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大庆铁人中学2024级高二年级上学期期末考试数学答案
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A B D B D B C C BC ACD ABD
12. 13. 14.
15.（本小题13分）
（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为 ，依题意 ，
解得 ，所以 .
（2）设等差数列 的前n项和为 ，等比数列 的前n项和为 ，
因为 ，
所以数列 的前n项和为 .
16.（本小题15分）
（1）由已知条件知，点 到点 的距离与到直线 的距离相等，由抛物线的定义可知点
的轨迹为以点 为焦点， 为准线的抛物线．
设抛物线的方程为 ，则 ，得 ，所以点 的轨迹方程 ．
（2）设直线 的方程为 ，则 ．
由 消去 得 ，由韦达定理得 ．直线 的方程为 ，
化简、整理得 ．
又 ，所以直线 的方程为 ．
所以直线 经过定点 ．
17.（本小题15分）
（1）连接 交 于点 ，则 ，因为 ，
所以 ，
因为 平面 ，而 不在平面 内，
所以 平面 .
（2）在△ 中，因为 ，所以根据余弦定理得 ，
所以 ,则 ，又 平面 ，所以以 为原点，建立如图所示的
空间直角坐标系，则
.
所以 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，所以 .
设直线 与平面 所成角为 ，
| DA∙m | 6 3❑√13
则 |cos⟨DA,m⟩|= = = .
|DA||m| 2×❑√9+4 1318.（本小题17分）
（1）由题意，当P点在长轴端点时，取 ，则 ①，
当P点在短轴端点时，取 ，则 ②，
由②得 ，故 代入①，可得 ， ，故椭圆E的标准方程为 .
（2）
如图1，若四边形 为平行四边形，又 ，则 ，即 为矩形，
设 ，则 ，又 ，则 ，
于是 ，故平行四边形 的面积为
.
（3）如图2，设 ，则 ，且 ，
因 且 ，故 ，则 ；
因 ，则 因 ，故 ，则 .
由 联立解得： ，
因点Q在椭圆E上，则得 ，将 代入化简得： ，
解得 ， ，即点P坐标为 .
19.（本小题17分）
【详解】（1）因为 ，所以
，两式相减，得 ，
在 中，令 ，得
，显然 ，所以数列 是等比数列.
（2）由（1）可知： ， ，
所以数列 是公差为 的等差数列， ；
①：
，
所以
②： ，
，
当 成等比数列时，
，
当 时， ，不成立；
所以 ， 则 ， ，
所以存在正整数 ，使得 成等比数列.
