1998年湖北高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖北

1998 年湖北高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5 分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º ( ) 1 1 3 3 (A) (B) － (C) (D) － 2 2 2 2 (2) 函数y=a|x|(a＞1)的图像是 ( ) (3) 已知直线x=a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2=4相切，那么a的值是 ( ) (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线Ax＋By＋C=0，Ax＋By＋C=0垂直的充要条件是 ( ) 1 1 1 2 2 2 A A B B (A) AA＋BB=0 (B) AA－BB=0 (C) 1 2  1 (D) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 B B A A 1 2 1 2 1 (5) 函数f(x)= ( x≠0)的反函数f－1(x)= ( ) x 1 1 (A) x(x≠0) (B) (x≠0) (C) －x(x≠0) (D) － (x≠0) x x (6) 已知点P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )  3 5   5 (A) ( ， )∪(， ) (B) ( ， )∪(， ) 2 4 4 4 2 4  3 5 3   3 (C) ( ， )∪( ， ) (D) ( ， )∪( ，) 2 4 2 2 4 2 4 (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 ( ) (A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 ( ) 3 1 3 1 3 1 3 1 (A)  I (B) －  I (C) ±  I (D) ±  i 2 2 2 2 2 2 2 2 第1页 | 共10页(9) 如果棱台的两底面积是S，S′，中截面的面积是S，那么 ( ) 0 (A) 2 S  S  S (B) S= SS 0 0 (C) 2S=S＋S′ (D) S2  2SS 0 0 (10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不 同的分配方法共 ( ) (A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图 所示，那么水瓶的形状是 ( ) x2 y2 (12) 椭圆  =1的焦点为F，点P在椭圆上，如果线段PF的中点M在y轴上，那么 1 1 12 3 点M的纵坐标是 ( ) 3 3 2 3 (A) ± (B) ± (C) ± (D) ± 4 2 2 4 1 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为 ，经过这3个点的小 6 圆的周长为4π，那么这个球的半径为 ( ) (A) 4 3 (B)2 3 (C) 2 (D) 3 (14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 ( ) 1 5 2 5 2 5 1 2 5 2 (A) (B) (C) (D) 2 2 2 2 1 1 1 (15) 等比数列{a}的公比为－ ，前n项的和S满足limS= ，那么 的值为( ) n n n 2 n a a 1 1 3 6 (A) 3 (B)± (C)  2 (D)  2 2 第2页 | 共10页二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． x2 y2 (16) 设圆过双曲线  1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则 9 16 圆心到双曲线中心距离是__________ (17) (x＋2)10(x2－1)的展开的x10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱 ABCD－ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件 1 1 1 1 ____________时，有AC⊥BD．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考 1 1 1 试所有可能的情形)  (19) 关于函数f (x)=4sin(2x＋ )(x∈R)，有下列命题 3  ①y=f (x)的表达式可改写为y=4cos(2x－ )；②y=f (x)是以2π为最小正周期的周期函数； 6     ③y=f (x)的图像关于点 ，0对称； ④y=f (x)的图像关于直线x=－ 对称．  6  6 其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分) 设a≠b，解关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2． 21) (本小题满分11分)  在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C= ，求sinB的 3 值．以下公式供解题时参考：     sinsin 2sin cos ， sinsin 2cos sin ， 2 2 2 2     coscos 2cos cos ， coscos 2sin sin ． 2 2 2 2 (22) (本小题满分12分) 如图，直线l和l相交于点M，l ⊥l，点N∈l．以A、B为 1 2 1 2 1 端点的曲线段C上的任一点到l的距离与到点N的距离相等．若 2 第3页 | 共10页△AMN为锐角三角形，|AM|= 17 ，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方 程． (23) (本小题满分12分) 已知斜三棱柱ABC－A B C的侧面A ACC与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2， 1 1 1 1 1 AC=2 3，且AA ⊥AC，AA= A C． 1 1 1 1 1 (Ⅰ)求侧棱AA与底面ABC所成角的大小； 1 (Ⅱ)求侧面A ABB 与底面ABC所成二面角的大小； 1 1 (Ⅲ)求侧棱BB和侧面A ACC的距离． 1 1 1 (24) (本小题满分12分) 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水 从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中 该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多 少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)． (25) (本小题满分12分) 已知数列{b}是等差数列，b=1，b＋b＋…＋b=100． n 1 1 2 10 (Ⅰ)求数列{b}的能项b； n n 1 (Ⅱ)设数列{a}的通项a =lg(1＋ )，记S是数列{a}的前n项的和．试比较S与 n n n n n b n 1 lgb 的大小，并证明你的结论． n+1 2 1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题 第4页 | 共10页每小题5分．满分65分． (1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 16 (16) (17) －5120 3 (18) AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题： （20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为 (a2－b2)x+b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2， 移项，整理后得 (a－b)2(x2－x) ≤0， ∵ a≠b 即 (a－b)2＞0， ∴ x2－x≤0， 即 x(x－1) ≤0． 解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}． (21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用 三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分． 解：由正弦定理和已知条件a＋c=2b得 sinA＋sinC=2sinB． AC AC 由和差化积公式得2sin cos  2sinB． 2 2 sin(AC) cosB 由A＋B＋C=π，得 = ， 2 2  3 B 又A－C= ，得 cos =sinB， 3 2 2 3 B B B ∴ cos =2sin cos ． 2 2 2 2 B  cosB ∵ 0＜ ＜ ， ≠0， 2 2 2 第5页 | 共10页B 3 ∴sin = ， 2 4 B B 13 从而cos = 1sin2 = 2 2 4 3 13 39 ∴ sinB=  = 2 4 8 (22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本 思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12 分． 解法一：如图建立坐标系，以l为x轴，MN的垂直平分线 1 为y轴，点O为坐标原点． 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l为准线的抛线段 2 的一段，其中A、B分别为C的端点． 设曲线段C的方程为 y=2px (p＞0)，(x≤x≤x，y＞0)，其中x，x分别为A， 2 A B A B B的横坐标，P=|MN|． P P 所以 M (－ ，0)，N ( ，0)． 2 2 由 |AM|= 17 ，|AN|=3得 P (x＋ )2＋2Px=17， ① A A 2 P (x－ )2＋2Px=9． ② A A 2 4 由①、②两式联立解得x= ，再将其代入①式并由p＞0解得 A P p  4 p  2  或 ． x 1 x  2   A A P p  2 因为△AMN是锐角三角形，所以 ＞x，故舍去 ． 2 A  x  2 A ∴ P=4，x=1． A P 由点B在曲线段C上，得x=|BN|－ =4． B 2 第6页 | 共10页综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)． 解法二：如图建立坐标系，分别以l、l为x、y轴，M为坐标原点． 1 2 作AE⊥l，AD⊥l，BF⊥l，垂足分别为E、D、F． 1 2 2 设 A (x，y)、B (x，y)、N (x，0)． A A B B N 依题意有 x=|ME|=|DA|=|AN|=3， A 2 2 y=|DM|= AM  DA =2 2 ，由于△AMN为锐角三角形，故 A 有 x=|AE|+|EN|=4． N 2 2 =|ME|+ AN  AE =4 X=|BF|=|BN|=6． B 设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合 {(x，y)|(x－x)2+y2=x2，x≤x≤x，y＞0}． N A B 故曲线段C的方程 y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)． (23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质， 空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分． 注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作AD⊥AC，垂足为D，由面AACC⊥面ABC，得 1 1 1 AD⊥面ABC， 1 ∴ ∠AAD为AA与面ABC所成的角． 1 1 ∵ AA⊥AC，AA=AC， 1 1 1 1 ∴ ∠AAD=45º为所求． 1 (Ⅱ)作DE⊥AB，垂足为E，连AE，则由AD⊥面ABC，得AE⊥AB． 1 1 1 ∴∠AED是面AABB与面ABC所成二面角的平面角． 1 1 1 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC=2，AC=2 3， A D ∴ DE=1，AD=AD= 3，tgAED= 1 = 3． 1 1 DE 第7页 | 共10页故∠AED=60º为所求． 1 (Ⅲ) 作BF⊥AC，F为垂足，由面AACC⊥面ABC，知BF⊥面AACC． 1 1 1 1 ∵ BB∥面AACC， 1 1 1 ∴ BF的长是BB和面AACC的距离． 1 1 1 在Rt△ABC中，AB  AC2 BC2  2 2 ， ABBC 2 6 ∴ BF   为所求． AC 3 (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查 建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分． k 解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y= ，其中k＞0为比例系数，依题 ab 意，即所求的a，b值使y值最小． 根据题设，有4b＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)， 30a 得 b  (0＜a＜30＝， ① 2a k k 于是 y   ab 30aa2 2a k  64 a32 a2 k   64  34a2   a2 k  64   342 a2  a2 k  18 64 当a＋2= 时取等号，y达最小值． a2 这时a=6，a=－10(舍去)． 将a=6代入①式得b=3． 第8页 | 共10页故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大． 由题设知 4a＋2ab＋2a=60 (a＞0，b＞0) 即 a＋2b＋ab=30 (a＞0，b＞0)． ∵ a＋2b≥2 ab ， ∴ 2 2 ab ＋ab≤30， 当且仅当a=2b时，上式取等号． 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18． 即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18． ∴ 2b2=18．解得b=3，a=6． 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． (25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳， 推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分． 解：(Ⅰ)设数列工{b}的公差为d，由题意得 n b=1， 1 10(101) 10b＋ =100． 1 2d 解得 b=1， 1 d=2． ∴ b=2n－1． n (Ⅱ)由b=2n－1，知 n 1 1 S=lg(1＋1)＋lg(1＋ )＋…＋lg(1＋ ) n 3 2n1 1 1 =lg[(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )]， 3 2n1 1 lgb =lg 2n1． n＋1 2 1 1 1 因此要比较S与 lgb 的大小，可先比较(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )与 n n＋1 2 3 2n1 2n1的大小． 取n=1有(1＋1)＞ 211， 第9页 | 共10页1 取n=2有(1＋1)(1＋ )> 211 3 1 1 由此推测(1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )＞ 2n1． ① 3 2n1 若①式成立，则由对数函数性质可判定： 1 S＞ lgb ． n n＋1 2 下面用数学归纳法证明①式． (i)当n=1时已验证①式成立． (ii)假设当n=k (k≥1)时，①式成立，即 1 1 (1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )＞ 2k 1， 3 2k 1 那么，当n=k＋1时， 1 1 1 (1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )(1＋ ) 3 2k 1 2(k 1)1 1 ＞ 2k 1(1＋ ) 2k 1 2k 1 = (2k＋2)． 2k 1 2k 1 ∵ [ (2k＋2)]2－[ 2k 3]2 2k 1 4k2 8k 4k2 8k 3 = 2k 1 1 = ＞0， 2k 1 2k 1   ∴ (2k＋2) ＞ 2k 3= 2 k 1 1． 2k 1 1 1 1 因而 (1＋1)(1＋ )· … ·(1＋ )(1＋ )＞ 2(k 1)1． 3 2k 1 2k 1 这就是说①式当n=k＋1时也成立． 1 由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S> lgb ． n n＋1 2 第10页 | 共10页