2024届新高考新试卷结构第19题新定义--导数压轴题分类汇编（学生版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2024新高考新试卷结构19题新定义
导数压轴题分类汇编
【精选例题】
1 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲
余弦函数chx
1

ex+e-x
= 的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①sin2x+cos2x=1，②和角公
2
式：cosx+y 
sinx
=cosxcosy-sinxsiny，③导数：
 =cosx,
cosx 

 定义双曲正弦函数shx
=-sinx,

ex-e-x
= ．
2
(1)直接写出shx  ，chx  具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)；
(2)若当x>0时，shx  >ax恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求fx  =chx  -cosx-x2的最小值．
2 已知a为实数，fx  =x+a  lnx+1  ．对于给定的一组有序实数k,m  ，若对任意x 1 ，x 2 ∈-1,+∞  ，
都有 kx 1 -fx 1   +m  kx 2 -fx 2   +m  ≥0，则称k,m  为fx  的“正向数组”．
(1)若a=-2，判断0,0  是否为fx  的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若k,m  为fx  的“正向数组”，则对任意x>-1，都有kx-fx  +m≤0；
(3)已知对任意x 0 >-1，f x 0  ,fx 0  -x 0 f x 0    都是fx  的“正向数组”，求a的取值范围．3 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函
a +ax+⋯+a xm
数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)= 0 1 m ，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=
1+bx+⋯+b xn
1 n
R(0)，f(0)=R(0)⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似为R
ax
(x)= ．注：f(x)=f(x)
1+bx
2
 ,f(x)=f(x)  ,f(4)(x)=f(x)  ,f(5)(x)=f(4)(x)  ,⋯
(1)求实数a，b的值；
1
(2)求证：(x+b)f
x
 >1；
1
(3)求不等式1+
x

x 1
<e<1+
x

x+1
2的解集，其中e=2.71828⋯．4 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲
线C：y=fx
3

 
上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线l 也
A
随着转动到B点的切线l ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l 的倾斜角与l 的倾斜角之差)．显
B B A
然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以
 Δθ
定义K=
Δs


为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点
Δθ
A处的弯曲程度，因此定义K=lim
Δs→0 Δs

y
=

1+y2 
(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率．(其中
3 2
y＇，y＇＇分别表示y=fx  在点A处的一阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
x2 1
(2)求椭圆 +y2=1在 3,
4 2
 处的曲率；
(3)定义φy 
2 2y
=

1+y

为曲线y=fx
3
 的“柯西曲率”．已知在曲线fx  =xlnx-2x上存在两点
P x 1 ,fx 1    和Q x 2 ,fx 2    ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 3x + 3x 的取值范围． 1 25“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式(Bernoulli'sInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 x∈-1,+∞
4
 ，在 n∈1,+∞  时，有不等式 1+x  n
≥1+nx成立；在 n∈0,1  时，有不等式 1+x  n≤1+nx成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当 n≥1时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知 a,a ,⋯,a n∈N*
1 2 n
 是大于-1的实数(全部同号)，证明
1+a 1  1+a 2  ⋯1+a n  ≥1+a+a +⋯+a 1 2 n
6 梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数
fx 
xs-1
= (x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．
ex-1
(1)当1<s≤2时，讨论fx  的单调性；
(2)当s>2时；
①证明fx  有唯一极值点；
②记fx  的唯一极值点为gs  ，讨论gs  的单调性，并证明你的结论．7 定义函数f nx
5

x2 x3
=1-x+ - +⋯+-1
2 3

xn
n n∈N*
n
 ．
(1)求曲线y=f nx  在x=-2处的切线斜率；
(2)若f 2x  -2≥kex对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；
(3)讨论函数f nx  的零点个数，并判断f nx  是否有最小值．若f nx  有最小值m﹐证明：m>1-ln2；
若f nx  没有最小值，说明理由．
(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)
8 如 果 函 数 F x  的 导 数 F  x  = f x  ，可 记 为 F x  = fx   dx ． 若 f x  ≥ 0 ，则
b
fx
a
 dx=Fb  -Fa   表示曲线y=fx  ，直线x=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若Fx 
1
= dx，且F1
x
 =1，求Fx  ；
π a
(2)已知0<α< ，证明：αcosα< cosxdx<α，并解释其几何意义；
2
0
1 π 2π 3π nπ
(3)证明：  1+cos + 1+cos + 1+cos +⋯+ 1+cos
n n n n n

2 2
< ，n∈N*．
π9 对于函数y=fx
6
 ,x∈I，若存在x 0 ∈I，使得fx 0  =x 0 ，则称x 0 为函数fx  的一阶不动点；若存在x ∈ 0
I，使得f fx 0    =x 0 ，则称x 0 为函数fx  的二阶不动点；依此类推，可以定义函数fx  的n 阶不动点.
其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知fx  =2x+2x-3，求fx  的不动点；
(2)已知函数fx  在定义域内单调递增，求证： “x 0 为函数fx  的不动点”是“x 0 为函数fx  的稳定点”的
充分必要条件；
(3)已知a>-1，讨论函数fx 
2
= lnx+a+1
e2

1
x- 的稳定点个数.
x
【跟踪训练】
10 已知y=fx  与y=gx  都是定义在0,+∞  上的函数，若对任意x 1 ，x 2 ∈0,+∞  ，当x <x 时，都有 1 2
gx 1  ≤ fx 1  -fx 2  x-x ≤gx 2
1 2
 ，则称y=gx  是y=fx  的一个“控制函数”．
(1)判断y=2x是否为函数y=x2 x>0  的一个控制函数，并说明理由；
(2)设fx  =lnx的导数为f x 
fb
，0<a<b，求证：关于x的方程
 -fa 
=f x
b-a
 在区间a,b  上有实
数解；
(3)设fx  =xlnx，函数y=fx  是否存在控制函数？若存在，请求出y=fx  的所有控制函数；若不存
在，请说明理由．11 利用拉格朗日 (法国数学家，1736 - 1813) 插值公式，可以把二次函数 F(x) 表示成 F(x) =
d(x-b)(x-c) e(x-a)(x-c) f(x-a)(x-b)
+ + 的形式.
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
(1)若a=1，b=2，c=3，d=4，e<f，把F(x)的二次项系数表示成关于f的函数G(f)，并求G(f)的值
域(此处视e为给定的常数，答案用e表示)；
db2-c2
(2)若a<b<c，d>0，e<0，f>0，求证：a+b<
7

+ec2-a2

+fa2-b2

<b+c.
d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)
12 多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由a，b，c⋯等多个自变量唯一确定的因变量，则当a变
Δy dy
化为a+Δa时，y变化为y+Δy，记 Δ li a m →0Δa 为y对a的导数，其符号为 da .和一般导数一样，若在a 1 ,a 2 
dy dy
上，已知 >0，则y随着a的增大而增大；反之，已知 <0，则y随着a的增大而减小.多元导数除满
da da
足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： dy 1 +y 2  = dy 1 + dy 2；②乘法法则： dy 1 y 2
da da da
 =
da
y
d 1 y dy 1 +y dy 2；③除法法则： y 2
2 da 1 da

dy dy
y 1 -y 2 2da 1 da =
da
 dy dy dy 1 ；④复合法则： 2 = 2 ⋅ 1.记y=ex+ x2
y2 da dy da e
2 1
1
lnx- x2-ex-a.(e=2.7182818⋯为自然对数的底数)，
2e
dy dy
(1)写出 和 的表达式；
dx da
(2)已知方程y=0有两实根x,x ，x<x .
1 2 1 2
①求出a的取值范围；
②证明 dx 1 +x 2  >0，并写出x+x 随a的变化趋势.
da 1 213 设函数fx
8
 =sinx-xcosx，gx 
x2
=1+
2
 cosx.
(1)①当x∈0,π  时，证明：fx  ≥0；
②当x∈-π,π  时，求gx  的值域；
(2)若数列a n  满足a 1 =1，a n+1 =a n cosa n ，a n >0，证明：3a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a n  cosacosa cosa ⋅⋅⋅cosa <2 1 2 3 n
(n∈N*).
14 给出下列两个定义：
Ⅰ.对于函数y=f(x)，定义域为D，且其在D上是可导的，其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定义
函数”.
Ⅱ.对于一个“同定义函数”y=f(x)，若有以下性质：
①f x  =g fx    ；②f(x)=h(f(x))，其中y=g(x)，y=h(x)为两个新的函数，y=f x  是y=f(x)的导
函数.
我们将具有其中一个性质的函数y=f(x)称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=f(x)称之
为“双向导函数”，将y=g(x)称之为“自导函数”.
(1)判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的
“自导函数”.Ⅰ.f(x)=tanx；Ⅱ.f(x)=lnx.
(2)给出两个命题p，q，判断命题p是q的什么条件，证明你的结论.
p：y=f(x)是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，q：f(x)=k⋅ax(k∈R,a>0,a≠1).
(3)已知函数h(x)=(xa-b)ex.
①若h(x)的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围.
4
②若a=b=1，且定义I(x)=exh(x)- kx3+kx，若对任意k∈[1,2]，x∈[0,k]，不等式I(x)≤c恒成立，
3
求c的取值范围.15 若函数 fx
9
 在定义域内存在两个不同的数x 1 ，x 2 ，同时满足 fx 1  = fx 2  ，且 fx  在点 x 1 ,fx 1    ，
x 2 ,fx 2    处的切线斜率相同，则称fx  为“切合函数”.
(1)证明：fx  =2x3-6x为“切合函数”；
(2)若gx 
1
=xlnx- x2+ax为“切合函数”(其中e为自然对数的底数)，并设满足条件的两个数为x ， e 1
x .
2
e2
(ⅰ)求证：xx < ；
1 2 4
3
(ⅱ)求证：(a+1)2xx - xx < .
1 2 1 2 4
16 设y=fx  、y=gx  是定义域为R的函数，当gx 1  ≠gx 2  时，δx 1 ,x 2  = fx 1  -fx 2 
gx 1  -gx 2 
.
(1)已知y=gx  在区间I上严格增，且对任意x 1 ,x 2 ∈I,x 1 ≠x 2 ，有δx 1 ,x 2  >0，证明：函数y=fx  在区
间I上是严格增函数；
(2)已知gx 
1
= 3 x3+ax2-3x，且对任意x 1 ,x 2 ∈R，当gx 1  ≠gx 2  时，有δx 1 ,x 2  >0，若当x=1时，函
数y=fx  取得极值，求实数a的值；
(3)已知gx 
π
=sinx,f 2 
π
=1,f- 2  =-1，且对任意x 1 ,x 2 ∈R，当gx 1  ≠gx 2  时，有 δx 1 ,x 2    ≤1，证
明：fx  =sinx.17 给出下列两个定义：
I.对于函数y=fx
10
 ，定义域为D，且其在D上是可导的，若其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定
义函数”.
II.对于一个“同定义函数”y=fx  ，若有以下性质：
①f x  =g fx    ；②fx  =h f x    ，其中y=gx  ,y=hx  为两个新的函数，y=f x  是y=fx  的
导函数.
我们将具有其中一个性质的函数y=fx  称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=fx  称之
为“双向导函数”，将y=gx  称之为“自导函数”.
(1)判断函数y=tanx和y=lnx是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写
出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题p:y=fx  是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题q:fx  =k⋅ax(k∈R,a>0,a
≠1).判断命题p是q的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数fx  =xa-b  ex.
①若fx  的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围；
②若a=b=1，且定义Ix  =exfx 
4
- kx3+kx，若对任意k∈ 1,2 ,x∈
3
  0,k  ，不等式Ix  ≤c恒成立，
求c的取值范围.18 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 y = ux
11
 vx 
ux  >0，ux   ≠1  ，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数y=xx，y=
xx  = elnx  x   =exlnx  =exlnx lnx+1  .
(1)已知fx 
x-1
=x x，x>0，求曲线y=fx  在x=1处的切线方程；
(2)若m>0且m≠1，x>0.研究gx 
1+mx
=
2

1
x的单调性；
as+bs
(3)已知a，b，s，t均大于0，且a≠b，讨论
2

t at+bt
和
2

s
大小关系.
19 定义：设y=fx  和y=gx  均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为f x  和g x  ，若不等式
fx  -gx    f x  -g x    ≤0对任意实数x恒成立，则称y=fx  和y=gx  为“相伴函数”.
(1)给出两组函数，①f 1x 
1
=
e

x
和g 1x  =0②f 2x  =ex和g 2x  =x，分别判断这两组函数是否为“相
伴函数”(只需直接给出结论，不需论证)；
(2)若y=fx  ､y=gx  是定义在R上的可导函数，y=fx  是偶函数，y=gx  是奇函数，fx  +gx 
=lne-x+1  +x，证明：y=fx  和y=gx  为“相伴函数”；
(3)fx  =sinx+θ  ,gx  =cosx-θ  ，写出“y=fx  和y=gx  为相伴函数”的充要条件，证明你的结
论.20 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先
猜想某个方程fx
12
 =0的其中一个根r在x=x 0 的附近，如图所示，然后在点 x 0 ,fx 0    处作fx  的切
线，切线与x轴交点的横坐标就是x ，用x 代替x 重复上面的过程得到x ；一直继续下去，得到x ，x ，
1 1 0 2 0 1
x ，⋯⋯，x ．从图形上我们可以看到x 较x 接近r，x 较x 接近r，等等．显然，它们会越来越逼近r．
2 n 1 0 2 1
于是，求r近似解的过程转化为求x n ，若设精度为ε，则把首次满足x n -x n-1  <ε的x 称为r的近似解． n
已知函数fx  =x3+a-2  x+a，a∈R．
(1)当a=1时，试用牛顿迭代法求方程fx  =0满足精度ε=0.5的近似解(取x =-1，且结果保留小数点 0
后第二位)；
(2)若fx  -x3+x2lnx≥0，求a的取值范围．
21 对于函数y=fx  的导函数y=f x  ，若在其定义域内存在实数x 0 ,t，使得fx 0 +t  =t+1  f x 0  成
立，则称y=fx  是“跃点”函数，并称x 0 是函数y=fx  的“t跃点”
π
(1)若m为实数，函数y=sinx-m，x∈R是“ 跃点”函数，求m的取值范围；
2
(2)若a为非零实数，函数y=x3-2x2+ax-12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2
跃点”，求a的值：
(3)若b为实数，函数y=ex+bx,x∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范
围.