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专题 02 函数与导数（新定义）
一、单选题
1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则
称为“高斯函数”，例如： .已知函数 ，则函数 的值域是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2019秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集 中定义一种运算“ ”，具有下列性质：
①对任意a， ， ；
②对任意 ， ；
③对任意a， ， ．
则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设 ，若正实数 满足：
则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数 ，若存在 ，使
，则称点 与点 是函数 的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·高二单元测试）能够把椭圆 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的
“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设 ，计算机程序中用 表示不超过x的最大整数，则
称为取整函数．例如； ．已知函数 ，
其中 ，则函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使得 ，则称
为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在
上均存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）在定义域内存在 ，使得 成立的幂函数称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算 : ，
设函数 ，若函数 的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·山东日照·高一统考期末）已知符号函数 则“ ” 是“
” 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数 的定义域为 ，若 ，满足
，则称函数 具有性质 ．已知定义在 上的函数 具有性质
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．12．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）定义：对于 定义域内的任意一个自变量的值 ，都存在唯一
一个 使得 成立，则称函数 为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）定义：在区间 上，若函数 是减函数，且 是增函数，
则称 在区间 上是“弱减函数”.若 在 上是“弱减函数”，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知定义域为 的“类康托尔函数” 满足：①
， ；② ；③ .则 （ ）
A． B． C． D．
15．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）定义两种运算： ， ，则函
数 的解析式为（ ）
A． ，
B． ，
C． ，D． ，
16．（2023·全国·高三对口高考）定义 ，若函数 在 上单调递减，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）定义在 上的函数 ，若对于任意的 ，恒
有 ，则称函数 为“纯函数”，给出下列四个函数（1） ；（2）
；（3） ；（4） ，则下列函数中纯函数个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）对于函数 ，若集合 中
恰有 个元素，则称函数 是“ 阶准奇函数”．若函数 ，则 是“（ ）阶
准奇函数”．
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2022秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）定义 为不小于 的最小整数（例如： ，
），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）设 是 上的任意实值函数．如下定义两个
函数 和 ，对任意 ， ，则下列等式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知 ， 是定义在 上的严格增函数，
，若对任意 ，存在 ，使得 成立，则称 是 在 上
的“追逐函数”．已知 ，则下列四个函数中是 在 上的“追逐函数”的个数为（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如果函数 的定义域为 ，且值域为 ，则称
为“ 函数．已知函数 是“ 函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022秋·河南周口·高一校考期中）对于函数 ，若对任意的 ， ， ， ， ，
为某一三角形的三边长，则称 为“可构成三角形的函数”，已知 是可构成三角形的
函数，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2021秋·浙江嘉兴·高一校联考期中）定义 ，如 ．则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·高一课时练习）函数 满足在定义域内存在非零实数 ，使得 ，则称函数
为“有偶函数”．若函数 是在 上的“有偶函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2020秋·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数 和 ，设函数的定义域为
，则称函数 在 上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（ ）
①
② ；
③
A．0 B．1 C．2 D．3
27．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条
件：
① 在 内是单调的；②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是该函数的“和
谐区间” 若函数 存在“和谐区间”，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．28．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）对于定义域为 的函数 ，若存在非零实数 ，使函数
在 和 , 上与 轴均有交点，则称 为函数 的一个“界点”．则下列四个函数中，不
存在“界点”的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2022秋·江西景德镇·高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数 对任意 且 ，都有
，则称函数 为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数 及其导函数 ，若存在
使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2023·全国·高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“ ”、“内卷”、
“躺平”等．定义方程 的实数根 叫做函数 的“躺平点”．若函数 ，
的“躺平点”分别为 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．32．（2022·高二课时练习）设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为
，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”.已知
在 上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）定义方程 的实根 叫做函数 的“新驻点”，
若函数 ， ， 的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
34．（2022春·山东·高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程 的解 叫做函数
的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 ，使得
同时满足，① 在 上是单调函数，②当 的定义域为 时， 的值域也为 ，
则称区间 为该函数的一个“和谐区间”，则（ ）
A．函数 有3个“和谐区间”；B．函数 ， 存在“和谐区间”
C．若定义在 上的函数 有“和谐区间”，实数 的取值范围为
D．若函数 有“和谐区间”，则实数 的取值范围为
36．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数 的函数值等于所有不超过正
整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如： ， ，则（ ）
A． 是单调递增函数 B．当 时， 的最大值为
C．当 为素数时， D．当 为偶数时，
37．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）对于函数 ，若在区间 上存在 ，使得 ，则称
是区间 上的“稳定函数”.下列函数中，是区间 上的“稳定函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知定义在 上的函数 的图象连续不断，若存在常数
，使得 对于任意的实数 恒成立，则称 是回旋函数.给出下列四个命题，正
确的命题是（ ）
A．函数 （其中 为常数， 为回旋函数的充要条件是B．函数 是回旋函数
C．若函数 为回旋函数，则
D．函数 是 的回旋函数，则 在 上至少有1011个零点
39．（2023秋·河南周口·高一统考期末）若函数 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有
；②若对于定义域上的任意 ， ，当 时，恒有 ，则称函数
为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
40．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，
首次定义了取整函数 ，表示“不超过 的最大整数”，后来我们又把函数 称为“高斯函数”，关于
下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， ，都有
B．函数 的值域为 或
C．函数 在区间 上单调递增
D．
41．（2023·山东临沂·高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，
由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关
键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 ，令 ，若存在正整数k使得 ，且当 时， ，则称 值是 的一个周期为k的周期点．若
，下列各值是 周期为2的周期点的有（ ）
A．0 B． C． D．
42．（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）设函数 的定义域为 ，若对于任意 ，存在
使 （ 为常数）成立，则称函数 在 上的“半差值”为 下列四个函数中，满
足所在定义域上“半差值”为 的函数是（ ）
A． B．
C． D．
43．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数 的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，
都有 ， ，且 ．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有
的真命题序号）．
①若 ，则 ；
②若当 时， 取得最大值5，则当 时， 取得最小值 ；
③若 在区间 上是严格增函数，则 在区间 上是严格减函数．
44．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数 的定义域为 ，满足：① 在
内是单调函数；②存在 ，使得 在 上的值域为 ，那么就称函数 为“优美
函数”，若函数 是“优美函数”，则 的取值范围是___________.45．（2023秋·山东德州·高一统考期末）在数学中连乘符号是“ ”，这个符号就是连续求积的意思，
把满足“ ”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如： ．函数
，定义使 为整数的数 叫做企盼数，则在区间 内，这
样的企盼数共有_______个．
46．（2021春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）对于函数 可以采用下列方法求导数：由
可得 ，两边求导可得 ，故 .根据这一方法，可
得函数 的极小值为___________.
47．（2021春·重庆渝北·高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设 与 是定义在同一区间 上
的两个函数，若函数 在 上有两个不同的零点，则称 与 在 上是“关
联函数”．若 与 在 上是“关联函数”，则实数 的取值范围是
____________．
48．（2018春·河南南阳·高二统考期中）定义：如果函数 在区间 上存在 ， （
），满足 ， ，则称函数 在区间 上是一个双中值函数，已知函数 是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是__________．
四、解答题
49．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布
劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得
，我们就称该函数“不动点”函数，实数 为该函数的不动点.
(1)求函数 的不动点；
(2)若函数 有两个不动点 ，且 ， ，求实数 的取值范围.
50．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数 ，若点 在函数 图像
上运动时，对应的点 在函数 图像上运动，则称函数 是函数 的相关函
数.
(1)求函数 的解析式；
(2)对任意的 的图像总在其相关函数图像的上方，求实数 的取值范围.
51．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数 的定义域为R，且对 ，都有
，则称 为“J形函数”
(1)当 时，判断 是否为“J形函数”，并说明理由；
(2)当 时，证明： 是“J形函数”；
(3)如果函数 为“J形函数”，求实数a的取值范围.52．（2022秋·陕西安康·高三统考期末）已知函数 .
(1)若 在其定义域内是增函数，求 的取值范围；
(2)定义：若 在其定义域内单调递增，且 在其定义域内也单调递增，则称 为 的
“协同增函数”.
已知函数 ，若 是 的“协同增函数”，求 的取值范围.
53．（2022·高二课时练习）记 、 分别为函数 、 的导函数．若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”．
（1）证明：函数 与 不存在“ 点”；
（2）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值．
54．（2023秋·广东江门·高一统考期末）对于函数 ，若其定义域内存在实数 满足 ，
则称 为“伪奇函数”.
(1)已知函数 ，试问 是否为“伪奇函数”？请说明理由；
(2)是否存在实数 满足函数 是定义在 上的“伪奇函数”？若存在，请求实数 的
取值范围；若不存在，请说明理由.
