文档内容
2025 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）
数 学
命题： 沈阳市第四中学 吴 哲
沈阳市第三十一中学 闫 通
沈阳市第五中学 裴延峰
主审： 沈阳市教育研究院 周善富
本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1. 答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生
信息条形码粘贴区。
2. 答题时请按要求用笔。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|−2< x<2}，B={x|−1< x<3}，则AB=
A.
{x|−1< x<2}
B.
{x|x>−2}
C.
{x|−2< x<3}
D.
{x|x<3}
2．已知i为虚数单位，若z =i5 +i4 −i3，则z =
A. 1+2i B. 1−2i C. 2+i D. 2−i
y2 x2
3．双曲线 − =1(a>0,b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为
a2 b2
2 3
A. y =± 2x B. y =± x C. y =± 3x D. y =± x
2 2
4．已知向量a,b满足|a|=2，(a+b)⋅b=2，则|a+2b|等于
A. 12 B. 10 C. 2 3 D. 10
5．等比数列{a }中，a >0，则 “a 0)在区间( ,π)上有且仅有一个零点，当ω
3 3
最大时， f(x)的图象的一条对称轴方程为
17 17 23 23
A. x= π B. x= π C. x= π D. x= π
12 14 10 18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，
把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵），按图2所示，再沿堑
堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，
三棱锥称为鳖臑，则
A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形
B. 鳖臑的四个面均为直角三角形
C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍
D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
高三数学 第2页（共4页） π
10．已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, AB⋅AC =2， ∠BAC = ，
3
1
点M 为ABC内一动点，且S = S ，则
MBC 2 ABC
A. bc=4 B. S = 3
ABC
1 + 1 8 3
C. a的最大值为2 D. 的最小值为
S S 3
MAB MAC
x2 y2
11．已知点A,A 分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点，F(1,0)为椭
1 2 a2 b2
|FA |
圆的右焦点，且 1 =3，点P是椭圆上异于A,A 的一动点，直线PA,PA
|FA | 1 2 1 2
2
分别与直线x=4交于点B,B , 则下列说法正确的有
1 2
3 9
A. k ⋅k =− B. k ⋅k =−
PA 1 PA 2 4 PA 2 B 1 A 2 4
1
C. |BB |的最小值为4 3 D. cos∠APA 的最小值为 −
1 2 1 2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
4x, x<0, 1
12．已知函数 f(x)= ，则 f[f(− )]的值等于________．
log x, x≥0 2
2
π
13．函数 f(x)=cos2x+6cos( −x)的最小值为____________．
2
14．已知过点P(2025,1)的直线l在x轴和y轴上的截距均为正整数，则满足条件的
直线l的条数为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
a
已知数列{a }中，a =3，a =15，且数列{ n}为等差数列．
n 1 3 n
（1）求{a }的通项公式；
n
1 3
（2）记S 为数列{ }的前n项和，证明：S < ．
n a n 4
n
16．（15分）
甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中
有m(2≤m≤6)个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，
高三数学 第3页（共4页）则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3,4,5,6，则从乙箱中随机摸出2个球．已
1
知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是 ．
3
（1）求m的值；
（2）记“摸到红球的个数”为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．
17．（15分）
已知圆N :(x−3)2 + y2 =25，抛物线G: y2 =2px(p>0)的准线与圆N 相切，
过抛物线焦点F 的动直线l与抛物线交于A,B两点，线段AB的中点为M ．
（1）求抛物线G 的方程；
（2）当MN ⊥ x轴时，求直线l的斜率；
（3）求证：| AB|−2|MN |为定值，并求出该定值．
18．（17分）
π
已知函数 f(x)=ax−6sinx,x∈(0, )．
2
π
（1）已知 f(x)在x= 处的切线斜率为5，求实数a的值；
3
（2）若a =3，且关于x的方程 f(x)=b有2个不相等的实数解，求b的取值范
围；
π
（3）若函数F(x)= f(x)−x2 +2xcosx在(0, )上单调递增，求a的取值范围．
2
19．（17分）
如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF =∠BCE =90°，A,D分别是BF,CE
上的点，且ADBC，ED=2AF =2，CD=t(0
