinα， …………6分 E−ABF D−ABF 3 △ABF 3 2 3 5 所以V =V +V = sinα， α∈(0,π)， …………7分 E−ABCD E−ABF 3 π 5 当α= 时，V 取得最大值 ； …………8分 2 3    （3）方法一：过点D作DC 的垂线，交直线CE与点G，分别以DA,DC,DG为x轴、y轴、z轴 正方向建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(3−t,0,0)，C(0,t,0)，B(3−t,t,0)，E(0,2cosα,2sinα)， F(3−t,cosα,sinα)， …………9分 高三数学答案 第3页（共6页）  在平面EFB中，BF =(0,cosα−t,sinα)，EF =(3−t,−cosα,−sinα)，   n⋅BF =(cosα−t)y +sinα⋅z =0, 设平面EFB的一个法向量为n=(x ,y ,z )，则  1 1 1 1 1  n⋅EF =(3−t)⋅x −cosα⋅y −sinα⋅z =0, 1 1 1 t t 令y =sinα，则z =t−cosα，x = sinα，所以n=( sinα,sinα,t−cosα)， 1 1 1 3−t 3−t …………11分   在平面EBC 中，CB=(3−t,0,0)，CE =(0,2cosα−t,2sinα)，   m⋅CB=(3−t)⋅x =0, 设平面EBC 的一个法向量为m =(x ,y ,z )，则  2 2 2 2  m⋅CE =(2cosα−t)y +2sinα⋅z =0, 2 2 令y =2sinα，则z =t−2cosα，x =0，所以m =(0,2sinα,t−2cosα)， …………13分 2 2 2 因为平面EFB和平面EBC 垂直，所以n⋅m =0， 1 2 即2sin2α+(t−cosα)(t−2cosα)=0，整理得cosα= (t+ )， 3 t 2 2 2 因为α∈(0,π)，01时，ω∈∅， 3 3 3 高三数学答案 第5页（共6页）7 7 π 17 即ω的最大值为 ，此时 f(x)=2sin( x− )， 故 f(x)的一条对称轴为直线x= π，故选B． 3 3 3 14 11．设点P(x ,y )，设直线PA 的倾斜角为α，斜率为k ，直线PA 的倾斜角为β，斜率为k ， 0 0 1 1 2 2 |FA | a+c x2 y2 对于A选项，由题意可知， 1 = =3，且c=1，所以a =2，b2 =3，则椭圆方程为 + =1， |FA | a−c 4 3 2 x2 y2 y2 3 y y 又由P(x ,y )为椭圆上一动点，所以 0 + 0 =1，即 0 =− ，又由k = 0 ，k = 0 ， 0 0 4 3 x2 −4 4 1 x +2 2 x −2 0 0 0 y2 3 所以k ⋅k =k ⋅k = 0 =− ，故A正确； PA 1 PA 2 1 2 x2 −4 4 0 y y 6y 对于B选项，由k = 0 ，得PA : y = 0 (x+2)，令x=4得，y = 0 =6k ， 1 x +2 1 x +2 B 1 x +2 1 0 0 0 6k −0 3 9 所以B (4,6k )，则k = 1 =3k ，所以k ⋅k =k ⋅3k =3⋅(− )=− ，故B正确； 1 1 B 1 A 2 4−2 1 PA 2 B 1 A 2 2 1 4 4 y y 2y 对于C选项，同理k = 0 ，得PA : y = 0 (x−2)，令x=4得，y = 0 =2k ， 2 x −2 2 x −2 B 2 x −2 2 0 0 0 3 3 3 所以B (4,2k )，又由k ⋅k =− ，得k =− ，则|BB |=|6k −2k |=|6k + |≥6， 2 2 1 2 4 2 4k 1 2 1 2 1 2k 1 1 1 当且仅当k = 时，等号成立，故C错误； 1 2 对于D选项，不妨x ≥0且y ≥0，则k >0，k <0，且∠APA =β−α， 0 0 1 2 1 2 k −k 即tan∠APA = tan(β−α)= 2 1 <0，即∠APA 为钝角， 1 2 1+k k 1 2 1 2 3 − −k 3 3 4k 1 3 又由k ⋅k =− ，得k =− ，则tan∠APA = 1 =−4( +k )≤−4 3， 1 2 4 2 4k 1 2 1 4k 1 1 1 4 3 1 当且仅当k = 时，等号成立，此时cos∠APA ≥− ，故D错误． 1 2 1 2 7 n 1 14．方法一：如图，因为tan∠BPD=tan∠PAC ，所以 = ，即mn=2025，所以m是2025的 2025 m 正约数，而2025=34×52，所以m=3i⋅5j(i =0,1,2,3,4; j =0,1,2)，所以满足题意的m的个数为 5×3=15，所以满足题意的直线l的条数为15． x y 2025 1 方法二：设直线l: + =1(a∈N*,b∈N*)，由题意得， + =1，即ab−2025b−a =0，所 a b a b 以(a−2025)(b−1)=2025，显然b≠1，由b∈N*，可得b−1>0，则a−2025>0，且a−2025∈N*， 则b−1是2025的正约数，而2025=34×52，所以b−1=3i⋅5j(i =0,1,2,3,4; j =0,1,2)，即满足题意的 b−1的个数为5×3=15，即b的个数为15，所以满足题意的直线l的条数为15． 高三数学答案 第6页（共6页）