文档内容
高二联考数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一､二章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在正方体 中，下列向量与 平行的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据正方体的性质可解.
【详解】如图，在正方体 中， .
故选：A.
2. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程可得斜率，再由斜率的定义计算倾斜角即可.
【详解】由 得 ，
所以直线的斜率 ，即 ，
又 ，所以倾斜角 .
故选：C.
3. 已知点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量夹角的公式计算即可；
【详解】由题意可得
.
故选：A.
4. 下列命题正确的是（ ）
的
A. 一条直线 方向向量是唯一的
B. 若直线 的方向向量与平面 的法向量平行，则
C. 若平面 的法向量与平面 的法向量平行，则
D. 若直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，则
【答案】B
【解析】
【分析】平面法向量的概念及辨析、利用法向量判断线面、面面位置关系即可.
【详解】对于A:一条直线的方向向量不唯一，A错误；对于B:若直线 的方向向量与平面 的法向量平行，则 ，B正确.
对于C:若平面 的法向量与平面 的法向量平行，则 ，C错误.
对于D:若直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，则 或 ，D错误.
故选：B.
5. 直线 在 轴､ 轴上的截距之和的最小值为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先化为截距式，得到截距，借助基本不等式计算即可.
【详解】 可化为 ，
则直线 在 轴､ 轴上的截距之和为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以截距之和的最小值为 .
故选：A.
6. 在正四面体 中， 为棱 的中点， ，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形，由向量的加法和向量的数量积计算即可；【详解】
因为 为棱 的中点，所以 ，
所以 .
故选：B.
7. 已知 为坐标原点，点 在圆 上运动，则线段 的中点 的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别设出 两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点 的
坐标可得结果.
【详解】设 ， ，则 ， ，即 ， ①.
因为点A在圆 上运动，所以满足 ②.
把①代入②，得 ，即 .
故线段OA的中点P的轨迹方程为 .故选：D
8. 已知点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由点关于直线的对称点方法求出 ，再有三点共线求出最小值即可；
【详解】如图，设 关于直线 对称的点为 ，则
解得 ，则 ，
所以 .
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线 ，则（ ）
A. 当 时，
B. 当 时，
C. 不存在实数 ，使得D. 与直线 之间的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于AB：根据垂直列式求解即可；对于C：根据平行列式求解，并代入检验；对于D：根据平行
线间距离公式运算求解即可.
【详解】对于选项AB：若 ，则 ，即 ，故A错误，B正确；
对于选项C：若 ，则 ，即 ，
此时 ，即 与 重合，故C正确；
对于选项D： 与直线 之间的距离为 ，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知几何体 为长方体，则（ ）
A. 在 方向上的投影向量为
B. 在 方向上的投影向量为
C. 在 方向上的投影向量为
的
D. 在 方向上 投影向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可.
【详解】如图：在长方体 中，因为 平面 ，所以 ，所以 在 方向上的投
影向量为 ，即A正确；
因为在 中， ，所以 与 不垂直，所以 在 方向上的投影向量不是
，即B错误；
因为 ， ，所以 在 方向上的投影向量为 ，即C正确；
虽然 ，但 与 不垂直，所以 在 方向上的投影向量不是 ，即D错误.
故选：AC
11. 已知圆 ： 与圆 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若圆 与圆 外切，则 或
B. 当 时，圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为
C. 若圆 与圆 关于点 对称，则
D. 当 时，对任意的 ，曲线W： 恒过圆 与圆 的交点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据两圆外切得圆心距等于半径之和，即可列式求解；
的
对于B，两圆 方程相减即可得公共弦所在直线的方程；
对于C，由两圆关于点 对称得两圆心关于点 对称，根据中点坐标公式，即可求解；对于D，根据过两圆交点的圆系方程即可判断.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ．若圆 与圆 外切，
则 ，解得 或 ，A正确．
当 时，圆 ： ，圆 ： ，将两圆的方程作差可得圆
与圆 的公共弦所在直线的方程为 ，B正确．
若圆 与圆 关于点 对称，则 解得 ，C错误．
当 时，圆 ： ，圆 ： ，
则 ，所以对任意的 ，曲线W
恒过圆 与圆 的交点，D正确．
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知直线 经过定点 ，则点 的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】提出参数，消去参数即可.
【详解】由 ，得 ，令 ,得到 ,x=0,
则点 的坐标为 .
故答案为： .
13. 曲线 的长度为__________，若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围
是__________.【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】将曲线 方程进行等价转化，其为半圆，求半圆周长即可；数形结合求得直线与曲线 有公共点
的临界态对应的参数值，即可求得 的范围.
【详解】由 ，得 ，则曲线 表示圆 的上半部分，半径为 ，
的
故曲线 长度为 ；
根据题意，作图如下：
因为圆 的圆心 到直线 的距离 ，所以 ，
数形结合可知，当直线 经过点 时， ，
故当 时，直线 与曲线 有公共点.
故答案为： ； .
14. 如图，在四棱台体 中， 平面 ，底面 为正方形，
，则该四棱台的体积 __________，直线 与平面 所成角的正弦值为
__________.【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）运用台体体积公式计算即可；
（2）借助空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可.
【详解】（1）运用台体体积公式计算， .
（2）建立如图空间直角坐标系，则 ， ，
所以 .
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 取 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， .
（1）求过点 且与直线 平行的直线的方程；
（2）求 边上的高所在直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）求得直线 的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；
（2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果.
【小问1详解】
由 ， 可知 ，
故所求直线的方程为 ，
即 .
【小问2详解】
易知 ，
则所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为 ，
即 .
16. 已知直线 ，圆 .
（1）若 ，判断直线 与圆 的位置关系；
（2）若 ，直线 与圆 交于 两点，求 .
【答案】（1）相离 （2）
【解析】
【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离与半径比较即可；
（2）先求圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长即可；
【小问1详解】圆 的标准方程为 ，
圆心为 ，半径 .
设圆心到直线的距离为 ，
因为圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相离.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为 ，
由（1）知圆心 到直线 的距离 ，
所以 .
17. 在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
分别为棱 ， 的中点， 为 上靠近点 的三等分点.
.
（1）证明： 平面
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，由题意可得 ，可证 ， ，建立空间直角坐标
系，利用向量法可证 平面 .
（2）求得平面平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，利用向量的夹角公式可求
二面角 的余弦值.
【小问1详解】
连接 ， ，
因为 ，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，进而 .因为 ，所以 .
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)， ， ， ， ，
所以 ， .因为 ，所以 ，则 ， ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
由（1）得 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 .
易得平面 的一个法向量为 .
设二面角 的大小为 ，则 ，
由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 .
18. 如图， 平面 分别为线段 的中点，
为线段 上的点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 .（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，由线面位
置关系的向量表示即可求证；
（2）由点到面距离的向量法即可求解.
【小问1详解】
因为 平面 平面 ，所以 .以 为坐标原点， 所在
直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
，
，.
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ，得 .
因为 ，所以 ，故 平面 .
【小问2详解】
连接 .因为 ，都在平面 内，
所以 平面 ，又 在平面 内，则 ，
又 ，所以 .
因为 是 的中点，所以 ，都在平面 内，
所以 平面 ，则 为平面 的一个法向量.
设 ，则 .
根据题意可得
解得 或 （舍去），
则 .因为平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离 .19. 已知圆 ，点 在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称.
（1）圆C在点Q处的切线的斜率为 ，直线QD，QG的斜率分别为 ， ，证明： 为定
值.
（2）过点Q作 轴，垂足为E， ，点D满足 .
①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点， ，求r；
②证明：直线QG与圆C相切.
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两点式斜率公式表示出 ，即可证明.
（2）①利用三角形中位线性质求得 ，然后利用直角三角形性质求得半径r；
②先求得点 ，然后求出直线QG的方程，利用原点O到直线QG的距离等于半径证明即可.
【小问1详解】
设 ， . ， .
记坐标原点为O，直线OQ的斜率为 ， .
.
综上， 为定值，定值为 .
【小问2详解】①在 中，AD为斜边，OF为斜边上的中线，所以 .
又因为 ，所以 ， .
因为 ，所以 ，解得 .
②因为点 在圆C上，所以 .
直线AE的斜率为 ，直线AD的斜率为 ，
直线AD的方程为 .
令 ，得 ，则 ， .
直线QG的方程为 ，即 ，
原点O到直线QG的距离
，
所以直线QG与圆C相切.
