文档内容
新高二开学摸底考试卷（江苏专用，苏教版 2019）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：苏教版2019必修第一册、第二册以及选修必修第一册直线与方程
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
【答案】C
【分析】根据集合的基本关系以及充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 是 的充要条件,
故选：C.
2．若复数 满足 ，则 等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【分析】由复数的除法法则求得 ，可求 .
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，
所以 .故选：A.
3．某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（
）
A. 极差为10 B. 中位数为7.5 C. 平均数为8.5 D. 标准差为
【答案】D
【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结
果.
【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，
对A，极差为 ，故A错误；
对B，中位数为 ，故B错误；
对C，平均数为 ，故C错误；
对D，标准差 ，故D正确.
为
故选：D
4．已知向量 ，向量 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义式，结合题意即可求得.
【详解】由向量 ，可得 ，
因向量 在 上的投影向量为 ，
由题意， ，解得 .
故选：A.
5．已知直线 与直线 关于点 对称，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. 6 C. D.
【答案】A
【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.
【详解】由于直线 与直线 关于点 对称，
所以两直线平行，故 ，则 ，由于点 在直线 上， 关于点 的对称点为 ，
故 在 上，代入可得 ，故 ，
故选：A
6．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】D
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】对于A：若 ， ，则 或 ，又 ，则 或 与 相交，故A错
误；
对于B：若 ， ，则 或 ，又 ，则 或 与 相交，故B错误；
对于C：若 ， ，则 ，又 ，则 与 平行或异面，故C错误；
对于D：若 ， ，则 或 ，
若 ，则在平面 内存在直线 ，使得 ，又 ，则 ，
又 ，所以 ；
若 ，又 ，所以 ；
综上可得，由 ， ， ，可得 ，故D正确.
故选：D
7．设 为锐角，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得.
【详解】由 为锐角，得 ，而 ，
因此 ，
所以
.故选：B
8．若函数 是定义域为 的奇函数，且 ， ，则下列说法不正确的是（
）
A． B． 的图象关于点 中心对称
C． 的图象关于直线 对称 D．
【答案】D
【分析】对于A：根据 ，赋值令 ，即可得结果；对于C：根据
结合奇函数定义可得 ，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得
，即可得结果；对于D：分析可知：4为 的周期，结合周期性分析求解.
【详解】因为 ， ，
对于选项A：令 ，可得 ，故A正确；
对于选项C：因为函数 是定义域为 的奇函数，则 ，
则 ，所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
对于选项B：因为 ，可得 ，
则 ，
即 ，所以 的图象关于点 中心对称，故B正确；
对于选项D：因为 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
可知4为 的周期，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，故D错误；
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件 “两个球颜色相同”，
“第1次取出的是红球”， “第2次取出的是红球”， “两个球颜色不同”．则（ ）
A. 与 互为对立事件 B. 与 互斥 C. A与B相互独立 D.【答案】AD
【分析】依次列出样本空间，事件 、 、 、 包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一
一判定选项即可.
【详解】依题意可设 个红球为 ， ， ，2个白球为 ， ，则样本空间为：
，共 个基本事件.
事件 ，共 个基本
事件.
事件
，共 个基本事件.
事件
，共 个基本事件.
事件 ，
共 个基本事件.
对于A，显然 、 不可能同时发生，且 与 中一定有一个会发生，所以 与 互为对立事件，故
A正确；
对于B：注意到 ，则 与 不互斥，故B错误；
对于C：因为 ，
则 ，故 与 不独立，故C错误；
对于D： ，故D正确.
故选：AD
10．已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为 B.
C. 的图象关于直线 对称 D. 在区间 上单调递增
【答案】BD
【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为
，
所以 的最小正周期 ，故A错误；
因为 ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 的图象不关于直线 对称，故C错误；
当 ，则 ，又 在 上单调递增，
所以 在区间 上单调递增，故D正确.
故选：BD
11.在正四棱台 中， ， ， ，点E在 内部（含边
界），则（ ）
A. 平面 B. 二面角 的大小为
C. 该四棱台外接球的体积为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A， 为 中点，证明 证得 平面 ；对于B，几何法求二面角的
大小；对于C，先假设球心 的位置，利用勾股定理与半径相等建立方程组进而确定 的位置，可求
得球的半径并计算体积；对于D，先判断 落在 上，再进一步判断 与 重合时， 取
得最小值.
【详解】对于A，如图1，设底面 对角线交于点 ，
由棱台的结构特征易知 与 的延长线必交于一点，故 共面，又面 面 ，而面 面 ，面 面 ，
故 ，即 ；
由 ， ， ，
得 ， ，即 ；
所以四边形 是平行四边形，故 ，
而 面 ， 面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于B，正四棱台 中， 为 中点， ，则 ，
由 ，则有 ，所以二面角 的平面角为 ，
， ， 为正三角形，
所以二面角 的大小为 ，故B正确；
对于C，如图2，设 为 的中点， 为正四棱台外接球的球心，设外接球的半径为 ，
则 ，
等腰梯形 中，易得 ，
在
为方便计算，不妨设 ，则由 ，
即 ，得 ，又 ，解得 ，
即 与 重合，故 ，故球的体积为 ，故C错误；
对于D，由图2易得 ， ， ， 面 ，
故 面 ，不妨设 落在图3 (在 外)处，过 作 ，交 于 ，
则 面 ， 面 ，故 ，
故在 中， （直角边小于斜边）；同理， ，
所以 ，故动点 只有落在 上， 才有可能取得最小值；
再看图4，由AB选项可知， ， ，
和 都为正三角形， 关于 的对称点为 ，
可知 ，
即 与 重合时， 有最小值 ，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线 恒过定点______.
【答案】 ACD
【分析】整理直线方程，可化为 ，当 且 时，
无论 取何值，方程恒成立，解方程组即可解得定点，即可判断正误；
【详解】因为直线 ，
即 ，
令 ，解得 ，
即直线 恒过定点 ，
故答案为：
13．已知 是边长为1的正三角形， 是 上一点且 ，则
_________
【答案】【分析】根据题意得 ，由 三点共线求得 ，利用向量数量积运算求解.
1 2 8
【详解】 ，
⃗AN= ⃗AC
，且
⃗AP=m⃗AB+ ⃗AC=m⃗AB+ ⃗AN
，
4 9 9
而 三点共线， ，即 ，
1 2
⃗AP= ⃗AB+ ⃗AC
，
9 9
所以 .
故答案为：
14．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边
形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，
．则（1） __________；（2） 的最小值为
__________．
【答案】 ①. ②.
【分析】由正弦定理可得 的比，由余弦定理可得 的值，由正弦定理可得
的值，再由托勒密定理可得 的表达式，由基本不等式可得它的最小值.
【详解】 ，
由正弦定理可得： ，
设 ，
由余弦定理可得 ，
在 中， ，可得 ，由正弦定理可得 ，
， ，
设 ，由余弦定理得 ，
由托勒密定理得 ，
即 ，平方得 ，
设 ，
，当且仅当 且 ，即
时取等号，
的最小值为 ，即 的最小值为 .
故答案为： ; .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进
社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队
随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；
（2）现用分层抽样 的方法从年龄在区间 和 两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随
机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；
（2）首先求出年龄在区间 和 中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型
的概率公式计算可得.
【详解】（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：
（2）样本中年龄在区间 的频率为 ，
年龄在区间 的频率为 ，
则年龄在区间 抽取 人，分别记作 、 、 、 ，
年龄在区间 抽取 人，分别记作 、 ，
从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 共 个，
其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有 、 、 、 、 、 、 、 共 个，
所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率 .
16．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形， 底面ABCD，
， ，E为PD中点，F为PB中点，M为CE中点．（1）求证：平面 平面PAB；
（2）求证： 平面BDM．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【分析】（1）证明出 即可证明出 平面PAB从而证明出平面 平面
PAB．
（2）先证明平面 平面BDM．再利用面面平行的性质证明即可..
【详解】（1） 底面ABCD． 平面ABCD， ．
又 ， ， 平面PAB 平面PAB．
平面ACE， 平面 平面PAB．
（2）连接EF、AE，连接AC交BD于点O，连接OM．
在 中，M，O分别为CE，AC中点， ．
又 平面BDM，OM 平面BDM， 平面BDM：
在 中，E，F分别为PD，PB中点， ．
又 平面BDM， 平面BDM． 平面BDM；
又AE， 平面AEF， ， 平面 平面BDM．
又 平面AEF，所以 平面BDM．
17．已知 的顶点 ， ， .
（1）若直线 过顶点 ，且顶点A， 到直线 的距离相等，求直线 的方程；
（2）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共
线，这条直线称为欧拉线.求 的欧拉线方程.【答案】（1） 或 （2）
【分析】（1）根据题意可设直线 ，结合点到直线的距离公式运算求解；
（2）根据外心在 的中垂线为 可设 ，及到顶点距离相等列方程可得 ，结合
重心 求直线方程.
【详解】（1）若直线 的斜率不存在，显然不合题意，可设直线 ，即 ，
由题意可得： ，
整理得 ，解得 或 ，
所以直线 的方程 或 .
（2）因为 的中垂线为 ，可设 的外心 ，
又因为 ，可得 ，
则 ，解得 ，即 ，
由题意可知： 的重心 ，则欧拉线的斜率为 ，
故 的欧拉线的方程为 ，即 .
18．在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ．
（1）求角 的大小；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为
，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得 ，根据锐角三角形
可得 的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）在 中，
，
因为 ，
所以 ，
化简得 ，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）由正弦定理知
，
由 为锐角三角形可知 ，而 ，
所以 得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，则 的取值范围为 .
19．如图，在四棱柱 中，已知侧面 为矩形， ，
， ， ， ，
⃗AE=2⃗EA
， .
1
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 或 .
【分析】（1）由已知可得 平面 ， 平面 ，从而可证结论；
（2）由余弦定理可得 ，从而可证 ，进而结合已知可证 平面 ，可证
结论；
（3）延长 交于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，可得
为平面 与平面 所成二面角的平面角，求解即可.
【详解】（1）因为
⃗AE=2⃗EA
， ，所以 ，
1
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
， ，可得 ，又 ， ，
所以 是等边三角形，所以 ， ，
又 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）由侧面 为矩形，可得 ，
连接 ，可得 是等边三角形，所以 ，
所以 ，又 ， ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（3）延长 交于 ，可得 是等边三角形，
过 作 于 ，
由（1）可知 平面 ，所以三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积，
又三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
由（2）可知平面 平面ABCD，且两平面的交线为 ，所以 平面 ，
所以 ，
解得 ，过 作 于 ，连接 ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ， ，
所以 为平面 与平面 所成二面角的平面角，若 ，则点 在线段 上，且为 中点，
又 ，由勾股定理可得 ，
所以 ，所以 ，所以由勾股定理可得 ，
所以 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ；
若 ，则点 在线段 延长线上，此时 ，
.
