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福建省厦门双十中学2024-2025学年高二下学期
4月期中考试数学试题
一、单选题
1．数列 的通项公式为 ， 为其前n项和，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，过焦点 且斜率为 的直线 与抛物线交于
， 两点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量 的概率分布如下表
x 1 2 4
P
则 （ ）
A．1 B． C．11 D．15
4．若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得
为偶数的不同排列方法有（ ）
A．1224种 B．1800种 C．984种 D．840种
5．在长方体 中， ， ，点 满足 ，则点 到直线 的距
离为（ ）
A． B． C． D．
6．若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．7．已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中 的系数为
（ ）
A．40 B．120 C．240 D．280
8．函数 的两个极值点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线 及圆 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．直线 截圆 所得弦长最小值为2
C．存在 ，使得直线 与圆 相切
D．存在 ，使得圆 关于直线 对称
10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知点 到点 的距离与点 到y轴的距离的差为定值 ，记动点 的轨迹为曲线C，则（ ）
A．当 时， 由抛物线和x轴的负半轴构成
B．当 时， 关于原点中心对称
C．当 时， 为轴对称图形
D．当 时， 是由两部分抛物线构成的封闭图形
三、填空题
12．若椭圆 的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是 .
13．甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是 ，乙命中的概率是 ，两人每次
射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为 ；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好
命中两次的概率为 .14．已知集合 ，对于 的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数，则所有这样
倒数的和为 .
四、解答题
15．记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
16．如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ， ， ，点D是棱BC
的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在棱上AC是否存在点M，其中 ，使得平面 与平面 所成角的大小为
60°，若存在，求出 ；若不存在，说明理由．
17．在一张纸上有一圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆 上某一点 恰好与点 重
合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 ，设折痕 与直线 的交点为 .(1)求点 的轨迹 方程；
(2)曲线 上一点N，点A、B分别为直线 ： 在第一象限上的点与 ： 在第四象限上的点，
若 ， ，求 面积的取值范围.
18．已知函数 ．
(1)求 的极值，并画出函数 的大致图象；
(2)求出方程 （ ）解的个数；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围．
19．Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推
导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，
1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第 个Catalan数，其通项公式为
.在组合数学中，有如下结论：由 个 和 个 构成的所有数列 ，
中，满足“对任意 ，都有 ”的数列的个数等于 .
已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均
为 .
(1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量 （若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为 ；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求 的分布列和数学期望 ；
(2)记第 秒末粒子回到原点的概率为 .
（i）求 及 ；
（ii）设粒子在第 秒末第一次回到原点的概率为 ，求 .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A C B D D ABD ACD
题号 11
答案 AC
1．D
令 ，可求得 ，计算可求得 的最小值.
【详解】令 ，因为 ，所以解得 ，
所以数列 的前3项为负，从第4项起为正，
所以 的最小值为 .
故选：D.
2．A
联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解.
【详解】
由已知抛物线焦点 到准线的距离为 ，
即 ，
则抛物线方程为 ， ，
所以直线方程为 ，即 ，
设直线与抛物线交点 ， ，联立直线与抛物线 ，
得 ，
则 ， ，
又由抛物线可知 ， ，
所以 ，
故选：A.
3．D
由概率和为 可得 ，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.
【详解】由 ，故 ，
则 .
故选：D.
4．A
考虑 为偶数和 为奇数两种情况，判断 的奇偶性，根据 中偶数的个数计算得到答案.
【详解】当 为偶数，则 为偶数，有 ；
当 为奇数，则 为奇数，四个数均为奇数，有 .
所以不同排列方共有1224种．
故选：A
5．C
建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到直线的距离即可.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，
以 为坐标原点，以 、 、 分别为 、 、 轴的空间直角坐标系，
， ， ，设点 到直线 的距离为 ，
所以 ， ，
根据点到直线距离公式有： ，
所以 .
故选：C
6．B
设出切点坐标，根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，得出切线的方程，将原点坐标
代入，整理得出 .由题意可知， ，求解即可得出答案.
【详解】设切点为 ，
由已知可得 .
根据导数的几何意义可知，切线的斜率为 .
代入切线方程为 ，
整理可得 .
又切线经过原点，
所以有 ，
整理可得 .
因为曲线 有两条过坐标原点的切线，
所以方程有两个不相等的实数解，
即有 ，解得 或 .
故选：B.
7．D
利用正态分布的对称性求出 ，再利用二项展开式的通项公式可求 的系数.
【详解】由正态分布的对称性，得 ，解得 ，
的展开式的通项公式为 ， ，
的展开式的通项公式为 ， ，
则 的展开式的通项为 ，
由 ，得 或 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故选：D
8．D根据极值点为导函数零点，整理变形得 ，然后令 代入后表示出 ，代入目标式转化为关
于 的函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题知， 的定义域为 ， ，
因为 有两个极值点 ，所以 ，则 ①，
令 ，因为 ，所以 ，
将 代入①整理可得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 .
故选：D
9．ABD
A选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B选项，求出圆心和半径，得到当 时，直线 截
圆 所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C选项，求出点 在圆 内，故C错误；D选项，
当直线 过圆心 时，满足题意，代入计算即可.
【详解】A选项，由 ，得 ，解得 ，所以直线 过定点为 ，故A正确；
B选项，由圆的标准方程可得圆心为 ，半径 ，直线 过的定点为 ，
当 时，直线 截圆 所得弦长最短，因为 ，
则最短弦长为 ，故B正确；
C选项， ，故点 在圆 内，所以直线 与圆 一定相交，故C错误；
D选项，当直线 过圆心 时，满足题意，此时 ，解得 ，
故D正确.
故选：ABD.
10．ACD
由和事件的概率公式以及条件概率逐一判断各选项即可.
【详解】对于C，因为 ， ， ， ，
则 ，故C正确；
对于A，因为 ，所以 ，则
， ，即 ，故A正确．
对于B，因为 ，所以 ，则
，故B错误．
对于D，因为 ，所以 ，则 ，故 ，故D正确．故选：ACD．
11．AC
设出动点结合给定条件求出轨迹方程判断A，举反例判断B，找曲线上任意一点关于 轴对称判断C，举
特值求出 的范围，进而证明不存在具体的方程再判断D即可.
【详解】对于A，设 ，由题意得点 到点 的距离
与点 到y轴的距离的差为定值 ，得到 ，
当 时， ，则 ，
两边同时平方得 ，得到 ，
即 ，当 时，方程化为 ，
当 时，方程化为 ，即 ，
此时 由抛物线和x轴的负半轴构成，故A正确，
对于B，因为 ，所以 ，
当 时，两边同时平方得 ，
则 ，化简得 ，
令 ，此时曲线方程为 ，我们发现点 在曲线上，
找 关于原点中心对称的点为 ，
将其代入方程 ，则 不在曲线上，
即 不可能关于原点中心对称，故B错误，
对于C，由已知得曲线方程为 ，由已知得 ，
设 ，将其代入曲线方程，得到 ，
则 在曲线上，故曲线关于 轴对称，即 为轴对称图形，故C正确，对于D，由已知得 ，令 ，
故 ，解得 或 ，
结合已知条件此时方程为 ，
当 时，方程化为 ，此时 ，不存在这样的曲线，
当 时，方程化为 ，此时 ，不存在这样的曲线，
则当 时， 不可能是由两部分抛物线构成的封闭图形，故D错误.
故选：AC
12． /0.8
【详解】依题意， 成等差数列，则有， ，
化简并两边平方可得， ，
因 ，代入整理得， ，解得 .
故答案为： .
13．
【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为 ，则甲乙二人全部命中的概率为 ，
两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,
，
，
所以 .
故答案为： , .14．
【详解】集合 的非空子集的个数为 ，这些子集中，
每个元素的乘积分别为 ，
每项都可以看作是从 中选择若干项的乘积.
类比二项式定理展开式可知， 的倒数和为：
.
故答案为： .
15．(1) ；(2)7.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
16．(1)见解析
(2)存在，
【详解】（1）连接 交 于点 ,由于四边形 为矩形，所以 为 的中点，
又点D是棱BC的中点，故在 中， 是 的中位线，因此 ,
平面 ， 平面 ,所以 平面
（2）由 平面ABC， 可知，三棱柱 为直三棱柱，且底面为直角三角形，
故以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;
则
由 得 ,
,
设平面 的法向量为 ，则
，取 ，得 ，
,
设平面 的法向量为 ，则
，取 ，得 ，
故 ，化简得
由于 ，所以 ，
故棱上AC存在点M，其中 ，即 ，使得平面 与平面 所成角的大小为60°.
17．(1)
(2)
（1）依题意可得 ，即可得到 ，根据双曲线的定义可得点 的轨迹为以
， 为焦点，实轴长为8的双曲线，从而求出 的轨迹方程；
（2）设 ， ， ，且 ， ，根据 ，即可得到
，再表示出 、 ，设 的倾斜角为 ，利用二倍角公式即同角三角函数的基本关系
求出 ，再根据 及对勾函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：依题意可得点 与 关于 对称，则 ，
∴ .则点 的轨迹为以 ， 为焦点，实轴长为8的双曲线，
∴ ， ，又 ，故 ， ， ，
所以双曲线方程为 ；
（2）解：由题意知， ， 分别为双曲线 ： 的渐近线，
设 ， ， ，且 ， ，
由 得 ， ，
∴ ， .∴ ，
整理得 ，即
又 ，同理 ，
设 的倾斜角为 ，
则 .
∴
因为 ，易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ；
∴ 面积取值范围是 .18．(1)极小值 ，无极大值，作图见解析
(2)答案见解析
(3)
（1）对 求导，令 ，结合导数符号判断 极值，并结合 的单调性、极值、最值等性
质画出函数图象；
（2）利用数形结合易得 的解的个数；
（3）构造函数 ，将原不等式转化为 恒成立的问题，令 ，结合
导数求出 在 的最小值，即得到 的取值范围．
【详解】（1）由题意 ，由 ，得 ；由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
故 在 处取得极小值 ，无极大值；
由 的单调性及 ， ， ，
当 时，函数 的图象在 轴下方，随着 的减小， 的图象无限接近 轴，
所以 的大致图象如下．
（2）由（1）中函数图象可得，
当 时，方程 的解个数为0个；
当 或 时，方程 的解个数为1个；当 时，方程 的解个数为2个．
（3）由 ，可得 ，
即 ，进一步变形为 ，
令 ，则 ，
显然 在 上单调递增，所以 恒成立，
即 恒成立，令 ， ，
，令 ，得 ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所以 ，则 ，
即实数 的取值范围是 ．
19．(1)分布列见解析，0
(2)（i） ， ；（ii）
（1）根据二项分布的概率公式求解概率，即可求解分布列以及期望，
（2）（i）根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解（i），
（ii）设事件A：粒子在第2n秒末第一次回到原点，事件B：粒子第1秒末向右移动一个单位，
根据 ，结合 的定义，即可求解．
【详解】（1）依题可知， 的可能取值为 ，
， ，， ，
的分布列如下：
-3 -1 1 3
.
（2）（i） ， ，
（ii）设事件 ：粒子在第 秒末第一次回到原点，
事件 ：粒子第1秒末向右移动一个单位.
，
记粒子往左移动一个单位为 ，粒子往右移动一个单位为 ，
以下仅考虑事件 .
设第 秒末粒子的运动方式为 ，其中 ；沿用（1）中对粒子位置的假设 ，
则粒子运动方式可用数列 表示，
如： 表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动.
由粒子在第 秒末第一次回到原点，可知
数列 的前 项中有 个1和 个 .
， ，
粒子在余下 秒中运动的位置满足 ，
即 ，
粒子在余下 秒中运动方式的总数为 ，
，又 ，
