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高三数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A D C A
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.【答案】AB
10.【答案】ABC
11.【答案】BC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.【答案】11 000
13.【答案】100
41
14.【答案】
120
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
【解析】
（1） 由题意得，−1,3分别为方程ax2+bx+c=0的两根，且a≠0，
4ac−b2
{ =−4,
4a
{
a=1,
则 − b =2, 解得 b=−2,∴f (x)=x2−2x−3.
a
c=−3,
c
=−3,
a
（ 2 ） ∀x∈(1,+∞)， f (x)>mx−m−6, 即 x2−2x−3>mx−m−6， 即
，
x2−2x+3>m(x−1)
， ， (x−1) 2+2 2 ，
∵x>1 ∴x−1>0 ∴m< =x−1+
x−1 x−1
2 2 √ 2
令ℎ(x)=x−1+ ，x>1，则ℎ(x)=x−1+ ≥2 (x−1)⋅ =2√2，当且仅
x−1 x−1 x−1
2
当x−1= ，即x=√2+1时等号成立，
x−1
故 ，则 .
ℎ(x) =2√2 m<2√2
min
16.（本小题满分16分）
【解析】（1） 设△ABC内切圆的半径为r，
因为 S2+S2−S S =S2 ，所以(1 ar ) 2 + (1 cr ) 2 − (1 ar ) ⋅ (1 cr ) = (1 br ) 2，
1 3 1 3 2 2 2 2 2 2
化简并整理得a2+c2−b2=ac，
a2+c2−b2 1
所以cosB= = ，
2ac 2
因为 ( π)，所以 π，所以 2π，
B∈ 0, B= A+C=
2 3 3
b c c⋅sinB √3
因为 = ，所以b= = ，
sinB sinC sinC sinC
因为△ABC为锐角三角形，
π
{ 0<C< ,
所以 2 解得π π，
<C<
2π π 6 2
0< −C< ,
3 2
1
所以 <sinC<1，
2
所以 的取值范围为 .
b (√3,2√3)
（2） 选择①，因为4sinBsinA+cos2A=1，
所以4sinBsin A=1−cos2A=2sin2A，
因为sinA≠0，所以sinA=2sinB，
所以a=2b，
由（1）知a2+c2−b2=ac，所以4b2+4−b2=4b，整理得3b2−4b+4=0，此方程无实
数根，所以△ABC不存在.
1−2cosA 1−2cosB
选择②，由 + =0得，
sin A sinB
sin A+sinB−2(sin AcosB+cosAsinB)=0，
所以sin A+sinB=2sin(A+B)，
即sinA+sinB=2sinC，所以a+b=2c=4，
由（1）知a2+c2−b2=ac，所以a2+4−b2=2a，
所以 ，解得 ，
a2+4−(4−a) 2=2a a=b=2
1 1 √3
所以△ABC存在且唯一，则△ABC的面积S= acsinB= ×2×2× =√3.
2 2 2
a2+b2−c2 b2+c2−a2
选择③，因为acosC+ccosA=1，所以a⋅ +c⋅ =b=1，
2ab 2bc
由（1）知a2+c2−b2=ac，
所以a2+4−1=2a，整理得a2−2a+3=0，
此方程无实数根，所以△ABC不存在.17.（本小题满分15分）
【解析】
(1)设公比为q.由题意得a＋a＝2a，
1 2 3
∴a(1＋q－2q2)＝0，
1
又∵a≠0，∴q＝－或1(舍)，
1
∵a＋a＝5，∴a(1＋q2)＝5，∴a＝4，
1 3 1 1
∴a＝4·.
n
(2)S＝＝.
n
∵S＞，∴＞，
k
∴＜－，
显然，k为奇数，即＞＞＝.
解得k≤3，所以满足条件的最大正整数k的值为3.
18.（本小题满分15分）
【解析】
(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积
V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M
为OA中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可
得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
19.（本小题满分16分）
【解析】
(1)∵|AF|＝|AF|＝a，
1 2
且∠FAF＝90°，|FF|＝2c，
1 2 1 2
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F(1，0)，设B(x，y)，
2
由AF2＝2F2B，解得x＝，y＝－，代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
