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高一数学 9 月
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A，再求交集即可.
【详解】由 得 ，
即 ，
解得 或x>2，
所以 或 ，
所以 ，
故选：C.
2. 设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据子集关系，分别讨论 和 ，并检验集合元素 的互异性即可得结果．
【
详解】由已知得，若 ，解得 ，此时 , ， ,1, ，成立；
若 ，解得 ，此时 , ， , , ，不成立；
若 ，解得 ，此时 , ， ,3, ，不成立；
综上所述： ．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题
C. p和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】A
【解析】
【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.
【详解】对于命题 ，当 时， ，
当 时， ，所以命题 是真命题；
对于命题 ，当 时， ，所以命题 是真命题；
故选：A.
4. 如果对于任意实数x， 表示不超过x的最大整数，例如 ， ， ，那么“
”是“ ”的（ ）．
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】举出反例得到充分性不成立，再设 ，得到 ， ，故
，必要性成立，得到答案.
【详解】不妨设 ，满足 ，
但 ，不满足 ，充分性不成立，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，不妨设 ，则 ， ，
故 ，必要性成立，
故“ ”是“ ”的必要条件.
故选：B
5. 对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ，则 或
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的运算及基本关系求解．
【详解】解：对于A项，若 ，则对 ，有 ，则 ，则A项正确；
对于B项，若 ，则对 ，有 ，则 ，则B项正确；
对于C项，对 ，有 ，对 ，有 ，
所以，集合 的所有元素相同，即 ，则C项正确；
对于D项，如 ，显然 ，故D项错误，
故选：D
6. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 , ，则
【答案】D
【解析】
【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项
结论.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，若 ，当 时，则 ，故A错误；
对于B，若 ，满足 ，但 ，故B错误；
对于C，因 ， ，由 ，可得 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ，因 ，则 ，故D正确．
故选：D．
7. 若 、 、 为三个集合， ，则一定有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知等式可推导得到 ，由此可依次判断各个选项得到结果.
【详解】因为 ，
所以 ， ， ，
所以 ,
所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，当且仅当 时， ，故B错误；
对于C，当 时，满足 ，故C错误；
对于D，当 时，满足 ，故D错误.
故选：A.
8. 设集合 ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的
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学科网（北京）股份有限公司， （i≠ ， ），都有 （
表示两个数 中的较小者），则 的最大值是（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，首先分析出 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注
意对 表示两个数 、 中的较小者）的把握，即可得答案．
【详解】解：根据题意，对于 ，含2个元素的子集有15个，
但 ， 、 ， 、 ， 只能取一个；
， 、 ， 只能取一个；
， 、 ， 只能取一个，
故满足条件的两个元素的集合有11个；
故选： ．
二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 的值可能为（ ）
.
A 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】由充分不必要条件求出 的范围即可找到选项.
【详解】因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 .
故选：BCD
10. 设 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.
【详解】设 ，
而 ，即A错误，C正确；
，即B正确；
，即D正确.
故选：BCD.
11. 集合 ，且若 ，则 ，那么下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则 B. ，则
C. D. 若 ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据集合的定义，由 ， ，得到 ， ，即 ， ，然后利用一元二
次不等式的解法化简后逐项判断.
【详解】∵非空集合 满足：当 时，有
∴ ， ， .
则 ， ，且 ， .
即 或 ， 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 ，且 ，故 或 ,
对于A，当 时，有 ，故A正确；
对于B，当 时， ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 或 ，故C正确；
对于D，当 时，可知 或 ，故D错误.
故选：ABC
12. 关于 的不等式 解集的下列结论中，正确的是（ ）
A. 不等式的解集可以是
B. 不等式解集可以是
C. 不等式的解集不可能是
D. 不等式的解集可以是
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，举例说明判断ABC；假定不等式解集为 ，导出矛盾判断D.
【详解】对于A，取 ，原不等式化为 ，显然 恒成立，
即不等式 的解集为R，A正确；
对于B，取 ，原不等式化为 ，解得 ，即不等式的解集为 ，B正
确；
对于C，因为 时，不等式 成立，因此不等式的解集不可能是 ，C正确；
对于D，假定不等式 的解集是 ，则 是方程 的两个根，且
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学科网（北京）股份有限公司，
于是 ，解得 与 矛盾，因此原不等式的解集不能是 ，D错误.
故选：ABC
三､填空题（本题共4小题，每小题5分）
13. 命题“ ”的否定是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用全称命题的否定是特称命题得出结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ”的否定是 ，
故答案为： .
14. 若“ ”的一个充分不必要条件是“ ”，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合的包含关系解不等式即可.
【详解】因为“ ”是“ ”的一个充分不必要条件，
所以 是 的真子集，故 ，
故答案为：
15. 不等式 的解集为__________.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】将分式不等式化为 求解集.
【详解】由 ，
所以不等式解集为 .
故答案为：
16. 已知 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用乘“ ”法和基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则
当且仅当 ，即 取等号，
故答案为：
四、解答题
17. （1）若集 中有且仅有一个元素，求实数 的所有取值.
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学科网（北京）股份有限公司（2）已知集合 ，若 ，求实数 的值.
【答案】（1） ， ；（2） ， ， .
【解析】
【分析】（1）分 是否等于0两种情况讨论即可；
（2）分 是否等于0两种情况讨论即可.
【详解】（1）情形一：若 ，则 中只有 这一个元素，故 符
合题意；
情形二：若 ，且集合 中只有一个元素，
这意味着当且仅当一元二次方程 有两个相等的实数根，
从而 ，解得 ；
综上所述，实数 的所有取值可能为： ， ；
（2） ，
情形一：当 时， ，此时满足 ，故 符合题意；
情形二：当 时， ，
若要 ，则当且仅当 或 ，
解得 或 ；
综上所述，实数 的值可能是： ， ， .
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知命题 :“实数 满足 ”命题 :“ 都有意义”.
（1）已知 为假命题， 为真命题，求实数 的取值范围;
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将 代入，化简 、 ，然后根据 为假命题， 为真命题，列出不等式，即可得到结
果.
（2）先根据条件化简 、 得到 ，然后根据 是 的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.
【小问1详解】
当 时，由 ，得 ，
即：若 为真命题，则 ；
若 为真命题，即 恒成立，
则当 时， 满足题意；
当 时， ，解得 ，
故 ．
故若 为假命题， 为真命题，
则 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
【小问2详解】
对于 ， 且 ．
对于 ， ，则 ： 或 ．
因为 是 的充分不必要条件，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ．
故 的取值范围是 .
19. 工厂生产某产品的总成本 与年产量 之间的关系为 ，且当年产量是60时，总成本为
3000.
（1）设该产品年产量为 时平均成本为 ，求 关于 的表达式；
（2）求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值.
【答案】（1）
（2）年产量为30，最小值为40.
【解析】
【分析】（1）由已知条件求出a，根据平均成本即可得表达式；
（2）根据基本不等式即可求解.
【小问1详解】
将 代入 中，
可得 ，从而 ，于是 ，
因此 ；
所以所求表达式为： .
【小问2详解】
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因此当年产量为30时，平均成本最小，且最小值为40.
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学科网（北京）股份有限公司20. 已知定义在 上的函数 为偶函数，且 ．
（1）求 的解析式；
（2）判断并用单调性定义证明 在 的单调性．
【答案】（1）
（2） 在 单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义和 即可求解；
（2） 在 单调递减，利用函数单调性定义，设 ，作差，整理变形即可证明.
【小问1详解】
由题意， ，∴ ，∴a＝0，
∵ ，∴b＝1，∴ ．
【小问2详解】
在 单调递减，证明如下
设 ， ，
∵ ，∴ ， ， ， ，
∴ ，即 ，∴ 在 单调递减．
21. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 时，函数 的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）作出 的图像；
的
（3）若函数 在区间 上单调递增，结合 图象求实数 取值范围.
【答案】（1） ；
（2）图象见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式.
（2）利用二次函数图象，结合奇函数作出函数 的图象.
（3）由 的单调性，结合函数图象，列出不等式组求解即得.
【小问1详解】
是
设 ，则 ，于 ，
又 为奇函数，即 ，
所以当 时， .
【小问2详解】
当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
作出 在 上的图象，再作出所作图象关于原点对称的图形，
如图为函数 的图象，
【小问3详解】
观察图象知，函数 在 上单调递增，而函数 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，于是 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
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