高三数学试题答案
一、选择题：
1.B 解析 A中函数定义域不是[-2,2];C中图象不表示函数;D中函数值域不是
[0,2]。故选B。
2.A 解析 sin 239°tan 149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos 31°(-tan 31°)=sin
31°= 。故选A。
❑√1−a2
3.C 解析 由动点P满足⃗OP=(1-λ)⃗OD+λ⃗OC(λ∈R),且1-λ+λ=1,所以P,C,D三点
共线,又因为D为A,B的中点,所以CD为△ABC的边AB的中线,所以点P的轨迹
一定过△ABC的重心。故选C。
4.D 解析
由题意,以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如
⃗AB ⃗AD ⃗A A
1
图所示的空间直角坐标系 Axyz,因为正四棱柱ABCD⁃A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长为1,且
∠B AB=π,所以 BB =AB·tanπ ,则 A(0,0,0),C(1,1,0),E( ❑√3),A (0,0, ),所
1 1 =❑√3 0,1, 1 ❑√3
3 3 2
以 ( ❑√3), ( ❑√3), ( ❑√3)。设平面 EAC 的法向量为
⃗AE= 0,1, ⃗A E= 0,1,− ⃗CE= −1,0,
2 1 2 2
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学科网（北京）股份有限公司{ y+
❑√3
z=0,
n=(x,y,z),则{n·⃗AE=0, 2 令z=2 ,则x=3,y=-3,所以n=(3,-3,2 )是
即 ❑√3 ❑√3
n·⃗CE=0, ❑√3
−x+ z=0,
2
平面EAC的一个法向量。因为AC∥A C ,且AC 平面EAC,A C 平面EAC,所以
1 1 1 1
A C ∥平面EAC,所以A C 到平面EAC的距离d即点A 到平面EAC的距离,则d=
1 1 1 1 ⊂ 1 ⊄
|⃗A E·n| 6 ❑√30。故选D。
1 = =
|n| ❑√30 5
5.A 解析 设P(x,y),由⃗QP=(1,-3),得Q(x-1,y+3),因为Q在直线l:x+2y+1=0上,故
x-1+2(y+3)+1=0,化简得x+2y+6=0,即P的轨迹E为直线且与直线l平行,E上的点
到l的距离d=|6−1| ,故C,B,D错误,A正确。故选A。
=❑√5
❑√12+22
6.C 解析 因为h'(t)=-9.8t+8,所以h'(0.5)=-9.8×0.5+8=3.1,所以此运动员在 0.5
秒时的瞬时速度为3.1米/秒。故选C。
7.D 解析 由{a }是等差数列,得a +a =a +a ,又a +a =a +4,所以a =4,所以S =
n 5 6 2 9 5 6 2 9 17
17
(a +a )=17a =17×4=68。故选D。
1 17 9
2
8.B 解析 从小到大排列此数据为:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17。平均数为
1
×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;数据17出现了三次,17为众数;第5位、
10
第6位均是15,故15为中位数。所以a=14.7,b=15,c=17,即a<b<c。故选B。
二、选择题：
c3 c3 c3 c3 1 1
9.ACD 解析 由 < <0,得c≠0。当c>0时,由 < <0,得 < <0,即b<a<0,可
a b a b a b
a c3 c3 1 1 a c3
得0< <1;当c<0时,由 < <0,得 > >0,即b>a>0,所以0< <1,故A,D正确;由
b a b a b b a
c3 c3 c3 c3 (b−a)
< <0,得 - = <0,且a与b同号,即ab>0,所以c与b-a异号,即c与a-b
b a b ab
同号,故C正确;由ac<bc,得(a-b)c<0,故B错误。故选ACD。
10.BCD 解析 A项,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;B项,由零
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学科网（北京）股份有限公司a b
向量的定义知,零向量的长度为 0,故B正确;C项,因为 与 都是单位向量,所
|a| |b|
a b
以只有当 与 是相反向量,即a与b是反向共线时才成立,故C正确;D项,由
|a| |b|
向量相等的定义知D正确。故选BCD。
11.ABC 解析 因为(a+b)n的展开式中第5项的二项式系数 最大,所以n=7
C4
n
或n=8或n=9。故选ABC。
三、填空题：
12. a ∥ α 或 a α 。 解析 当a α时,由a∥b,b α,得a∥α;当a α时,满足题
中条件。综上,直线a与平面α的位置关系是a∥α或a α。
⊂ ⊄ ⊂ ⊂
13. x =2 或 3 x -4 y -10=0 。 解析 易知过点P且垂直于x轴的直线满足条件,此
⊂
时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2。若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2),即 kx-
y-2k-1=0,由已知得|−2k−1|=2,解得k=3,此时l的方程为3x-4y-10=0。综上,直
❑√k2+1 4
线l的方程为x=2或3x-4y-10=0。
14. 13 。 解析 当a=0时,b的值可以是-1,0,1,2,故(a,b)的个数为4。当a≠0时,
要使方程ax2+2x+b=0有实数解,需使Δ=4-4ab≥0,即ab≤1。若a=-1,则b的值可以
是-1,0,1,2,(a,b)的个数为4;若a=1,则b的值可以是-1,0,1,(a,b)的个数为3;若a=2,则
b 的值可以是-1,0,(a,b)的个数为 2。由分类加法计数原理可知,(a,b)的个数为
4+4+3+2=13。
四、解答题：
15.（本小题满分12分）
解 (1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,依题意得,当
0<x<8 时 ,L(x)=5x-(1 x2+x ) −3=− 1x2+4x-3; 当 x≥8 时 ,L(x)=5x-
3 3
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{− x2+4x−3,0<x<8,
( 100 ) ( 100)。所以L(x)= 3
6x+ −38 −3=35− x+
x x ( 100)
35− x+ ,x≥8。
x
1
(2)当 0<x<8 时,L(x)=- (x-6)2+9。此时,当 x=6 时,L(x)取得最大值,为 9 万元。当
3
x≥8 时,L(x)=35-( 100) √ 100=35-20=15,当且仅当 x=100时等号成立,
x+ ≤35−2❑ x·
x x x
即x=10时,L(x)取得最大值,为15万元。因为9<15,所以当年产量为10万件时,小
王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元。
16.（本小题满分12分）
解 (1)证明:因为 M,N 分别为 PD,AD 的中点,所以 MN∥PA。因为 MN 平面
PAB,PA 平面PAB,所以MN∥平面PAB。在Rt ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,所以
⊄
∠ACN=60°。又∠BAC=60°,所以CN∥AB。因为CN 平面PAB,AB 平面PAB,所
⊂ △
以CN∥平面PAB。又CN∩MN=N,所以平面CMN∥平面PAB。
⊄ ⊂
(2)由(1)知,平面CMN∥平面PAB,所以点M到平面PAB的距离等于点 C到平面
PAB 的 距 离 。 由 已 知 ,AB=1,∠ ABC=90°,∠ BAC=60°, 所 以 BC= , 所 以
❑√3
1 1 ❑√3
V =V =V =V = × ×1×❑√3×2= 。
P⁃ABM M⁃PAB C⁃PAB P⁃ABC
3 2 3
17.（本小题满分12分）
{x+2=0, {x=−2,
解 (1)证明:直线l的方程可化为 k(x+2)+(1-y)=0,令 解得 所以
1−y=0, y=1,
无论k取何值,直线l总经过定点(-2,1)。
1+2k
(2)由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为- ,在y轴上的截距为1+2k,要
k
{
1+2k
使直线不经过第四象限,则必须有 − <0,解得k>0;当k=0时,直线为y=1,符
k
1+2k>0,
合题意,故k的取值范围是[0,+∞)。
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1+2k
(3)由题意知k≠0,由l的方程,得A( 1+2k ),B(0,1+2k)。依题意,得 − <0,
− ,0 k
k
1+2k>0,
解得k>0。因为
S=1·|OA|·|OB|=1·|1+2k|·|1+2k|=1·(1+2k) 2 1( 1 ) 1×(2×2+4)=4, 当 且
= 4k+ +4 ≥
2 2 k 2 k 2 k 2
1 1
仅当4k= ,即k= 时,等号成立,所以S =4,此时直线l的方程为x-2y+4=0。
min
k 2
18.（本小题满分12分）
1 1 1 1 2−x
解 (1)当 a= 时,f(x)=ln x- x,函数的定义域为(0,+∞)且 f'(x)= − = ,令
2 2 x 2 2x
f'(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表。
x (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 ln 2-1 单调递减
故f(x)在定义域上的极大值为f(x) =f(2)=ln 2-1,无极小值。
极大值
1 1−ax
(2)由(1)知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= −a= 。当 a≤0 时,f'(x)>0 在
x x
(0,+∞)上恒成立,则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;当
a>0时,若x∈ ( 1),则f'(x)>0,若x∈ (1 ),则f'(x)<0,故函数在x=1处有极大值。
0, ,+∞
a a a
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,当a>0时,函数y=f(x)有一个极值点。
19.（本小题满分12分）
解 (1)解法一:记{a }的公差为d,由3a +2a =S +6,得
n 2 3 5
5×4
3(a +d)+2(a +2d)=5a + d+6,解得d=-2,所以
1 1 1
2
n(n−1)
S =na + ×(-2)=-n2+(a +1)n。若数列{S }为单调递减数列,则S -S <0(n≥1)
n 1 1 n n+1 n
2
恒成立,即a =a -2n<0(n≥1)恒成立,得a <2n(n≥1)恒成立,得a <2,即a 的取值范围
n+1 1 1 1 1
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学科网（北京）股份有限公司为(-∞,2)。
解法二:记{a }的公差为d,由3a +2a =S +6,得
n 2 3 5
5×4
3(a +d)+2(a +2d)=5a + d+6,解得d=-2,所以
1 1 1
2
n(n−1)
S =na + ×(-2)=-n2+(a +1)n。若数列{S }为单调递减数列,则需满足
n 1 1 n
2
a +1 3
1 < ,解得a <2,即a 的取值范围为(-∞,2)。
1 1
2 2
(2)由(1)知,{a }的公差 d=-2,又 a =1,所以 a =1+(n-1)×(-2)=3-2n。根据题意,数列
n 1 n
{b }为
n
1,20,-1,20,21,-3,20,21,22,-5,…,-2n+3,20,21,…,2n-1,-2n+1,…。可将数列分组:第一组为
1,20;第二组为-1,20,21;第三组为-3,20,21,22;第k(k∈N*)组为-2k+3,20,21,22,…,2k-1。则
(k+3)k
前k组一共有2+3+…+(k+1)= (项),当k=12时,项数为90。故T 相当于是
95
2
前12组的和再加上-23,1,2,22,23,即
T =[1+(-1)+(-3)+…+(-21)]+[20+(20+21)+(20+21+22)+…+(20+21+…+211)]+
95
(-23+1+2+22+23)。20+(20+21)+(20+21+22)+…+(20+21+…+211)可看成是数列 {c }
n
(c =2n-1)的前12项和,所以
n
(1−21)×12 2×(1−212 )
T = + -12-23+1+2+4+8=213-142=8 050。
95
2 1−2
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