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中华中学2023-2024学年度暑期小练（1）试卷
高三数学
本卷考试时间：90分钟 总分：100分
命题人： 审核人：
一､选择题（本大题共8小题，每小题 3分，共24 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知复数 ， ，且复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算先求出 ，再根据共轭复数的关系求出复数 ，根据复数
的几何意义，即可求出结果.
【详解】因为复数 ， ，
所以 ，
所以复数 ，所以 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
2．设命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】由全称量词命题的否定求解即可.
【详解】全称量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，
因为 ： ， ，
所以 为 ， .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司3．在 中，角 的对边分别为 ，则 外接圆的面积为
（ ）
A． B． C． D．
试卷第2页，共17页【答案】B
【分析】利用正弦定理结合已知可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面
积》
【详解】设 外接圆的半径为 ，则 ，解得 ，
所以 外接圆的面积为 .
故选：B.
4．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由 得到 ，结合余弦定理，即可求出结
果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
由余弦定理，可得：
，所以 .
故选:C
5．设直线 与椭圆 交于 、 两点，点 在直线 上．若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先消参将参数方程转化为普通方程，得 、 两点关于原点对称，转化
为 ，则问题转化为定点O到直线上一点P距离为1，建立不等式求斜率
试卷第2页，共1页范围即可.
【详解】椭圆方程为 ，椭圆中心在原点，直线 与椭圆交于 、 两点，
则由对称性可知， 、 关于原点对称，所以 ，
所以 ，故原点到直线 的距离 ，
解得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司故选：D.
【点睛】关于三角形中线的向量表示：
在 中， 是边 上的中线，则 .
6．比较 ， ， 的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数的性质可知 ，由指数函数的性质可求
出 ， ，进而可判断三者的大小关系.
【详解】解：因为 ，
所以 ， ，
，
则 ，
故选：B.
备选：设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为 ，所以构造函数 ，利用导数
判断单调性，可得 ，令 ， ，利用导数判断单调性，可得
.
【详解】因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以设 ， ，
所以 在 上为增函数，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 .
试卷第4页，共17页令 ， ，
，所以 在 上为增函数，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，
综上所述： .
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造函数 ， ，
，利用导数判断单调性，根据单调性比较大小是解题关键.
7.设函数 为奇函数且在 上为减函数，则关于 的值表述正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义结合二次函数的单调性即可得解.
【详解】因为函数 为 上的奇函数，且递减，
所以 且 ，
即 ，
所以 ，解得 ，经检验符合题意，
故 ，
因为函数 在 上为减函数，
所以 ，所以 .
故选：C.
试卷第4页，共1页8.已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当 取最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】由题设可得 ，结合 ， 及余弦
定理可得 ，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，
则 ，
所以 ，即 ，
由 ， ， ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 在 上单调递减， ，
所以当 取最大值时， .
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是
结合三角形重心的性质和余弦定理可得 ，然后利用基本不等式求解，考查
转化思想，属于较难题.
二､多选题（本大题共4小题，每小题 4 分，共16 分.在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4 分，部分选对的得2
分，有选错的得0分）
学科网（北京）股份有限公司9．若 ， ， 为实数，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
试卷第6页，共17页C．“关于 的不等式 恒成立”的充要条件是“ ，
”
D．“ ”是“关于 的方程 有两个异号的实根”的必要不充分条
件
【答案】BD
【解析】若 ，则A选项不成立；根据不等式的性质，可判断B正确；根据充要条
件的概念，可判断C错；根据充分条件和必要条件的概念，结合方程根的个数，可判
断D正确.
【详解】A选项，若 ， ，则 ，A错；
B选项，若 ，则 ， ，即 ，B正确；
C选项，不等式 不一定是一元二次不等式，所以不能推出 ；由
， ，可得出不等式 恒成立，所以“关于 的不等式
恒成立”的充要条件不是“ ， ”，C错；
D选项，若关于 的方程 有两个异号的实根，则 ，即 ，
因此“ ”是“关于 的方程 有两个异号的实根”的必要不充分条件，
D正确.
故选：BD.
10．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯
音的数学函数为 ，其中A影响音的响度和音长， 影响音的频率，响度与振
幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉．平
时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是
．则下列说法正确的有（ ）
A． 是偶函数；
试卷第6页，共1页B． 的最小正周期可能为 ；
C．若声音甲的函数近似为 ，则声音甲的响度一定比纯音
的响度大；
D．若声音乙的函数近似为 ，则声音乙一定比纯音
低沉．
【答案】CD
学科网（北京）股份有限公司【分析】对于A，根据奇函数的定义判断，可知A错误；对于B，根据函数周期性的
定义，可知B错误；对于C，比较振幅的大小，可知C正确；对于D，求出频率，比
较大小，可知D正确.
【详解】对于A，因为
，所以函数
是奇函数，故A错误；
对于B，因为
，故B错误；
对于C，因为 ，所以声音甲的振幅大于 ，而纯音
的振幅等于 ，所以声音甲的响度一定比纯音 响度大，
故C正确；
对于D，因为 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，所以
的最小正周期为 ，频率为 ， 的频率为 ，
，所以声音甲一定比纯音 更低沉．故D正确.
故选：CD
11.已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为1
C． 的最小值为 D． 的最小值为3
【答案】AC
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解.
【详解】 .
对于 ，当且仅当 时取等号，故 正
确；
对于 ，当 时， ，故 错误；
对于
试卷第8页，共2页当且仅当 时取等号，故C正确；
试卷第8页，共2页对于D，
，但是当 时， 不符合题意，故等号不成立，故 错误.
故选：AC.
12.已知两曲线 与 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标
B．若 ，则两曲线只有一条公切线
C．若 ，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为
D．若 分别是两曲线上的点，则 两点距离的最小值为1
【答案】ABD
【分析】对于选项A，由公切线斜率相等，可得关系 ，借助导数求出 范围；
对于选项B，由 有两个零点可判断为错误；
对于选项C，由导数的几何意义，表示出切线方程，解方程组可判断；
对于选项D，由图象，或找到两曲线斜率相等的切线，求出切线间的距离，可判断.
【详解】若两曲线只有一个交点，记交点为 ，则 ，
且在此处的切线为公切线，所以 ，即 满足 .
设 ，则 时单调递增， ，所以 错误.
试卷第8页，共1页如上图， 时，设 ，
则 ，由于 ， ，
所以存在 ，使得 ，
那么当 时， ， 为单调递减函数，
当 时， ， 为单调递增函数，
学科网（北京）股份有限公司且 ，所以 有两个零点，
则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以 错误.
时，设 是曲线 上的一点， ，
所以在点 处的曲线 切线方程为 ，即 ①，
设 是曲线 上的一点， ，
所以在点 处的切线方程为 ，即
所以 ，解得 或
所以所以两斜率分别是1和 ，所以 正确.
时，曲线 的一条切线为 ， 的一条切线 ,
两切线间的距离为最小值 ，所以 错误.
二､填空题（本大题共4小题，每小题 4分，共16 分.将答案填写在题中
的横线上.）
13．已知命题p：对 ， ，若p为真命题，则实数a的最小值是
______．
【答案】
【分析】利用一元二次不等式恒成立，求出a的范围作答.
【详解】因为 ， ，于是 ，解得 ，
所以实数a的最小值是 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
14. 已知sin ，则 ___________.
【答案】
试卷第10页，共17页【解析】
【分析】“给值求值”问题，找角与角之间的关系
【详解】
所以
所以
故答案为：
15．已知 ， 是非零向量， ， ，向量 在向量 方向上的投影为
，则 .
【答案】2
【分析】根据数量积的性质，结合投影定义求解可得.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
∵向量 在向量 方向上的投影为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2
16. 若存在实数 使得 ，则 的值为__________.
试卷第10页，共1页【答案】 /
【分析】由已知得 ，令 ，利用导数可得 ，
再根据等号成立的条件可得答案.
【详解】由已知得 ，
令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递减，所以 ，
可得 ，所以 ，
即 ，
当且仅当 即 等号成立，
此时 的值为 .
故答案为： .
备选在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边， 为最大角，若
.且 ，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】由 ，利用二倍角公式，和差化积化简为
，再根据 为最大角，得到 ，设 ，则
，由 ，得到 ，从而得到 ，
然后令 ，利用三角函数的性质求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
，
，
，
学科网（北京）股份有限公司又因为 为最大角，所以 ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
令 ，
试卷第12页，共17页则 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
所以 的最小值为4，
故答案为：4
【点睛】关键点点睛：本题关键是由 ，结合 为最大角，得
到 ，从而设 ，建立 ，利用三角函数的性质得解.
四､解答题（本大题共4小题，共44分.解答时应写出文字说明､证明过程或
演算步骤）
17．(10分)已知集合 ， .
(1)求集合 ；
(2)若 ， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简集合A、B，再利用并集定义去求 即可解决；
（2）利用题给条件列出关于实数m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.
【详解】（1）因为集合 ，
，
所以
（2）由（1）得，
当 时， ， ，满足 ，符合题意；
试卷第12页，共1页当 时， ，若
则 ，解之得
综上，实数m的取值范围是
学科网（北京）股份有限公司18．(10分)在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，当 取最小值时，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先由正弦定理得 ，利用三角恒等变换及特殊角的三角
函数即得；
（2）利用余弦定理得 及基本不等式可得不等式成立时可得 为等
边三角形，进而即得.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得
，
又 ，所以 ，
∴ ，
∴ ，得 ，又 ，
所以 ，即 ．
（2）因为 ，所以
又 ，
所以 ．
当且仅当 时， 取得最小值1，即 为等边三角形．
所以 ．
19．(12分)已知函数 .
(1)若不等式 对任意 恒成立，求整数m的最大值；
(2)若函数 ，将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍
学科网（北京）股份有限公司（纵坐标不变），再向右平移 个单位，得到函数 的图象，若关于x的方程
在 上有解，求实数k的取值范围.
试卷第14页，共17页【答案】(1)4(2)
(1)由题意得，
.
因为 ，所以 ，
所以 ，所以当 时， 的最小值为1；当 时， 的
最大值为2，所以 .
由题意得， ，所以 对一切 恒成立，
所以 ，解得 ，所以整数m的最大值为4.
(2)由题意知， ，
将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得
，
再向右平移 个单位得 ，
因为关于x的方程 在区间 上有解，整理得：
，即 （*）在区间 上
有解，
，
因为 ，所以
令 ，
（*）式可转化为： 在 内有解，
所以 ， ，又因为 和 在 为增函数，
试卷第14页，共1页所以 在 为增函数，
所以当 时， 取得最小值 ；当 时， 取得最大值 ，
所以 ，
综上所述：k的取值范围为 .
20．(12分)设函数 ，其中 .
(1)讨论函数 在 上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点 ，且满足 ，求正实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出 ，分 、 讨论，可得答案；
（2）由零点存在定理可知 ，而题设 ，消去a可得
，令 ，且 ，求出 ， ，将其代入 得
，再利用导数分 、 讨论可得答案..
【详解】（1）由 知 ，
1）当 时，且有 ， ， 单调递增，故无极值；
2）当 时，有 ， ， 单调递减，而 ， ，
单增，故 ， 无极大值.
综上，当 时， 无极值；
当 时， 极小值为 ， 无极大值；
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可知当 时， ， ，
且 ，
由零点存在定理可知 ，而题设可知 ，消去a可得
，令 ，且 ，即 ， ，
试卷第16页，共17页将其代入 ，整理可令得 ，
而 ，
1)当 时，且 ，有 ， 单调递增， ，
满足题设；
2)当 时，且 ，有 ， 单调递减， ，不满足
题设；
综上， 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是 消去a可得
，令 得 、 ， 将其代入 构造函数
，本题还考查了学生思维能力、运算能力.
试卷第16页，共1页
