文档内容
公众号：高中试卷君
吉林地区普通高中 2023—2024 学年度高三年级第三次模拟考试
数学试题
说明：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在
答题卡上.字体工整，笔迹清楚.
3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无
效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求.
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知 若 ，则实数 的值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2
3. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
4. 若互不相等的正数 满足 ，则（ ）
A. 成等差数列 B. 成等比数列
C. 成等差数列 D. 成等比数列
的
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增 是（ ）
A. B. C. D.
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6. 已知圆锥的侧面积是 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆 与 轴交于 两点，点 在直线 上，若以 为焦点的椭圆
过点 ，则该椭圆的离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 为锐角，且 ，则 的最大值为（ ）
.
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合 ，则（ ）
.
A B.
C. D. 的子集个数为2
10. 在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 各二项式系数的和为64 B. 各项系数的绝对值的和为729
C. 有理项有3项 D. 常数项是第4项
11. 如图1，在等腰梯形 中， ，且 为 的中点，沿 将
翻折，使得点 到达 的位置，构成三棱锥 （如图2），则（ ）
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A. 在翻折过程中， 与 可能垂直
在
B. 翻折过程中，二面角 无最大值
C. 当三棱锥 体积最大时， 与 所成角小于
D. 点 在平面 内，且直线 与直线 所成角为 ，若点 的轨迹是椭圆，则三棱锥
的体积的取值范围是
三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，
第二个空填对得3分．
12. 已知向量 ，若 ，则 _________.
13. “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北
经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣
像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用 表示，某游客按照箭头所示方向
（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按
图中所示方向到达 有_________种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观 的不同
路线有 条，其中 ，记 ，则 _________（结果用 表
示）.
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14. 已知拋物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点，过 作
轴垂线，垂足分別为 ，直线 与直线 交于 点，则 与 的面积比值为_________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的三个内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2） 在 方向上的投影向量是 ，求 的面积.
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，
为 中点，点 在梭 上（不包括端点）.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若点 为 的中点，求直线 到平面 的距离.
17. 已知点 ，直线 ，动圆 与直线 相切，交线段 于点 ，且 ．
（1）求圆心 的轨迹方程，并说明是什么曲线；
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（2）过点 且倾斜角大于 的直线 与 轴交于点 ，与 的轨迹相交于两点 ，且
，求 的值及 的取值范围.
18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北
方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有
300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅
游是否与收看短视颍有关联：单位：人
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游
客
北方游
客
合计
（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人
之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过 次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前 次传递中球传到乙的次数为 ，求 的数学期望.
参考公式： ，其中 ；
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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19. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 分别是 极的小值点和极大值点，记 ．
（i）证明：直线 与曲线 交于除 外另一点 ；
（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值 且 ，使 ，若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由.
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