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岳阳县一中2021级高三上学期入学考试
数学试卷
总分：150分 时量：120分钟
一．选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．集合A＝{x|x2+px+q＝0，x R}＝{2}，则p+q＝（ ）
A．﹣1 B．0∈ C．1 D．2
2．在下列函数中，为偶函数的是（ ）
A．f（x）＝x﹣cosx B．f（x）＝xcosx
C．f（x）＝ln|x| D．
3．函数f（x）＝log x+2x﹣1的零点所在区间为（ ）
2
A． B． C． D．
4．若 、 是两个不重合的平面，
①若α β内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ∥ ；
②设α、 相交于直线l，若 内有一条β直线垂直于l，则 α⊥ β；
③若α外β一条直线l与 内的α一条直线平行，则l∥ ； α β
以上说α法中成立的有（ α ）个． α
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
第1页（共5页）
学科网（北京）股份有限公司6．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高
约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的
仰角分别为 30°和 45°，在 A 处测得楼顶部 M 的仰角为 15°，则鹳雀楼的高度约为
（ ）
A．91m B．74m C．64m D．52m
7．若正实数x、y满足x+y＝1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知函数 ，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），
则abc的取值范围是（ ）
A．（5，10） B．（5，8） C．（6，8） D．（8，10）
二．多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选
项中，有多项是符合题目要求的。）
9．已知命题p：“ x R，x2+2x3+x4≥0”，则（ ）
A．¬p： x R，∀x2+∈2x3+x4＜0 B．¬p： x R，x2+2x3+x4＜0
C．p是假∃命∈题 D．p是真∀命∈题
10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为M，则下列说法错误的是（ ）
A．M＝ ，则a＜0，Δ＜0
B．若M∅＝（﹣1，3），则关于x的不等式﹣cx2﹣bx﹣b＞cx+4a的解集为
C．若M＝{x|x≠x ，x 为常数}，且a＜b，则 的最小值为
0 0
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学科网（北京）股份有限公司D．若a＜0，ax2+bx+c＜0的解集M一定不为
∅
11．已知直线y=a与曲线 相交于A，B两点，与曲线 相交于B，C两点，A，
B，C的横坐标分别为x，x，x，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
12．正方形 中， 为 中点， 为线段 上的动点， ，则下
列结论正确的是（ ）
A．当 为线段 上的中点时， B． 的最大值为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
三．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。）
13．“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 ．
14．已知正数x，y满足x（x+2y）＝9，则 的最大值为 ．
15．设函数 当a＝0时，f（x）的值域为 ；
若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是 ．
16．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，
将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到
一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正
方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．
若该二十四等边体的体积为 ，则原正方体
的外接球的表面积为 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
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学科网（北京）股份有限公司17．（10分）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
18．（12分）甲乙两人进行象棋比赛，先胜三局的人晋级，假设甲每局获胜的概率为
（不考虑平局），
(1)若比赛三局后结束，求甲晋级的概率；
(2)若已知晋级的是甲，求比赛三局后结束的概率.
19．（12分已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ，若数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，探究：
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（12分）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角
的正弦值．
21．（12分）已知函数 ，e是自然对
数的底数，若 ，且 恰为 的极值点.
（1）证明： ；
（2）求 在区间 上零点的个数．
22．（12分）已知双曲线 ： ，设 是双曲线 上任意一点， 为
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学科网（北京）股份有限公司坐标原点， 为双曲线右焦点， ， 为双曲线的左右顶点.
（1）已知：无论点 在右支的何处，总有 ，求 的取值范围；
（2）设过右焦点 的直线 交双曲线于 ， 两点，若存在直线 ，使得 为等边三
角形，求 的值；
（3）若 ， ，动点 在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线 和直线
与直线 ： 分别相交于点 和 ，试问：是否存在定点 ，使得 恒成立？
若存在，请求出定点 的坐标；若不存在，试说明理由.
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