2024届新高考新试卷结构第19题新定义--导数压轴题分类汇编（学生版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2024新高考新试卷结构19题新定义 导数压轴题分类汇编 【精选例题】 1 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲 余弦函数chx 1  ex+e-x = 的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①sin2x+cos2x=1，②和角公 2 式：cosx+y  sinx =cosxcosy-sinxsiny，③导数：  =cosx, cosx    定义双曲正弦函数shx =-sinx,  ex-e-x = ． 2 (1)直接写出shx  ，chx  具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)； (2)若当x>0时，shx  >ax恒成立，求实数a的取值范围； (3)求fx  =chx  -cosx-x2的最小值． 2 已知a为实数，fx  =x+a  lnx+1  ．对于给定的一组有序实数k,m  ，若对任意x 1 ，x 2 ∈-1,+∞  ， 都有 kx 1 -fx 1   +m  kx 2 -fx 2   +m  ≥0，则称k,m  为fx  的“正向数组”． (1)若a=-2，判断0,0  是否为fx  的“正向数组”，并说明理由； (2)证明：若k,m  为fx  的“正向数组”，则对任意x>-1，都有kx-fx  +m≤0； (3)已知对任意x 0 >-1，f x 0  ,fx 0  -x 0 f x 0    都是fx  的“正向数组”，求a的取值范围．3 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函 a +ax+⋯+a xm 数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)= 0 1 m ，且满足：f(0)=R(0)，f(0)= 1+bx+⋯+b xn 1 n R(0)，f(0)=R(0)⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似为R ax (x)= ．注：f(x)=f(x) 1+bx 2  ,f(x)=f(x)  ,f(4)(x)=f(x)  ,f(5)(x)=f(4)(x)  ,⋯ (1)求实数a，b的值； 1 (2)求证：(x+b)f x  >1； 1 (3)求不等式1+ x  x 1 0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题． ex-1 (1)当12时； ①证明fx  有唯一极值点； ②记fx  的唯一极值点为gs  ，讨论gs  的单调性，并证明你的结论．7 定义函数f nx 5  x2 x3 =1-x+ - +⋯+-1 2 3  xn n n∈N* n  ． (1)求曲线y=f nx  在x=-2处的切线斜率； (2)若f 2x  -2≥kex对任意x∈R恒成立，求k的取值范围； (3)讨论函数f nx  的零点个数，并判断f nx  是否有最小值．若f nx  有最小值m﹐证明：m>1-ln2； 若f nx  没有最小值，说明理由． (注：e=2.71828⋯是自然对数的底数) 8 如 果 函 数 F x  的 导 数 F  x  = f x  ，可 记 为 F x  = fx   dx ． 若 f x  ≥ 0 ，则 b fx a  dx=Fb  -Fa   表示曲线y=fx  ，直线x=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积． (1)若Fx  1 = dx，且F1 x  =1，求Fx  ； π a (2)已知0<α< ，证明：αcosα< cosxdx<α，并解释其几何意义； 2 0 1 π 2π 3π nπ (3)证明：  1+cos + 1+cos + 1+cos +⋯+ 1+cos n n n n n  2 2 < ，n∈N*． π9 对于函数y=fx 6  ,x∈I，若存在x 0 ∈I，使得fx 0  =x 0 ，则称x 0 为函数fx  的一阶不动点；若存在x ∈ 0 I，使得f fx 0    =x 0 ，则称x 0 为函数fx  的二阶不动点；依此类推，可以定义函数fx  的n 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点. (1)已知fx  =2x+2x-3，求fx  的不动点； (2)已知函数fx  在定义域内单调递增，求证： “x 0 为函数fx  的不动点”是“x 0 为函数fx  的稳定点”的 充分必要条件； (3)已知a>-1，讨论函数fx  2 = lnx+a+1 e2  1 x- 的稳定点个数. x 【跟踪训练】 10 已知y=fx  与y=gx  都是定义在0,+∞  上的函数，若对任意x 1 ，x 2 ∈0,+∞  ，当x 0  的一个控制函数，并说明理由； (2)设fx  =lnx的导数为f x  fb ，00，e<0，f>0，求证：a+b< 7  +ec2-a2  +fa2-b2  0，则y随着a的增大而增大；反之，已知 <0，则y随着a的增大而减小.多元导数除满 da da 足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： dy 1 +y 2  = dy 1 + dy 2；②乘法法则： dy 1 y 2 da da da  = da y d 1 y dy 1 +y dy 2；③除法法则： y 2 2 da 1 da  dy dy y 1 -y 2 2da 1 da = da  dy dy dy 1 ；④复合法则： 2 = 2 ⋅ 1.记y=ex+ x2 y2 da dy da e 2 1 1 lnx- x2-ex-a.(e=2.7182818⋯为自然对数的底数)， 2e dy dy (1)写出 和 的表达式； dx da (2)已知方程y=0有两实根x,x ，x0，并写出x+x 随a的变化趋势. da 1 213 设函数fx 8  =sinx-xcosx，gx  x2 =1+ 2  cosx. (1)①当x∈0,π  时，证明：fx  ≥0； ②当x∈-π,π  时，求gx  的值域； (2)若数列a n  满足a 1 =1，a n+1 =a n cosa n ，a n >0，证明：3a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a n  cosacosa cosa ⋅⋅⋅cosa <2 1 2 3 n (n∈N*). 14 给出下列两个定义： Ⅰ.对于函数y=f(x)，定义域为D，且其在D上是可导的，其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定义 函数”. Ⅱ.对于一个“同定义函数”y=f(x)，若有以下性质： ①f x  =g fx    ；②f(x)=h(f(x))，其中y=g(x)，y=h(x)为两个新的函数，y=f x  是y=f(x)的导 函数. 我们将具有其中一个性质的函数y=f(x)称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=f(x)称之 为“双向导函数”，将y=g(x)称之为“自导函数”. (1)判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的 “自导函数”.Ⅰ.f(x)=tanx；Ⅱ.f(x)=lnx. (2)给出两个命题p，q，判断命题p是q的什么条件，证明你的结论. p：y=f(x)是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，q：f(x)=k⋅ax(k∈R,a>0,a≠1). (3)已知函数h(x)=(xa-b)ex. ①若h(x)的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围. 4 ②若a=b=1，且定义I(x)=exh(x)- kx3+kx，若对任意k∈[1,2]，x∈[0,k]，不等式I(x)≤c恒成立， 3 求c的取值范围.15 若函数 fx 9  在定义域内存在两个不同的数x 1 ，x 2 ，同时满足 fx 1  = fx 2  ，且 fx  在点 x 1 ,fx 1    ， x 2 ,fx 2    处的切线斜率相同，则称fx  为“切合函数”. (1)证明：fx  =2x3-6x为“切合函数”； (2)若gx  1 =xlnx- x2+ax为“切合函数”(其中e为自然对数的底数)，并设满足条件的两个数为x ， e 1 x . 2 e2 (ⅰ)求证：xx < ； 1 2 4 3 (ⅱ)求证：(a+1)2xx - xx < . 1 2 1 2 4 16 设y=fx  、y=gx  是定义域为R的函数，当gx 1  ≠gx 2  时，δx 1 ,x 2  = fx 1  -fx 2  gx 1  -gx 2  . (1)已知y=gx  在区间I上严格增，且对任意x 1 ,x 2 ∈I,x 1 ≠x 2 ，有δx 1 ,x 2  >0，证明：函数y=fx  在区 间I上是严格增函数； (2)已知gx  1 = 3 x3+ax2-3x，且对任意x 1 ,x 2 ∈R，当gx 1  ≠gx 2  时，有δx 1 ,x 2  >0，若当x=1时，函 数y=fx  取得极值，求实数a的值； (3)已知gx  π =sinx,f 2  π =1,f- 2  =-1，且对任意x 1 ,x 2 ∈R，当gx 1  ≠gx 2  时，有 δx 1 ,x 2    ≤1，证 明：fx  =sinx.17 给出下列两个定义： I.对于函数y=fx 10  ，定义域为D，且其在D上是可导的，若其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定 义函数”. II.对于一个“同定义函数”y=fx  ，若有以下性质： ①f x  =g fx    ；②fx  =h f x    ，其中y=gx  ,y=hx  为两个新的函数，y=f x  是y=fx  的 导函数. 我们将具有其中一个性质的函数y=fx  称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=fx  称之 为“双向导函数”，将y=gx  称之为“自导函数”. (1)判断函数y=tanx和y=lnx是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写 出其对应的“自导函数”； (2)已知命题p:y=fx  是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题q:fx  =k⋅ax(k∈R,a>0,a ≠1).判断命题p是q的什么条件，证明你的结论； (3)已知函数fx  =xa-b  ex. ①若fx  的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围； ②若a=b=1，且定义Ix  =exfx  4 - kx3+kx，若对任意k∈ 1,2 ,x∈ 3   0,k  ，不等式Ix  ≤c恒成立， 求c的取值范围.18 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 y = ux 11  vx  ux  >0，ux   ≠1  ，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数y=xx，y= xx  = elnx  x   =exlnx  =exlnx lnx+1  . (1)已知fx  x-1 =x x，x>0，求曲线y=fx  在x=1处的切线方程； (2)若m>0且m≠1，x>0.研究gx  1+mx = 2  1 x的单调性； as+bs (3)已知a，b，s，t均大于0，且a≠b，讨论 2  t at+bt 和 2  s 大小关系. 19 定义：设y=fx  和y=gx  均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为f x  和g x  ，若不等式 fx  -gx    f x  -g x    ≤0对任意实数x恒成立，则称y=fx  和y=gx  为“相伴函数”. (1)给出两组函数，①f 1x  1 = e  x 和g 1x  =0②f 2x  =ex和g 2x  =x，分别判断这两组函数是否为“相 伴函数”(只需直接给出结论，不需论证)； (2)若y=fx  ､y=gx  是定义在R上的可导函数，y=fx  是偶函数，y=gx  是奇函数，fx  +gx  =lne-x+1  +x，证明：y=fx  和y=gx  为“相伴函数”； (3)fx  =sinx+θ  ,gx  =cosx-θ  ，写出“y=fx  和y=gx  为相伴函数”的充要条件，证明你的结 论.20 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先 猜想某个方程fx 12  =0的其中一个根r在x=x 0 的附近，如图所示，然后在点 x 0 ,fx 0    处作fx  的切 线，切线与x轴交点的横坐标就是x ，用x 代替x 重复上面的过程得到x ；一直继续下去，得到x ，x ， 1 1 0 2 0 1 x ，⋯⋯，x ．从图形上我们可以看到x 较x 接近r，x 较x 接近r，等等．显然，它们会越来越逼近r． 2 n 1 0 2 1 于是，求r近似解的过程转化为求x n ，若设精度为ε，则把首次满足x n -x n-1  <ε的x 称为r的近似解． n 已知函数fx  =x3+a-2  x+a，a∈R． (1)当a=1时，试用牛顿迭代法求方程fx  =0满足精度ε=0.5的近似解(取x =-1，且结果保留小数点 0 后第二位)； (2)若fx  -x3+x2lnx≥0，求a的取值范围． 21 对于函数y=fx  的导函数y=f x  ，若在其定义域内存在实数x 0 ,t，使得fx 0 +t  =t+1  f x 0  成 立，则称y=fx  是“跃点”函数，并称x 0 是函数y=fx  的“t跃点” π (1)若m为实数，函数y=sinx-m，x∈R是“ 跃点”函数，求m的取值范围； 2 (2)若a为非零实数，函数y=x3-2x2+ax-12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2 跃点”，求a的值： (3)若b为实数，函数y=ex+bx,x∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范 围.