文档内容
姓名 准考证号
秘密 启用前 已知向量a，b满足|a| ，|b| ，且b在a上的投影向量为 1a，则 a b
★ 5. = 2 = 1 - cos , =
4
1 1 1 1
A.- B. C.- D.
数 学 2 2 4 4
若a b
-0.2
c 2，则a，b，c的大小关系是
数 6. = log32, = 0.3 , =
3
a b c a c b c a b b a c
A. < < B. < < C. < < D. < <
注意事项：
已知函数f x 的定义域为R，且f x f x f x f x ，则 2025 f i
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 7. ( ) (2 )+ (1-2 )=1, (1- )= (1+ ) ∑i ( )=
=0
1.
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
2025
2.
A.0 B.2025 C. D.1013
回答选择题时，选出每小题答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 2
3. 2B
设AB为圆锥SO底面的一条直径，C为底面圆周上异于A、B的一点，D为SO靠近O的
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 8.
黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 一个三等分点，且二面角S-AC-B与二面角D-BC-A的大小相等，则该圆锥的体积与
0.5mm
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 三棱锥S-ABC的体积之比是
4.
5 5 5 5
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一 A. π B. π C. π D. π
8 5 40 . 4 3 3 2
项是符合题目要求的 二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题
. 3 6 18 .
已知复数z ，z ，其中 为虚数单位，则z z 目要求 全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分
1. 1=6-5i 2=3+2i i 1+ 2= . 6 0 .
已知函数f x A ωx φ A ω φ 的部分图象如图所示，则
A.9-3i B.9+3i C.9-7i D.9+7i 9. ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < π)
y
若直线 x y m 被圆x 2 y 2 所截得的弦的长度为 ，则m 函数f x 的最小正周期是
2. 4 -3 - +2=0 + =16 4 3 = A. ( ) 2
或 或
A.12 B.8 C.12 -8 D.8 -12 ω
B. = 1
方差的单位是原数据单位的平方，为了使其与原数据的单位一致，对方差开方得到标
3. x
φ 2 0 1 4
准差 利用方差和标准差可以刻画数据的离散程度或波动幅度 观察下面两组数据： C. = π
. . 3 3 3
， ， ， ，
1 2 3 4 5 函数y f x 的图象向右平移1个单位得到一个偶函数的图象
-2
D. = ( )
， ， ， ， 6 （第9题图）
1001 1002 1003 1004 1005
x y
它们的方差和标准差相等，但两组数据的数量级不同，两个个位数相差 与两个四位 已知椭圆C： 2 2 ，左、右焦点分别为F、F，点P是C上的动点，点M（ ，），则下
1 10. + =1 1 2 3 1
数相差 ，直观感觉应该是不同的 那么，最适合刻画这两组数据离散程度的统计量 16 4
1 . 列结论正确的是
是
方差 标准差 椭圆C的离心率为 3
A. B. A.
2
原始数据的方差 原始数据的标准差
| PF | |PM|的最大值为
C. 该组数据的平均数 D. 该组数据的平均数 B. 1 + 10
a 是函数f x x为增函数的 | PF | |PM|的最小值为
4. >1 ( ) = log(3 a -1) C. 1 + 5
充分不必要条件 必要不充分条件
A. B. 被点M平分的弦所在直线的斜率为 3
充要条件 既不充分也不必要条件 D. -
C. D. 4
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1 4 2 4（ 分）
已知函数f x 1 x a ，过点M（ ，a）作平行于x轴的直线交曲线y f x 于点 17. 15
11. ( ) = a ln ( > 0) 0 = ( )
在三棱柱ABC A B C 中，点D在B C上，且B D DC，E为线段A C上的动点
N，曲线y f x 在点N处的切线l交y轴于点P 则 - 1 1 1 1 1 = 2 1 .
= ( ) . C C
（）若E为A C的中点，
1 1 D 1
当a 时，切线l的方程为y 2 x
A. =1 = （ ）在图中画出 AB C的重心G，并说明点
e ⅰ △ 1 B E B 数
G与线段BE的位置关系； 1
当a 时， PMN的面积为1
B. =1 △ e A A
2 （ ）求证：AC 平面BDE
1
ⅱ ∥ . （第 题图）
17
点P的坐标为（ ，a- 1）
C. 0 a （）若三棱柱ABC A B C 是棱长均为 的正三棱柱，当二面角E AB A 为π时，
2 - 1 1 1 2 - - 1
3
PMN面积的最小值为 2e 求B 到平面ABE的距离
D.△ 1 .
2
（ 分）
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分 18. 17
3 5 15 .
年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，，， 三个工程队
已知等比数列 a 的前n项积为T ，若T ，则a 2025 A B C
12. { n} n 5 = 32 3 = ▲ . 负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块 在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一
( ) ( ) .
已知 π θ π θ ，则 θ 旦有裂痕冰块就不能使用了 ，，三个工程队所采冰块总数之比为 ∶∶，冰块利用
13. cos + = 2cos - tan = ▲ . .A B C 6 7 5
4 4
率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为 ， ， 在计算以上数值的过程
投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使mn m n成立 0.8 0.6 0.6.
14. ≥3 +
中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中 现在从
的数对（m，n）共有 对 .
▲ .
三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率
.
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5 77 . . （）若只取 块，求它是由 队所采的概率；
1 1 B
（ 分）
15. 13 （）若抽取 块，其中由 队采出的冰块数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
2 2 A
在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
（）假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为 ，那
△ .
3 0.65
A B C
么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
（）求证： π - + A；
1 2cos sin = sin
2 2
（ 分）
A B C 19. 17
（）若 c a π - + c C b B
定义：任取数列 a 中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数p（p ），则称
2 2( - )cos 2 sin 2 = sin - sin . { n} > 0
数列 a 具有“性质p”已知项数为n的数列 a 的所有项之和为M ，且数列 a 具有“性
（ ）求B； { n} . { n} n { n}
ⅰ
质p”
（ ）若b ，且 ABC的面积为 ，求 ABC的周长 .
ⅱ = 5 △ 8 3 △ .
（）若n ，数列 a 具有“性质 ”，且a ，a ，写出M 的所有可能值；
（ 分） 1 =4 { n} 2 1=1 4=3 n
16. 15
（）若数列 a 具有“性质 ”，且a ，n ，证明：“a ”是“a a
已知函数f x x ax a R 2 { n} 2 1 = 985 = 2025 2025 = 5033 k +1 > k
3 2
( ) = - - 4( ∈ ). （k ，，…， ）”的充要条件；
=1 2 2024
（）判断函数f x 的单调性；
1 ( ) （）若数列 a 具有“性质p”，其中p为奇数，a ，n ，M ，证明：n m或n
3 { n} 1=0 ≥2 n=0 =4 =
（）若存在x ，使得f x ，求a的取值范围
2 0 ∈[-4,0] ( 0)≥ 0 . 4 m +1 ，（m ∈ N * ） .
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3 4 4 4
