2024-2025 学年湖北省十堰市六县市区一中教联体高一下学期 3 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 ( )
A={x|−1<x<2} B={x|√2<2x<8} A∩B=
A. B. (1 ) C. (1 ) D.
(−1,4) ,2 ,1 (0,2)
2 2
{log (x−2),x>2,
1
2.已知函数f (x)= 2 ，则f (2)=( )
f (x+2),x≤2,
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3.要得到函数 ( π)的图象，需将 的图象( )
y=cos 3x+ y=cos3x
4
π π
A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
12 4
π π
C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
12 4
4.已知 1 − 2， 1， ，则 ， ， 的大小关系是( )
a=( ) 3 b=85 c=ln2 a b c
2
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a
5.已知f (x)是定义域为R的奇函数，f (3)=0，且当x<0时，f (x)单调递增，则满足不等式f (x−2)>0的x
的取值范围是( )
A. (−5,−2) B. (−1,2)
C. (−5,−2)∪(−1,+∞) D. (−1,2)∪(5,+∞)
1
6.已知sinα+cosα= ，且α∈(0,π)，则sinα−cosα的值为( )
3
1 √17 √17 √17 √17
A. − B. − C. D. 或−
3 3 3 3 3
7.“m<2”是“x2−mx+1≥0在x∈[2,+∞)上恒成立”的( )
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1 1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
π π π
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|⩽ )，x=− 为f(x)的零点，x= 为y=f(x)图象的对称
2 8 8
π π
轴，且f(x)在( , )上单调，则ω的最大值为( )
18 9
A. 10 B. 12 C. 14 D. 18
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，其零点分别为x ,x ,x ,…,x ，若x +x +x +…+x =m，
1 2 3 2025 1 2 3 2025
则关于x的方程2x−x−3=m的解所在的区间是( )
A. (−3,−2) B. (−2,−1) C. (1,2) D. (2,3)
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,π))的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
π
A. ω=
3
π
B. φ=
3
17 23
C. 若f(x)在(0,m)上恰好有三个零点，则 <m≤
2 2
D. f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2025)=2
11.定义域为R的函数f (x)满足f (1+2x)=4−f (1−2x)，且函数g(x)=f (x)+2x的图像关于直线x=2
对称，则( )
A. f(x)的图像关于点(1,2)对称 B. g(x)的图像关于点(1,2)对称
C. g(x+4)=g(x) D. 若f(2)=1，则f(2024)=−4045
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2 1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数 为偶函数，则 ．
f(x)=(3m2−m−1)xm m=
13.某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，24min转动一圈.若该摩天
轮上一吊箱B(视为质点)从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历
的时长为 (单位：min).
14.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，称y=[x]为取整函数.例如：[1]=1，[0.5]=0，
5π
[−0.5]=−1.已知函数f(x)=2[sinx]+2[cosx]，则f( )= ;f(x)的值域为 ．
6
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 ， ．
S={x|m−1≤x≤2m+1} T={x|x2≤4}
(1)若S⊆T，求实数m的取值范围;
(2)若S∩T=⌀，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
2
(1)求值：(lg5) 2−(lg2) 2+ ．
1+log 5
2
1 √10
(2)在A、B为锐角，tan A= ,sinB= ，求A+2B的值．
7 10
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=log (ax2+4x+a−3)(a∈R)．
1
2
(1)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围；
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3 1(2)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形ABCD的四个顶点都落
π
在边界上.经过测量，在扇形OMN中，OM=20m，∠MON= ，记∠MOD=α，共设计了两个方案：
3
方案一，如图1，点A，B在半径OM上，点C在半径ON上，D是扇形弧上的动点，此时矩形ABCD的面
积记为S ;
1
方案二，如图2，点A，B分别在半径OM和ON上，点C，D在扇形弧上，AB//MN，记此时矩形
ABCD的面积为S ．
2
(1)分别用α表示两个方案中矩形ABCD的面积S ，S ;
1 2
(2)分别求出S ，S 的最大值，并比较二者最大值的大小．
1 2
19.(本小题12分)
若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x ，在其定义域内都存在唯一的x ，使得f(x )f(x )=1成立，则
1 2 1 2
称该函数是“依赖函数”。
判断 是否是“依赖函数”，并说明理由
(1) g(x)=x2+x ;
π π
(2)若f(x)=tan(ωx+ )(ω>0)在定义域[0, ]上是“依赖函数”，求ω的值;
6 3
1
(3)已知函数φ(x)=(x−m) 2 (m≤2)在定义域[ ,2]上是“依赖函数”，记ℎ(x)=φ(x)−(a+1)x+a，
2
若ℎ(x)<0的解集中恰有两个整数，求实数a的取值范围．
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4 1参考答案
1.B
2.B
3.A
4.A
5.D
6.C
7.A
8.C
9.AD
10.ACD
11.ACD
2
12.−
3
13.40
3 3
14. ；{1, ,2,3}
2 2
15.解： ．
(1)T={x|x2≤4}={x|−2⩽x⩽2}
因为S⊆T，
当S=⌀，则m−1>2m+1，即m<−2，符合题意；
{m−1⩽2m+1
1
当S≠⌀，则 m−1⩾−2 ，解得：−1⩽m⩽ ．
2
2m+1⩽2
即实数 的取值范围是 [ 1]．
m (−∞,−2)∪ −1,
2
(2)若S∩T=⌀，
当S=⌀，则m−1>2m+1，即m<−2，符合题意；
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5 1{ m−1⩽2m+1 3
当S≠⌀，则 ，解得：−2⩽m<− 或m>3．
2m+1<−2或m−1>2 2
即实数 的取值范围是( 3) ．
m −∞,− ∪(3,+∞)
2
2 2
16.解：(1)(lg5) 2−(lg2) 2+ =(lg5+lg2)(lg5−lg2)+
1+log 5 log 10
2 2
=1×(lg5−lg2)+2lg2=lg5+lg2=1．
(2)由已知A，B，C均为锐角，
2
由
sinB=
√10，得
cos2B=1−2sin2B=1−2×
(√10)
=
4，
10 10 5
∴sin2B=√1−cos22B=
√
1−
(4) 2
=
3，
5 5
sin2B 3
∴tan2B= = ，
cos2B 4
1
又tan A= ，
7
1 3
+
7 4
∴tan(A+2B)= =1．
1 3
1− ×
7 4
1 √3 π
又tan A= < ，故0<A< ，
7 3 6
√10 1 π
sinB= < ，故0<B< ，
10 2 6
( π)．
∴A+2B∈ 0,
2
π
从而A+2B= ．
4
17.解：(1)由题意知，
ax2+4x+a−3>0对任意的 x∈R恒成立，
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6 1当a=0时，4x−3>0，
3
解得x> ，不符合题意；
4
当 时，{ a>0
a≠0 ,
Δ=42−4a(a−3)<0
解得a>4，
综上，a的取值范围是(4,+∞) ；
(2)
当a=0时，f(x)=log
1
(4x−3)在区间[1,2]上单调递减，符合题意；
2
当a>0时，若f(x)在区间[1,2]上单调递减，
{ 4
则 − ≤1 ，所以 ，
2a a>0
a+4+a−3>0
当a<0时，若f(x)在区间[1,2]上单调递减，
{ 4
则 − ≥2 ，所以 1 ，
2a − <a<0
2
a+4+a−3>0
综上， 的取值范围是( 1 )．
a − ,+∞
2
18.解：(1)如图1，在Rt△OAD中，∠MOD=α，OD=20m，
所以OA=20cosα，AD=BC=20sinα．
√3 20√3
在Rt△OBC中，OB= BC= sinα，
3 3
20√3
AB=OA−OB=20cosα− sinα．
3
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7 120√3 π
S =BC⋅AB=20sinα(20cosα− sinα)，0<α< ．
1 3 3
如图2，过点D作DE⊥OM于点E．
在Rt△ODE中，∠MOD=α，OD=20m，
所以OE=20cosα，DE=20sinα．
π
在Rt△ADE中，∠MAD= ，
6
AD=2DE=40sinα，
AE=√3DE=20√3sinα，
OA=AB=OE−AE=20cosα−20√3sinα．
π
S =AD⋅AB=40sinα(20cosα−20√3sinα)，0<α< ．
2 3
π π π 5π π π
(2)由0<α< ，得 <2α+ < ， <2α+ <π．
3 6 6 6 3 3
方案一：
1 √3 400√3 π 200√3
S =400[ sin2α− (1−cos2α)]= sin(2α+ )− ．
1 2 6 3 6 3
π π π 200√3
当2α+ = 时，即α= 时，S 取最大值，最大值为 m2 ．
6 2 6 1 3
方法二，
S =400[sin2α−√3(1−cos2α)]
2
π
=800sin(2α+ )−400√3．
3
π π π
所以当2α+ = 时，即α= 时，S 取最大值，最大值为(800−400√3)m2．
3 2 12 2
200√3 200(7√3−12)
因为S −S = −(800−400√3)= >0，
1 2 3 3
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8 1所以S >S ．
1 2
19.解：(1)当x =0时，则g(x )=0，
1 1
故不存在x 使得g(x )⋅g(x )=1成立，
2 1 2
故 不是“依赖函数”
g(x)=x2+x .
π π
(2)若f(x)=tan(ωx+ )(ω>0)在定义域[0, ]上是“依赖函数”，
6 3
π 1 π π 3
则函数f(x)在[0, ]上单调递增，且 · > ，得ω<
3 2 ω 3 2
则 (π) ，
f(0)f =1
3
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9 1得 π (ωπ π) ，
tan ·tan + =1
6 3 6
得 (ωπ π) ，
tan + =√3
3 6
3 1
因为ω< ，所以ω= ．
2 2
1
(3)函数φ(x)=(x−m) 2 (m≤2)在定义域[ ,2]上是“依赖函数”，
2
则 (1) ，且 1，
φ φ(2)=1 m⩽
2 2
得(1 −m ) 2 ·(2−m) 2=1 ，
2
因为 1，所以(1 ) ，
m⩽ −m ·(2−m)=1
2 2
得 ( 5) ，
m m− =0
2
得m=0，
则 ，
ℎ(x)=x2−(a+1)x+a
由 ，得 ，
x2−(a+1)x+a<0 (x−1)(x−a)<0
若ℎ(x)<0的解集中恰有两个整数，
当a=1时，不合题意，
当a>1时，ℎ(x)<0的解集为(1,a)，则3<a⩽4，
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10 1当a<1时，ℎ(x)<0的解集为(a,1)，则−2⩽a<−1，
故实数a的取值范围为：[−2,−1)∪(3,4]．
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11 1
