#$#%届普通高中毕业班摸底测试
数学试卷参考答案
!!&!!解析"本题考查集合的交集与并集#考查数学运算的核心素养!
依题意可得"是#的一个真子集!则#""’"!##"’#!
#!(!!解析"本题考查导数的几何意义#考查数学运算的核心素养!
$%’&#!当&’)*时!$%’+!
*!,!!解析"本题考查平面向量的共线#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
%%$ %%$ #
由#!"!’三点共线!得#"&#’!得#"(-!#)%(’$!解得(’ !
*
.!/!!解析"本题考查空间中直线$平面的平行关系与充分必要条件的判断#考查逻辑推理的
核心素养与空间想象能力!
由"’&#)!"’’平面*#)!#)(平面*#)!得"’&平面*#)!由"’&平面*#)!"’
(平面#"’)!平面#"’)"平面*#)’#)!得"’&#)!故$"’&#)%是$"’&平面
*#)%的充要条件!
%!,!!解析"本题考查复数的运算与三角恒等变换#考查数学运算的核心素养!
" ! .!#" *! *!# " ! !#" *! *!#
012 -3234 012 -3234 ’ 012 -3234 012 -3234
% % !$ !$ % % !$ !$
! *! ! *! " ! *! ! *!#
’012 012 )234 234 -3234 012 -012 234
% !$ % !$ % !$ % !$
"! *!# "! *!#
’012 - -3234 -
% !$ % !$
! !
’012 -3234 ’3!
# #
"!/!!解析"本题考查双曲线的定义的运用#考查直观想象的核心素养!
因为*为’右支上一点!所以)*+)))*+)’#,’#槡!"’5!因为-为坐标原点!.为线
! #
! !
段*+ 的中点!所以)-.)’ )*+)!)+.)’ )*+)!则)+/)’)+.)))./)’
! # # ! # ! ! !
!
)+.)))-.)’ ")*+)))*+)#’.!
! # ! #
6!&!!解析"本题考查函数的奇偶性$单调性与不等式的综合#考查数学抽象$逻辑推理的核心
素养与分类讨论的数学思想!
" !# 0"&#
依题意可得0"$#’$!0"&#在")7!$#上单调递增!且0 ) ’$!由 *$!得
* &#)#
&0"&#*$! &0"&#,$!
’ ! ( ’! #
或 则&.")7!)槡### ) !$ # !槡# !
&#)#+$ &#)#-$! * *
5!/!!解析"本题考查等差数列#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
{#{QQABAQYAoggAABAAAAgCEQGQCgEQkhGACYgOAAAAoAAAiBNABAA=}#}
书书书因为,’!!1’, )2-!!所以1’,)!-!’!!, ’1-2)!!
# 2 2-! ! # 2-! 2
所以, -1 ’,-1-#!所以数列&,-1)是首项为#!公差为#的等差数列!所以数
2-! 2-! 2 2 2 2
%$8.+
列&,-1)的前%$项和为%$8#- 8#’%$8"#-.+#’#%%$!
2 2 #
+!(/&!!解析"本题考查统计#考查应用意识与数据处理能力!
这组数据"单位*平方千米#按照从小到大的顺序排列为!*.!!!!6**#!!5%+"!##!$$!
#65$$!**%$$!*"*$$!所以这组数据的极差为*"*$$)!*.!!’##55+平方千米!(正确!
这组数据的中位数##!$$平方千米!中位数对应的市区为南宁市!,错误!因为68.$9’
#!5!所以这组数据的第.$百分位数为!5%+"平方千米!第.$百分位数对应的市区为柳州
市!/正确!这组数据中!大于!!5万平方千米的有%个!所以大于!!5万平方千米的频率为
%
!&正确!
6
!$!(,&!!解析"本题考查立体几何初步与新定义的综合#考查逻辑推理$直观想象$数学运算
的核心素养!
!
在正方体#"’)3#"’) 中!易证/#’) 为正三角形!#"0#) !1"#’’ !
! ! ! ! ! ! .
"! ! !# !!!
在四面体#"’) 中!点#的曲率为#!) - - ’ !(正确!
! * # . !#
!
在正方体#"’)3#"’) 中!1#)"’1")’!:;<41#)"’ -!!=$-
! ! ! ! ! ! !
槡#
! " !#
1#)"- !在四面体#"’) 中!点) 的曲率为#!) 1#)"-1")’- +#!
! . ! ! ! ! *
"! !# 6!
) 8#- ’ !,正确!
. * "
:四面体#"’) 外接球的半径即为正方体#"’)3#"’) 外接球的半径!=四面体
! ! ! ! !
"槡*8槡"##
#"’) 外接球的表面积为.!8 ’!5!!/错误!
! #
! ! !
四面体#"’) 的体积4’ 8 8"槡"##8槡"’槡"!四面体#"’) 的表面积5’ 8
! * # ! #
! 槡* *4
"槡"##- 8槡"8槡!#8#- 8"槡!###’*-"槡#-*槡*!=四面体内切球的半径6’
# . 5
*槡" 槡" "
’ ’ ’ !&正确!
*-"槡#-*槡* !-#槡#-槡* 槡"-.槡*-*槡#
!!!,/!!解析"本题考查三角函数的图象及其性质#考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
" !## + !
0"&#’)234#&)-!)#)234#&)#’)#)234#&)) - !当)234#&)’ 时!0"&#取得
. 5 .
+ !
最大值!且最大值为 !(错误!因为$’)234#&)!$’012.&的最小正周期均为 !所以
5 #
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$%
!"#$$%
{#{QQABAQYAoggAABAAAAgCEQGQCgEQkhGACYgOAAAAoAAAiBNABAA=}#}! "7! # "7! # "7! #
0"&#的最小正周期为 !,正确!因为0 )& ’ 234# )& -012. )& ’
# # # #
7!
)234#&)-012.&"7.!#!所以曲线$’0"&#关于直线&’ "7.!#轴对称!/正确!
.
!6 ! 槡#
令8"&#’!"0"&#)!6’$!得0"&#’ !则)234#&)’ > !结合函数$’)234#&)"$*
!" . 5
! 槡#
&*!#的图象"图略#!可知方程)234#&)’ > 在’$!!(上有5个不同的实根!&错误!
. 5
!#!)!!!解析"本题考查对数的运算#考查数学运算的核心素养!
! ! !
?@ -?@ ’?@ ’)!!
# % !$
!*!$+)%!!解析"本题考查二项式定理#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
令&’$’!!得"&-$#"&)$#"’$!含&.$* 的项为&/*&*")$#*-$/#&.")$##’
" "
)%&.$*!
!#5槡*
!.! !!解析"本题考查抛物线$圆与导数的应用#考查数学建模与直观想象的核心素养!
+
设直线’)的方程为&’9")"-9-)##!则直线#"的方程为&’9-"!
则)#"),)’))’#槡.))9-.)#8#槡."9-"#’5槡"9-"#’.)"9-.##(")"-9-)##!
令9-.’(!则)#"),)’))’5槡"(-##".)(##")#-(-##!
设0"(#’"(-##".)(##")#-(-##!则0%"(#’)*(#).(-.’)"*()##"(-
# # "##
##!令0%"(#+$!得)#-(- +令0%"(#-$!得 -(-#!所以0"(# ’0 ’
* * A<B *
#%" #%" !#5槡*
!则")#"),)’))# ’5槡 ’ !
#6 A<B #6 +
,#-1#):# !
!%!解*"!#因为,#-1#’,1-:#!所以012’’ ’ !-----------.分
#,1 #
!
因为’."$!!#!所以’’ !------------------------"分
*
"##因为1:234#’234’!所以,1:’:!--------------------5分
所以,1’!!-------------------------------+分
由,#-1#’,1-:#!得:#’,#-1#),1,#,1),1’,1’!!则:,!!-------!!分
当且仅当,’1’!时!等号成立!----------------------!#分
所以:的最小值为!!---------------------------!*分
!"!"!#证明*因为四边形#"’)为菱形!所以#’0")!--------------#分
又## 0平面#"’)!所以## 0")!-------------------.分
! !
因为## "#’’#!所以")0平面#’’# !----------------"分
! ! !
%%$ %%$
"##解*由题意得")’#!#’’#槡*!以菱形#"’)的中心-为坐标原点!-"!-’的方向
!高三数学"参考答案!第!!!!*页#共"页$%
!"#$$%
{#{QQABAQYAoggAABAAAAgCEQGQCgEQkhGACYgOAAAAoAAAiBNABAA=}#}" 6#
分别为&!$轴的正方向!建立空间直角坐标系-&$;!如图所示!则# $!)槡*! !" "!!
! # !
6
$!##!’"$!槡*! #!----------------------------5分
! #
%%$ " *#%%$ " *#
所以#"’ !!槡*!) !"’’ )!!槡*! !---------------+分
! ! # ! ! #
%%$ %%$
设平面#"’) 的法向量为!’"&!$!;#!则#",!’$!"’,!’$!
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
3 *
&-槡*$) ;’$!
#
即2 ------------------!$分
*
)&-槡*$- ;’$!
4 #
令;’#!得!’"*!$!##! -----------------!!分
!
易知平面#"’)的一个法向量为!’"$!$!!#!--------!#分
#
!,! # #槡!*
则012.!!!/’ ! # ’ ’ !----------------!.分
! # )! ! ))! # ) 槡!*8! !*
*槡!*
所以平面#"’) 与平面#"’)所成二面角的正弦值为 !-------!%分
! ! ! ! !*
!6!解*"!#显然,5$!0"&#的定义域为"$!-7#!-----------------!分
! ,&-!
0%"&#’,- ’ !--------------------------#分
& &
当,+$时!0%"&#+$!0"&#在"$!-7#上单调递增!--------------.分
! !
当,-$时!令0%"&#+$!得$-&-) !令0%"&#-$!得&+) !-------"分
, ,
" !# " ! #
所以0"&#在 $!) 上单调递增!在 ) !-7 上单调递减!---------5分
, ,
"##由"!#知!当且仅当,-$时!0"&#存在最大值!---------------+分
" !# ! " !# !
且最大值为0 ) ’)!) -?4 ) ’)!) )?4"),#!--------!!分
, , , ,
! ! )! !),
设8",#’)!) )?4"),#",-$#!则8%",#’ ) ’ +$!所以8",#为增函数!
, ,# ), ,#
----------------------------------!*分
又8")!#’$! -----------------------------!.分
所以由8",#-$!得,-)!!则,的取值范围为")7!)!#!----------!%分
!5!解*"!#第!次换球后甲口袋中有#个黑球!即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为
# ! #
黑球!则<’ 8 ’ !-------------------------!分
! * * +
第!次换球后甲口袋中有!个黑球!即从甲0乙口袋取出的同为白球或同为黑球!
# # ! ! %
得=’ 8 - 8 ’ !------------------------*分
! * * * * +
!高三数学"参考答案!第!!!!.页#共"页$%
!"#$$%
{#{QQABAQYAoggAABAAAAgCEQGQCgEQkhGACYgOAAAAoAAAiBNABAA=}#}"##若第#次换球后甲口袋中有#个黑球!则当第!次换球后甲口袋中有!个黑球时!第#
次甲口袋取白球且乙口袋取黑球!当第!次换球后甲口袋中有#个黑球时!第#次甲0乙口
# ! ! % # # ! !"
袋同取白球!所以<’=8 8 -<8 ’ 8 - 8 ’ !-------%分
# ! * * ! * + + + * 5!
若第#次换球后甲口袋中有!个黑球!则当第!次换球后甲口袋中有$个黑球时!第#次甲
口袋取白球且乙口袋取黑球!当第!次换球后甲口袋中有!个黑球时!第#次甲0乙口袋同
取白球或同取黑球!当第!次换球后甲口袋中有#个黑球时!第#次甲口袋取黑球且乙口袋
取白球!
# "# # ! !# # .+
所以=’"!)=)<#8 -=8 8 - 8 -<8 ’ !-------5分
# ! ! * ! * * * * ! * 5!
"*#第2"2,##次换球后!甲口袋中的黑球个数为!的情形有*
"若第2)!次换球后甲口袋中有#个黑球!则第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球+
#若第2)!次换球后甲口袋中有!个黑球!则第2次甲0乙口袋同取黑球或同取白球+
$若第2)!次换球后甲口袋中有$个黑球!则第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球!
# "! ! # ## # # !
所以=’< 8 -= 8 8 - 8 -"!)< )= #8 ’ ) = !-
2 2)! * 2)! * * * * 2)! 2)! * * + 2)!
----------------------------------!$分
!
设=-!’) "= -!#"2,##!
2 + 2)!
!$ ! !$ # *
则=’) !) = !则) !’ !得!’) !--------------!#分
2 + + 2)! + * %
* # & *) # !
又=) ’) !所以数列=) 是以) 为首项!) 为公比的等比数列!--!*分
! % .% 2 % .% +
* #" !#2)! * #" !#2)!
所以=) ’) ) !即=’ ) ) !-----------!.分
2 % .% + 2 % .% +
2 * # " ! ! ! #
所以6=) ’ 8 !- - --- ---------------!%分
>’! > % .% + +# +2)!
!
!)
# +2 ! ! ! !
’ 8 ’ ) 8 - ! ---------------------!6分
.% ! #$ #$ +2 #$
!)
+
.$# &# $# &# ##% ##% +
!+!"!#证明*由 - ’!得 - ’!!所以,#’ !:#’ )%.’ !-----!分
##% %. ##% %. . . .
.
!% * : !
则,’ !:’ !所以#:’*! ’ !--------------------#分
# # , %
.$# &# .$# &#
所以椭圆 - ’!的焦距为*!是质数!离心率的倒数为%!也是质数!所以椭圆 -
##% %. ##% %.
’!为$质朴椭圆%!----------------------------*分
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
!"#$$%
{#{QQABAQYAoggAABAAAAgCEQGQCgEQkhGACYgOAAAAoAAAiBNABAA=}#}&# $# ( 槡*")(
"##解*椭圆 - ’!"$-(-*"#的焦距为#槡*")(!离心率?’槡!) ’ !
*" ( *" "
-----------------------------------.分
&# $# "
若存在实数(!使得椭圆 - ’!"$-(-*"#为$质朴椭圆%!则#槡*")(! 均为
*" ( 槡*")(
质数!因为$-#槡*")(-!#!-----------------------%分
* % 6 !!
所以#槡*")(’#!*!%!6!!!!即槡*")(’!! ! ! ! ! ----------"分
# # # #
" !#!#!# &# $#
此时 ’"!.! ! ! !这些数都不是质数!所以不存在实数(!使得椭圆 - ’
槡*")( % 6 !! *" (
!"$-(-*"#为$质朴椭圆%!------------------------5分
3$’#"&):#!
"*#解*设’的右焦点为":!$#":’槡+)1##!联立2&# $#
- ’!!
4+ 1#
得"1#-*"#&#)6#:&-*":#)+1#’$!--------------------+分
3 6#: 6#槡+)1#
&-&’ ’ !
! # 1#-*" 1#-*"
设#"&!$#!""&!$#!则2 -------!!分
! ! # #
*""+)1##)+1# *#.).%1#
&&’ ’ !
4 ! # 1#-*" 1#-*"
6##"+)1##)."*#.).%1##"1#-*"#
)#")’槡!-##8槡"&-&##).&& ’槡%8槡 ’
! # ! # "1#-*"##
*$1#
! --------------------------------!.分
1#-*"
"$ *$1# "$
因为)#")’ !所以 ’ !解得1#’5!----------------!%分
!! 1#-*" !!
!
则’的焦距为#槡+)5’#!离心率为 !其倒数为*!且#与*均为质数!
*
所以’为$质朴椭圆%!--------------------------!6分
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
!"#$$%
{#{QQABAQYAoggAABAAAAgCEQGQCgEQkhGACYgOAAAAoAAAiBNABAA=}#}
