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题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1
号 0 1
答 A D A B A D A A A A A
案 C D C
D
12． 13． 14．
15．（1）因为 ，即 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），故 ． ...................................................4 分
所以 展开式的通项为 （
且 ）， ...................................................7 分
则 ，故二项式系数的最大项为第 项，为 ．...................7 分
（2）令 ，解得 ，....................9 分
所以 ，
所以二项展开式中含 项的系数为 ；....................13 分
16．(1) ....................5 分
（2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 人在内，包含两种情况，
第一种甲和乙都在内的选法有 种，
第二种情况，甲乙选 人，有 种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内，共有 种选法；............10 分
（3）如果 人中必须既有男生又有女生，先从所有 人中选 人，
去掉只有男生和只有女生的情况，故有 种选法．............15 分
17．（1）设事件 为“甲、乙 2 位消费者均抽中三等奖且 2 人最终选择的奖品不
一样”，
答案第 1 页，共 2 页由三等奖有 4 种奖品供选择，故甲、乙 2 位消费者的选择情况共有 （种），
其中 2 人最终选择的奖品不一样的情况有 （种），............3 分
因为每位消费者抽中三等奖的概率均为 ，
所以， ．............6 分
（2）由题， 的所有可能取值为 0，1，2，3，
由题知，4 个人挑选了 4 种奖品，共有 种情况，
表示 4 个人挑选了 4 种奖品，所以 ；............8 分
表示 4 个人挑选了 3 种奖品，故有 2 个人选中同一种奖品，
所以 ；............10 分
当 表示 4 个人挑选了 2 种奖品，从 4 种奖品中选 2 种奖品的方法有 （种），
对于被选中的 2 种奖品，4 个人不同的选择方法有 （种），
所以有 2 种奖品被选中的方法有 （种），
所以， ；............12 分
当 表示 4 个人挑选了同一种奖品，
所以 ．............14 分
所以 的分布列为............15 分
0 1 2 3
18．（1）当 时， ，
则 ，
故 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
答案第 1 页，共 2 页即 ；........................................5 分
（2） ，
因为函数 在 处有极值，
所以 ，即 ，解得 ，
此时 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
又 ，
所以 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.......................10 分
（3）法一：令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，.......................13 分
故 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，当 时，
，
所以 ........................17 分
法二：当 m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当 m=2 时， f(x)>0．
答案第 1 页，共 2 页当 m=2 时，函数 在(－2，+∞)上单调递增．.......................13 分
又 f '(－1)<0， f '(0)>0，故 f '(x)=0 在(－2，+∞)上有唯一实根 ，且 ．
当 时， f '(x)<0;当 时， f '(x)>0，从而当 时，f(x)取得最小
值．
由 f '(x )=0 得 = ， ，
0
故 ．
综上，当 m≤2 时， f(x)>0．.......................17 分
19．（1）由 ，求导可得 ，令 ，解得
且 m≠0.
由函数 为“ 函数”，则 ，
可得 ，解得 ........................5 分
（2）①由 ，则 ，求导可得 ，令
，
由题意可得函数 存在两个不同的变号零点，则 ，
令 ，解得 ，当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，所以 ，
由 ，令 ，.......................8 分
求导可得 ，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，则 ，
答案第 1 页，共 2 页由 ，则当 时，函数 存在两个不同的变号零点，
可得 ，解得 ........................11 分
②由①可得 ，易知方程 存在两个不相等的实数根，
设为 ，由①不妨设 ，
令 ，
求导可得 ，由 ，当且仅当 时取等号，则 ，
所以函数 在 上单调递增，由 ，则当 时 ，可得
，
由 ，且函数 在 上单调递减，则 ，可得
；
由当 时， ，则函数 在 上单调递减，
由 ，则 ，所以 ，
要证 ，只需证 ，
由 ，则令 ，......................14 分
求导可得 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，则当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，则当 时， ，
所以不等式 在 上恒成立，可得 ，
综上所述， ，所以函数 为“ 函数”......................17 分
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