河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年11月试卷_11072025届河北省石家庄市普通高中学校高三质检摸底检测试题

石家庄市 2025 届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测 数学 （本试卷满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．设集合A xR|1 x5  ，B   xR|x2 3x40  ，则A B （ ） A． 1,1  B． 1,4  C．  1,4  D．  1,5  2．已知复数z满足(1i)z  23i，则复数z的虚部为（ ） 1 5 1 5 A． B． C． D． 2 2 2 2 3．已知平面向量a，b满足a(ab)2，且 a 1， b 2，则向量a，b的夹角为（ ）  2  5 A． B． C． D． 6 3 3 6 4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） 3 2 3 4 3 A． B． C． D．2 3 3 3 3 4 5．已知sin()2cos()，tantan ，则tantan（ ） 3 1 1 A．3 B．3 C． D． 3 3 6．若数列 a 为等差数列，S 为数列 a 的前n项和，a a 0，S 0，则S 的最小值为（ ） n n n 4 9 11 n A．S B．S C．S D．S 5 6 7 8 x2 y2 7．已知双曲线C:  1的左、右焦点分别为F 、F ，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点， 4 8 1 2 若 FA 2 FB ，则 AB （ ） 1 1 A．4 7 B．2 7 C．4 3 D．4 学科网（北京）股份有限公司8．已知函数F(x)为定义在R上的奇函数，且在  0,上单调递减，满足 f(log a) f(log a)2f(3)， 2 1 2 则实数a的取值范围为（ ）  1 1  A． 0,  B．  ,8  C． 0,8  D．  8,  8 8  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知实数a，b，c满足abc0，则下列选项正确的是（ ） ac a ac b c 1 A．  B．lg 0 C．  D．ab  2 2 bc b bc ab ac ab  10．已知函数 f(x)sin(x )(0)，则下列说法正确的是（ ） 6 4 7 A．当3时， f(x)在 , 上单调递增  9 9   B．若 f(x ) f(x ) 2，且 x  x  ，则函数 f(x)的最小正周期为 1 2 1 2 min 2  C．若 f(x)的图象向左平移 个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3 12 23 29 D．若 f(x)在  0,2 上恰有4个零点，则的取值范围为  ,  12 12 11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点P(x,y)满足到两个定点F(a,0)，F (a,0)(a 0)的距 1 2 离之积为9，则下列结论正确的是（ ） A．a3 B．若直线 y kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为  1, C．△PFF 周长的最小值为12 1 2 9 D．△PFF 面积的最大值为 1 2 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分 12．在等比数列 a 中，a 1，a a a 64，则a ____________． n 1 2 3 4 5 学科网（北京）股份有限公司x2 3x1, x0  13．已知函数 f(x)4 ，若y  x 与 y  f(x)的图象相切于A、B两点，则直线AB  4, x0 x 的方程为____________． 14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中 最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平 面将空间分成____________部分（用数字作答）． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知抛物线C: y2 2px(p 0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，A到抛物线焦 5 点的距离为 ． 2 （1）求抛物线C的方程； 1 （2）若过点F的直线l交抛物线C于B、D两点（异于O点），连接OB、OD，若S  S ，求 △OBF 2 △ODF BD的长． 16．（本小题满分15分） 1 3 3 如图，在直四棱柱ABCD ABCD中，AG  AD，AB  BC，AB 1，BC  3，BD  ． 3 2 （1）设过点G、B、D的平面交直线AB于点M，求线段GM 的长； （2）若AC  BD，当二面角B ACD为直二面角时，求直四棱柱ABCD ABCD的体积． 17．（本小题满分15分） 在△ABC中，AB  3，AC 2 3 ，点D在边BC上，且BDCD． 学科网（北京）股份有限公司 （1）若BAD  ，求BC的长； 2  1 （2）若BAC  ，点E在边AC上，且AE  EC，BE与AD交于点M，求cosAMB． 3 2 18．（本小题满分17分） ex 已知函数 f(x) ． x （1）当x0时，求函数 f(x)的最小值； x1 （2）设方程 f(x) 的所有根之和为T，且T (n,n1)，求整数n的值； x2 （3）若关于x的不等式 f(x)axalnxe1恒成立，求实数a的取值范围． 19．（本小题满分17分） 母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一 个形象且精妙的比喻． 对于任意数列a ,a ,a ,,a ，即用如下方法与一个函数联系起来： 0 1 2 n G(x)a a xa x2 a xn，则称G(x)是数列 a 的生成函数． 0 1 2 n n 例如：求方程100t t t 的非负整数解的个数． 1 2 10 设此方程的生成函数为G(x)(1xx2 )10，其中x的指数代表t (i 1,2,3,,10)的值． i  G(x)(1 x x2 )10 a xn，则非负整数解的个数为a ． n 100 n0 若 f(x)1xx2 ，则xf(x) xx2 x3 ，可得(1 x)f(x)1，于是可得函数 f(x)的收缩 1 表达式为： f(x) ． 1 x 1 故G(x)( )10 (1 x)10 C0 (x)0 C1 (x)1C100(x)100  1 x 10 10 10 （广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式） (10)(11)(101001) 10910810 则a C100   C100 100 10 100! 100! 109 根据以上材料，解决下述问题： k k 定义“规范01数列” a 如下： a 共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k 2m，a  ， n n i 2 i1 不同的“规范01数列”个数记为b ． m （1）判断以下数列是否为“规范01数列”； 学科网（北京）股份有限公司①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1． （2）规定b 1，计算b ，b ，b ，b 的值，归纳数列 b 的递推公式； 0 1 2 3 4 m （3）设数列 b 对应的生成函数为F(x)b bxb x2 b xm  m 0 1 2 m ①结合F(x)与F2(x)之间的关系，推导F(x)的收缩表达式； ②求数列 b 的通项公式． m 石家庄市 2025 届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测 数学答案 一、单选题： 1-5CABCD 6-8BAD 二、多选题： 9．BCD 10．ABD 11．AD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分 12．16 13．x3y40 14．23 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 p 5 15．解：（1）由题意得 2 （2分） 2 2 解得 p 1， （3分） 故抛物线方程为y2 2x． （5分） 1 （2）由题意得直线l的斜率不为0，设直线l:x ty ，与 y2 2x 2 联立得y2 2ty10，由韦达定理得 y  y  2t ， y y 1① （7分） 1 2 1 2 设B(x ,y )，D(x ,y )，过O点做l垂线，垂足为G． 1 1 2 2 1 1 1 由S  S ，得OGBF  DF OG，即BF  DF △OBF 2 △ODF 2 2 1 1 由BF  DF 得 y   y ② （9分） 2 1 2 2 2 2 由①②联立上式得 y  ， y  2，t  （11分） 1 2 2 4 学科网（北京）股份有限公司9 BD  (x  x )2 (y  y )2  (1t2)(y  y )2  ． （13分） 1 2 1 2 1 2 4 16．证明：（1）连接BD，由题意可得BD//BD， （2分） 又因为BD//平面ABCD，平面ABCD平面GBDGM ， BD 平面GBD，所以BD//GM ，由平行传递性可知GM//BD （4分） 1 3 所以M为靠近A的AB三等分点，GM  BD （6分） 3 2 （2）如图，设AC BD O ，连接BO，DO， 由题意得AC  BD，AC  BB，BBBD B ，故AC 面BBO， 同理可证AC 面DDO，故BO AC ，DO AC， 所以BOD为二面角B ACD的平面角 （8分）  设BB DDh，由二面角B ACD为直二面角可知BOD ， 2 3 由（1）可得BO  ，故OD  3 ，BO2  BO2 h2，DO2  DO2 h2 2 在Rt△BOD中，由勾股定理可得BO2  DO2  BD2 （10分） 3 27 3 6 即 h2 3h2  整理得h2  ，解得h   （12分） 4 4 2 2 6 3 3 1 3 3 题设可知BB ，则S  S S  2  （14分） 2 ABCD △ABC △ACD 2 2 2 9 2 所以V Sh  （15分） ABCDABCD 4 方法二：向量法： 设直线AC与直线BD交于点O，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴建立如图所示的空间直角 坐标系：Oxyz． 学科网（北京）股份有限公司在Rt△ABC中，∵OB AC．由射影定理得： 1 3 3 OA ，OC  ，OB  ，设DDh，则： 2 2 2 1 3 3 A(0, ,0)，B( ,0,h)，C(0, ,0)，D( 3,0,h) （8分） 2 2 2 设平面BAC的一个法向量为n (x ,y ,z ) 1 1 1 1  (x ,y ,z )(0,2,0) 0 y 0  n AC 0  1 1 1  1 则： 1  ，即： 3 1 ，∴ 3 1 n AB 0 (x ,y ,z )( , ,h) 0  x  y hz  0 1  1 1 1 2 2  2 1 2 1 1 令x  2h，则z  3，…… 1 1 ∴n (2h,0, 3)， （10分） 1 设平面DAC的一个法向量为n (x ,y ,z ) 2 2 2 2  (x ,y ,z )(0,2,0) 0 y 0  n AC 0  2 2 2  2 则： 2  ，即： 1 ，∴ 1 n 2 AD 0   (x 2 ,y 2 ,z 2 )( 3, 2 ,h) 0    3x 1  2 y 1 hz 2 0 令x h，则z  3， 2 2 ∴n (h,0, 3)， （12分） 2 6 当二面角B ACD为直二面角时，n n 0，即：2h2 30，得：h ． （13分） 1 2 2 1 9 2 ∴V  S h ACBDh （15分） ABCDABCD ABCD 2 4 a 17．解：（1）设BD CD  2 学科网（北京）股份有限公司AB 3 在△ABD中，cosB   ① （2分） BD a 2 在△ABC中，由余弦定理 AB2 BC2  AC2 ( 3)2 a2 (2 3)2 cosB   ② （4分） 2ABBC 2 3a 3 ( 3)2 a2 (2 3)2 所以，  a 2 3a 2 所以，a 21，BC  21 （6分）    （2）ABAC  32 3cos 3 （7分） 3   1     1   1  ADBE  (AB AC)(AE  AB) (AB AC)( AC  AB) 2 2 3 1  1  2 1  2 1  ABAC  AB  AC  （9分） 3 2 6 2  1   1  2    2 21 AD  (AB AC)2  (AB 2ABAC AC )  （11分） 4 4 2  1  1 2 2   2 21 BE  ( AC AB)2  AC  ABAC AB )  （13分） 3 9 3 3 1      ADBE 1 2 cosAMB cos AD,BE      （15分） AD  BE 21 21 7  2 3 (x1)ex 18．解：（1）x0， f(x)  （2分） x2 x(0,1)， f(x)0， f(x)单调递减， x(1,)， f(x)0， f(x)单调递增， （3分） f(x)  f(1) e； （4分） min x1 1 （2）方程 f(x) 可化简为ex  10 x2 x 1 1 方程ex  10的根就是函数g(x)ex  1的零点， x x 学科网（北京）股份有限公司1 易知g(x)ex  1在(,0)，(0,)上单调递增 （5分） x 3  3 1 1 因为g( )e 2  0，g(1) 0， 2 3 e  3  所以函数g(x)在(,0)有唯一零点x ，且x    ,1 （7分） 1 1  2  1 因为g( ) e 30，g(1)e20， 2 1  所以函数g(x)在(0,)有唯一零点x ，且x   ,1 （9分） 2 2 2  则T  x  x (1,0)，因此，n1． （10分） 1 2 （3）设h(x) f(x)axalnx(e1)，则当x0时h(x)0恒成立， (x1)ex a (x1)(ex ax) h(x)  a  （12分） x2 x x2 ex ①由（1）得 e，ex ex x 当ae时，ex axex ex0 x(0,1)，h(x)0， f(x)单调递减， x(1,)，h(x)0， f(x)单调递增， h(x)h(1)ea(e1)1a0 ∴a1 （14分） ②当ae时，h(1)1a 0，这与h(x)0矛盾， （16分） 综上，a1． （17分） 19．解析： （1）由题意得①，③是“规范01数列”， （2分） 5 5 对于②，由于k 5时，a 3 ，故②不是“规范01数列”； （3分） i 2 i1 （2）b 1，b  2，b 5，b 14； （每个1分）（7分） 1 2 3 4 “规范01数列” a 中，首项a 0，若 a 同时满足： n 1 n 学科网（北京）股份有限公司n k n k ①当n 1,2,3,,k 1时，a  ；②当nk 时，a  ， i 2 i 2 i1 i1 此时可将 a 划分为两部分，即a ,a ,,a 和a ,a ,,a ，由于a 0且a 1，则a ,a ,,a 可 n 1 2 k k1 k2 n 1 k 2 3 k1 构成一个“规范01数列”，所以数列 b 的递推公式为： m b bb bb bb b b b b （9分） m 0 m1 1 m2 2 m3 m2 1 m1 0 4m2 （注：学生由b Cm Cm1得出b  b 也可给到10分） m 2m 2m m1 m2 m （3）①F2(x)b2 (bb bb )x(bb bb b b )x2 (bb bb b b )xm  0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 m 1 m1 m 0 b b xb x2 b xm  1 2 3 m1 ∴xF2(x) F(x)1 （10分） 1 14x 即F(x) 2x 由于 lim F(x)b 1 x0 0 1 14x 当F(x) 时， lim F(x)（舍去） 2x x0 1 14x 4x 2 当F(x) 时， lim F(x) lim  lim 1，满足题意 2x x0 x0 2x(1 14x) x01 14x 1 14x 故F(x)的收缩表达式为F(x) ； （12分） 2x 1 14x ②G(x) 2x 1   [1(1 Cm(4x)m)] 2x 1 m1 2   2Cm(4x)m1 （14分） 1 m1 2 1 1 3 3 ( )( )( m)  22 2 2 2 (4x)m1 m! m1 学科网（北京）股份有限公司1 3 3  (m )   2 2 2 (4x)m1 m! m1  (2m3)(2m5)1  (2x)m1 m! m1  (2m3)(2m5)1(2m2)(2m4)2  xm1 （15分） m!(m1)! m1  (2m2)!  xm1 m!(m1)! m1  (2m)!  xm m!(m1)! m1 (2m)! 故数列 b 的通项公式为b  （17分） m m m!(m1)! （注：其余方法得出b 均可给到17分） m 学科网（北京）股份有限公司