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★秘密·2022年8月19日16：00前
重庆市 2022-2023 学年（上）8 月月度质量检测
高三数学
2022.08
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，
那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（
）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．已知 ，且 ， 成立的充分而不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．“不等式 在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式 恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 在 上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．人教版初中数学教材在八年级下册便介绍过海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其
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学科网（北京）股份有限公司著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由
此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于
上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
，其中 、 、 分别为 内角 、 、 的对边.若 ，
，则 面积 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．设随机变量 （ 且 ）， 最大时， （ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
8．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．在三棱锥 中， 分别是棱 的中点，下列结论正确
的是（ ）
A． 平面 B．
C．三棱锥 的体积的最大值为 D． 与 不垂直
10．已知直线 ，则（ ）
A． 恒过点 B．若 ，则
C．若 ，则 D．当 时， 不经过第三象限
11．已知函数 是定义在 上的函数， 是 的导函数，若 ，且
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学科网（北京）股份有限公司，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在定义域上单调递增
B．函数 在定义域上有极小值
C．函数 的单调递增区间为
D．不等式 的解集为
12．若过点 最多可以作出 条直线与函数 的图像相切，则（ ）
A． 可以等于2022 B． 不可以等于3
C． D． 时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．集合 的真子集个数是__________.
14．函数 的零点个数是______．
15．设函数 ，若不等式 恰有两个整数解，则 的取值范围是______.
16．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止 ），
由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利
用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，
1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”
（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率
为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 在 处取得极大值为2．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的解析式；
(2)若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最小值．
18．重庆轨道交通9号线一期己于今年1月25日开通运营，全长32.29公里，从高滩岩站至兴科大道站一
路经过23座车站．沙坪坝站是目前客流量最大的站点，某数学兴趣小组在沙坪坝站作乘客流量来源地相
关调查，从上车人群中随机选取了100名乘客，记录了他们从来源地到沙坪坝站所花费时间t，得到下表：
时间
人数
6 30 35 17 8 4
（人）
(1)从在沙坪坝站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t小于 的概率；
(2)估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间t的中位数；
(3)已知 的6人，其平均数和方差分别为5，1.5； 的30人，其平均数和方差分别为8，9，
计算样本数据中 的平均数和方差．
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学科网（北京）股份有限公司19．如图：正方体ABCD－ABC D 棱长为2，E，F分别为DD ，BB 的中
1 1 1 1 1 1
点.
(1)求证：CF//平面AEC ；
1 1
(2)过点D做正方体截面使其与平面AEC 平行，请给以证明并求出该截面的
1 1
面积.
20．已知 ， 平面内一动点 满足 ．
(1)求 点运动轨迹 的轨迹方程；
(2)已知直线 与曲线 交于 ， 两点，当 点坐标为 时， 恒成立，试探究直线 的斜
率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司21．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之
后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如
下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），
前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员
甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为 ，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入
箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小
模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
22．已知函数 ， ．
(1)若 ，直线l是 的一条切线，求切线l的倾斜角 的取值范围；
(2)求证： 对于 恒成立．
（参考数据： ， ， ， ， ）
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