1991年江苏高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江苏

1991年江苏高考理科数学真题及答案 一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内． 4 (1) 已知sinα= ，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( ) 5 4 3 3 4 (A)  (B)  (C) (D) 3 4 4 3 (2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( ) (A) y2=8(x+1) (B) y2=－8(x+1) (C) y2=8(x－1) (D) y2=－8(x－1) (3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( )  (A) (B) π (C) 2π (D) 4π 2 (4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线 共有 ( ) (A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对 5 (5) 函数y=sin(2x+ )的图像的一条对称轴的方程是 ( ) 2   (A) x=－ (B) x=－ 2 4  5 (C) x  (D) x  8 4 (6) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且 顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( ) (A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心 (7) 已知{a}是等比数列，且a>0，aa+2aa+aa=25，那么a+a的值等于 ( ) n n 2 4 3 5 4 6 3 5 (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 16 (8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ= ，那么它的焦点的极坐标为 ( ) 53cos (A) （0，0），（6，π） (B) (－3，0)，(3，0) (C) （0，0），（3，0） (D) (0，0)，(6，0) (9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1 台，则不同的取法共有 ( ) 第1页 | 共11页(A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 (D) 35种 (10) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过 ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙 的必要条件，那么 ( ) (A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件 (D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 1 1 1 1 (12) lim[n(1 )(1 )(1 )]…(1－ )]的值等于 ( ) n 3 4 5 n2 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (13) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间[－7，－ 3]上是 ( ) (A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5 (14) 圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为 2 的点共有 ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 (15) 设全集为R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M={x|f (x)≠0}，N={x|g (x)≠0}，那么 集合 {x|f (x)g (x)=0}等于 ( ) (A) M N (B)M N (C)M N (D)M N    二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 1 1 (16) arctg +arctg 的值是____________ 3 2 (17) 不等式6x2x2<1的解集是___________ (18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°， 那么这个正三棱台的体积等于 第2页 | 共11页(19) (ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a>1，那 么a= (20) 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝ a．那么这个球面的面积是 三、解答题：本大题共6小题；共60分． (21) (本小题满分8分) 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合． (22) (本小题满分8分) z2 3z6 已知复数z=1＋i, 求复数 的模和辐角的主值． z1 (23) (本小题满分10分) 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于 ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离． (24) (本小题满分10分) 根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． (25) (本小题满分12分) 已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式 1(2)n logx－log x＋12log x＋…＋n (n－2)n1log x> log (x2－a) a a2 a3 an 3 a (26) (本小题满分12分) 3 双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为 的直线交双 5 曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程． 参考答案 第3页 | 共11页说明： 一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见 的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定 相应评分细则． 二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当 考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数 的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分． 三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程 中合理省略非关键性的推导步骤． 四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 五、只给整数分数． 一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分． (1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D 二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．  14 10 (16) (17) {x|－20； ——6分 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 当xx≥0时，有x2  x x  x2>0； 1 2 1 1 2 2 ∴ f (x) － f (x)= (x － 2 1 1 x)(x2  x x  x2)<0． ——8分 2 1 1 2 2 即 f (x) < f (x) 2 1 所以，函数f(x)=－x+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10 3 分 证法二：在(－∞，+∞)上任取x，x，且x0． 1 2 1 又 ∵ x2＋x2> (x2＋x2)≥|xx|≥－xx 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ∴ x2  x x  x2>0， 1 1 2 2 ∴ f (x) － f (x) = (x － x) 2 1 1 2 (x2  x x  x2)<0． ——8分 1 1 2 2 即 f (x) < f (x)． 2 1 所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10 分 (25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12 分． 解：利用对数换底公式，原不等式左端化为 log x log x log x logx－4· a ＋12· a ＋…＋n(－2)n－1 · a a log a2 log a3 log an a a a =[1－2＋4＋…＋(－2)n－1] logx a 1(2)n = logx a 3 1(2)n 1(2)n 故原不等式可化为 logx> log(x2－a)． ① a a 3 3 1(2)n 当n为奇数时， >0，不等式①等价于 3 logx>log(x2－a)． ② a a 因为a>1，②式等价于 x 0  x2 a 0  x  x2 a  第7页 | 共11页x 0   x  a  x2 xa 0 x  a   1 14a 1 14a ——6分   x   2 2 1 14a 1 14a 4a 因为 <0， > = a ， 2 2 2 1 14a 所以，不等式②的解集为{x| a log(x2－a)． ③ a a 因为a>1，③式等价于 x 0  x2 a 0  x  x2 a  x 0   x  a  x2 xa 0 x  a x  a     1 14a 或  1 14a ——10分 x  x   2  2 1 14a 1 14a 4a 因为 0，   a， ——12分 2 2 2 1 14a 所以，不等式③的解集为{x|x> }． 2 1 14a 综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x| a  x  }； 2 1 14a 当n为偶数时，原不等式的解集是{x|x  } 2 第8页 | 共11页(26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基 本知识，以及综合分析能力．满分12分． x2 y2 解法一：设双曲线的方程为  =1． a2 b2 依题意知，点P，Q的坐标满足方程组 x2 y2  1  ① a2 b2   y  3  xc   其中c  a2 b2  ②   5 将②式代入①式，整理得 (5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③ ——3分 b 3 设方程③的两个根为x，x，若5b2－3a2=0，则 = ，即直线②与双曲线①的两条 1 2 a 5 渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0． 根据根与系数的关系，有 6a2c x  x  ④ 1 2 5b2 3a2 3a2c2 5a2b2 x x   ⑤ ——6分 1 2 5b2 3a2 3 由于P、Q在直线y= (x－c)上，可记为 5 3 3 P (x， (x－c))，Q (x， (x－c))． 1 1 2 2 5 5 3 3 (x c) (x c) 5 1 5 2 由OP⊥OQ得 · =－1， x x 1 2 整理得3c(x+x)－8xx－3c2=0． ⑥ 1 2 1 2 将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0， (a2+3b2)(3a2－b2)=0． 第9页 | 共11页因为 a2+3b2≠0，解得b2=3a2， 所以 c= a2 b2 =2a． ——8分 3 3 由|PQ|=4，得(x－x)2=[ (x－c)－ (x－c)]2=42． 2 1 2 1 5 5 整理得(x+x)2－4xx－10=0． ⑦ 1 2 1 2 将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1． ——10分 将a2 =1代入b2=3a2得 b2=3． y2 故所求双曲线方程为x2－ =1． ——12分 3 解法二：④式以上同解法一． ——4分 3a2c 40ab2 3a2c 40ab2 解方程③得x= ，x= ④ ——6分 1 5b2 3a2 2 5b2 3a2 3 3 3 由于P、Q在直线y= (x－c)上，可记为P (x， (x－c))，Q (x， (x－ 1 1 2 2 5 5 5 c))． 3 3 由OP⊥OQ，得x x＋ (x－c)· (x－c)=0． ⑤ 1 2 1 2 5 5 将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0， 即 (a2+3b2)(3a2－b2)=0． 因a2+3b2≠0，解得b2=3a2． ——8分 3 3 由|PQ|=4，得(x－x)2+[ (x－c)－ (x－c)]2=42． 2 1 2 1 5 5 即 (x2－x1)2=10． ⑥ 将④式代入⑥式并整理得 (5b2－3a2)2－16a2b4=0． ——10分 将b2=3a2代入上式，得a2=1， 将a2=1代入b2=3a2得b2=3． 故所求双曲线方程为 第10页 | 共11页y2 x2－ =1． ——12分 3 第11页 | 共11页