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绝密★启用前 ７．已知抛物线 Ｃ：ｙ２＝４ｘ，Ｏ为坐标原点，Ｆ为 Ｃ的焦点，直线 ４ｘ－３ｙ－４＝０与 Ｃ交于 Ｍ（ｘ，ｙ），
１ １
Ｓ
江西省 ２０２５—２０２６学年新高三秋季入学摸底考试 Ｎ（ｘ，ｙ）（ｙ＞ｙ）两点，记△ＯＭＦ和△ＯＮＦ的面积分别为 Ｓ ，Ｓ ，则
△ＯＮＦ
＝
２ ２ １ ２ △ＯＭＦ △ＯＮＦ Ｓ
△ＯＭＦ
１ １
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．４
数 学 试 卷 ２ ４
８．设△ＡＢＣ是边长为１的正三角形，点 Ｄ为线段 ＡＢ上与 Ａ，Ｂ不重合的一点，将△ＡＤＣ沿 ＣＤ翻折
试卷共４页，１９小题，满分１５０分。考试用时１２０分钟。 至△ＰＣＤ的位置，得到四面体 ＰＢＣＤ．若 ＰＤ⊥ＢＣ，则 ＢＤ的取值范围是
注意事项： ( １ ) ( １ )
Ａ． ，１ Ｂ． ，１ Ｃ．（２－ 槡３，１） Ｄ．（４－２槡３，１）
１．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 ４ ２
２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．
上无效。 ２
９．已知函数 ｆ（ｘ）＝ ＋１，则
ｅｘ－１
３．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
Ａ．ｆ（ｘ）的定义域为（－!，０）∪（０，＋!） Ｂ．ｆ（ｘ）为奇函数
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 Ｃ．ｆ（ｘ）为 Ｒ上的减函数 Ｄ．ｆ（ｘ）无最值
要求的． ( １)６
１０．在二项式 槡ｘ－ 的展开式中，下列说法正确的是
ｘ
１．已知复数 ｚ满足（２＋ｉ）ｚ＝５ｉ，则 ｚ在复平面内对应的点位于
Ａ．常数项为１５ Ｂ．各项的系数和为２６
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
ｘ－２ Ｃ．二项式系数最大的项为第４项 Ｄ．有理项的系数和为１６
２．已知集合 Ａ＝｛－２，－１，０，１，２，３｝，Ｂ＝｛ｘ｜ ≤０｝，则 Ａ∩Ｂ＝
ｘ＋１
( π) (π )
１１．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎωｘ＋ （ω＞０）与 ｇ（ｘ）＝ｓｉｎ ｘ＋ω满足 ｆ（ｘ＋１）＝ｇ（２ｘ＋ｔ）（０＜ｔ＜２），则
Ａ．｛－１，０，１，２｝ Ｂ．｛０，１，２｝ Ｃ．｛０，１，２，３｝ Ｄ．｛－１，０，１，２，３｝ ６ ６
Ａ．ω＜ｔ
３．以直线 ｙ＝ 槡３ｘ与 ｙ＝－ 槡３ｘ为渐近线的双曲线的离心率为
Ｂ．曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线 ｘ＝ｔ对称
槡５ ２槡３ ２槡３
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ． 或２
２ ３ ３ ( π π)
Ｃ．ｇ（ｘ）在区间 － ， 上单调递增
６ ６
４．已知单位向量 ｍ，ｎ满足 ｍ⊥（ｍ＋２ｎ），则〈ｍ，ｎ〉＝
[ ９ ]
π π ２π ５π Ｄ．函数 ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）的值域为 － ，２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
８
６ ３ ３ ６
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．
５．已知 α，β都是锐角，ｔａｎα＝２ｔａｎβ＝３ｔａｎ（α－β），则 ｔａｎ（α＋β）＝
１２．已知正项等比数列｛ａ｝的前 ｎ项和为 Ｓ，公比为 ｑ，Ｓ＝１３Ｓ，则 ｑ＝ ．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ｎ ｎ ３ １
６．某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进行选择性考核．某社团有小 １３．已知一个底面半径为２的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的 ２倍，则该圆锥轴截面的面积
明、小刚等６位同学参加，现选 ３位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的概 为 ．
率为 π
１４．在△ＡＢＣ中，Ｃ＝ ，ＡＢ＝ 槡３，以△ＡＢＣ各边为直径分别向外作三个半圆，Ｐ，Ｑ为三个半圆上任意
３
１ ２ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ５ ２ ３ 两点，则 ＰＱ的最大值是 ．
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书书书四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １
１７．（１５分）已知四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ如图所示，ＰＡ⊥平面 ＡＢＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＡＤ，ＰＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝ ＡＤ．
２
１５．（１３分）随着双休政策的推进，某同学记录了２０２５年４～５月份连续 ６个双休日某校积极参与运
（１）证明：ＢＣ⊥平面 ＰＡＢ； !
动的同学人数 ｙ（单位：人），６个双休日分别用１～６表示，并绘制表格如下．
（２）记平面 ＰＡＤ∩平面 ＰＢＣ＝ｌ，证明：ＢＣ∥ｌ；
ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６
（３）求二面角 Ｂ－ＰＣ－Ｄ的大小． " #
ｙ ２４０ ２９０ ３８０ ４２０ ４５０ ５３０
（１）经过统计分析，发现ｘ与ｙ具有线性相关关系，求出ｙ关于ｘ的线性回归方程；（系数保留整数） $ %
（２）从这６个双休日积极参与运动的同学人数中随机抽取 ３个数据，记最小的数据为 Ｘ，求 Ｘ的
分布列及数学期望．
ｎ ｎ
∑（ｘ－ｘ珋）（ｙ－ｙ珋） ∑ｘｙ－ｎｘ珋ｙ珋
附：回归方程 ｙ ＾＝ａ ＾＋ｂ ＾ ｘ，其中 ｂ ＾＝ ｉ＝１ ｉ ｉ ＝ ｉ＝１ ｉｉ ，∑ ６ ｘｙ＝９０７０，∑ ６ ｘ２＝９１．
∑
ｉ＝
ｎ
１
（ｘ
ｉ
－ｘ珋）２ ∑
ｉ＝
ｎ
１
ｘ２
ｉ
－ｎｘ珋２ ｉ＝１ ｉｉ ｉ＝１ ｉ
１８．（１７分）已知点 Ｐ
( ７
，２
)
，Ｆ是离心率为
槡３
的椭圆 Ｃ：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点，且直线 ＰＦ的斜
４ ３ ａ２ ｂ２
８
率为 ．
３
（１）求 Ｃ的方程；
（２）过点 Ｐ的直线 ｌ与 Ｃ交于 Ｍ，Ｎ两点．
（ｉ）当 ｌ的斜率为２时，求 ＭＮ；
（ｉｉ）已知点 Ｑ（２，０），直线 ＱＭ，ＱＮ分别交 Ｃ于点 Ａ，Ｂ（异于点 Ｍ，Ｎ），试问直线 ＡＢ的斜率是
否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
１６．（１５分）在正项数列｛ａ｝中，ａ＝１，且 ａ２ －２ａ ＝ａ２＋２ａ．
ｎ １ ｎ＋１ ｎ＋１ ｎ ｎ
（１）求｛ａ｝的通项公式；
ｎ
１
（２）若数列｛ｂ｝满足 ｂ＝ ，求｛ｂ｝的前 ｎ项和 Ｓ．
ｎ ｎ ａ·ａ ｎ ｎ
ｎ ｎ＋１
１
１９．（１７分）已知函数 ｆ（ｘ）＝２ｌｎｘ＋ ，ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ｓｉｎｘ．
ｘ２
（１）求 ｆ（ｘ）的单调区间；
（２）当 ｘ＞０时，ｇ（ｘ）＜ｅ２ｘ＋ａｘ，求 ａ的取值范围；
( １)
（３）设 ｓ，ｔ∈（０，１），且 ｆ（１－ｓ）＝ｇｌｎ ，证明：ｆ（ｔ）－ｆ′（ｔ）＞ｇ（ｓ）＋ｇ′（ｓ）．
ｔ
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