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微专题 91 电磁感应中的能量问题
1．若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算。2.若电流变
化，则可利用克服安培力做功求解，即电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功，或
利用能量守恒求解。
1. (多选)(2023·北京市模拟)一个半径为r、质量为m、电阻为R的金属圆环，用一根长为L
的绝缘轻细杆悬挂于O点，在O的正下方有一半径为L＋2r、磁感应强度大小为B、方向垂
直纸面向里的圆形匀强磁场区域，其圆心O 与O在同一竖直线上，若金属环的圆心为O ，
2 1
如图所示。现使绝缘轻细杆由水平位置由静止释放，下摆中金属环所在平面始终垂直磁场，
已知重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是( )
A．金属环最终可能静止在O 点的正下方
1
B．金属环在进入磁场时所受安培力的方向沿OO 连线方向
2 1
C．金属环在整个过程中产生的焦耳热是mg(L＋2r)
D．金属环在第一次进入磁场过程中通过金属环某一横截面的电荷量为
答案 BCD
解析 金属环进入磁场与出磁场过程中，穿过环的磁通量发生变化，有感应电流，则进入磁
场与出磁场过程均有一部分机械能转化为焦耳热，因此，金属环每次摆动的最高点位置不断
降低，直到金属环与磁场圆内切时速度为0之后，在摆动过程中，穿过金属环的磁通量不再
改变，环中不再产生感应电流，金属环之后在左右与磁场圆内切的位置往返摆动，可知金属
环最终不可能静止在O 点的正下方，A错误；
1
金属环在进入磁场时，产生感应电流，受到安培力 F＝BIL，金属圆环与磁场圆的两交点连
线为两个圆的一条公共弦，该条弦的长度为金属环在进入磁场时所受安培力中的等效长度
L，根据左手定则可知，安培力垂直于该公共弦，根据楞次定律，该安培力为阻力，即金属
环在进入磁场时所受安培力的方向沿OO 连线方向，B正确；
2 1
根据上述可知，金属环最终与磁场圆内切时速度为0，作出示意图如图所示
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料根据几何关系，金属环与磁场圆内切点在A、C位置时，其圆心与O、O 的距离均为L＋r，
2
则此时金属环圆心到O的高度为h＝(L＋2r)，则有Q＝mgh＝mg(L＋2r)，C正确；金属环第
一次进入磁场过程中磁通量的变化量为 ΔΦ＝Bπr2－0＝Bπr2，感应电动势的平均值＝，感应
电流的平均值＝＝，解得q＝，D正确。
2．(2023·福建泉州市五中检测)如图甲所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在
M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为l的导体棒
垂直置于导轨上a、b两点间，在a点右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨
平面、宽度为d，磁感应强度大小为B，设磁场左边界到ab距离为d。现用一个水平向右的
0
力F拉导体棒，使它从a、b处由静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，棒ab与
导轨始终垂直且保持良好接触，导轨电阻不计，水平力F的变化情况如图乙所示，F 已知。
0
求：
(1)导体棒离开磁场右边界时的速度大小v；
(2)导体棒通过磁场区域的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
(3)d满足什么条件时，导体棒进入磁场后一直做匀速运动。
答案 (1) (2)[F(d＋2d)－] (3)
0 0
解析 (1)设导体棒离开磁场右边界时的速度大小为v，产生的感应电动势为E＝Blv
感应电流为I＝
根据平衡条件得2F＝BIl
0
联立解得v＝
(2)全程根据动能定理得Fd＋2Fd－W ＝mv2－0
0 0 0 克安
根据功能关系得Q＝W
克安
又有Q ＝Q
R
联立解得Q ＝[F(d＋2d)－]
R 0 0
(3)若导体棒在磁场中一直做匀速运动，则其进入磁场时的速度大小为v，根据动能定理得
Fd＝mv2
0
解得d＝。
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料3. (2023·河南省八市调研)质量为m的均匀导线首尾相接制成边长为 L的单匝正方形闭合导
线框abcd，总电阻为R。将其置于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的水平匀强磁场
上方，磁场的上边界OO′水平，导线框最低点c到OO′的高度为h，如图所示。将导线框
由静止释放，当导线框一半面积进入磁场时，恰好处于平衡状态，导线框平面保持在竖直平
面内，且b、d两点的连线始终水平，已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
(1)导线框一半面积进入磁场时，导线框的速度大小v；
(2)导线框从静止下落到一半面积进入磁场的过程中，导线框产生的热量Q；
(3)导线框从静止下落到完全进入磁场的过程中，通过导线框某一横截面的电荷量q。
答案 (1) (2)mg(L＋h)－
(3)
解析 (1)导线框一半面积进入磁场时，根据平衡条件有mg＝BIL
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为E＝BLv
根据闭合电路的欧姆定律有I＝
联立解得v＝
(2)导线框从静止下落到一半面积进入磁场的过程中，根据能量守恒定律有
mg(L＋h)＝mv2＋Q
解得Q＝mg(L＋h)－
(3)平均感应电动势＝
根据闭合电路欧姆定律有＝
通过导线框某一横截面的电荷量q＝Δt
联立解得q＝。
4．(2023·天津市模拟)如图甲所示，足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨 MN、PQ竖直放
置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端 M与P之间连接阻值为R
＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上。现使金
属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x
与时间t的关系图像如图乙所示，图像中的OA段为曲线，AB段为直线，g取10 m/s2。
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(1)判断金属棒两端a、b的电势高低；
(2)求磁感应强度B的大小；
(3)求在金属棒ab开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量。
答案 (1)b端电势高于a端电势 (2)0.1 T (3)0.26 J
解析 (1)由右手定则可知，ab中的感应电流由a流向b，ab相当于电源，则b端电势高于a
端电势。
(2)由x－t图像求得t＝1.5 s时金属棒的速度
v＝＝ m/s＝7 m/s
金属棒匀速运动时所受的安培力大小为
F＝BIL，I＝，E＝BLv
联立得F＝
根据平衡条件得F＝mg
则有mg＝
代入数据解得B＝0.1 T。
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，金属棒的重力势能减少量转化为金属棒的动能和电路的
内能。设电路中产生的总焦耳热为Q，根据能量守恒定律得mgx＝mv2＋Q
代入数据解得Q＝0.455 J，故R产生的热量为Q ＝Q＝0.26 J。
R
5. (2023·江西九江市模拟)如图，两根电阻不计、互相平行的光滑金属导轨竖直放置，相距L
＝1 m。在水平虚线间有与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5 T，磁场
区域的高度d＝1 m, 导体棒a的电阻R ＝1 Ω，导体棒b的质量m＝0.05 kg、电阻R ＝1.5
a b
Ω，它们分别从图示M、N处同时由静止释放，开始在导轨上向下滑动，b匀速穿过磁场区
域，且当b刚穿出磁场时a刚好进入磁场并将匀速穿过磁场，取g＝10 m/s2，不计a、b棒之
间的相互作用，不计空气阻力，导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好，求：
(1)b棒匀速穿过磁场区域的速度大小；
(2)a棒刚进入磁场时两端的电压；
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(3)从静止释放到a棒刚好出磁场过程中a棒产生的焦耳热。
答案 (1)5 m/s (2)2.1 V (3)0.48 J
解析 (1)b棒穿过磁场做匀速运动，安培力等于重力，则有BIL＝mg
1
根据闭合电路欧姆定律有
I＝＝
1
解得v＝5 m/s
b
(2)设b棒在磁场中匀速运动的时间为t，则有d＝vt，解得t＝0.2 s
1 b1 1
a、b都在磁场外运动时，速度总是相同的，b棒进入磁场后，a棒继续加速t 时间后进入磁
1
场，a棒进入磁场的速度大小为v＝v＋gt＝7 m/s
a b 1
产生的感应电动势为E＝BLv＝3.5 V
2 a
a棒两端的电势差即为路端电压，则
U＝＝2.1 V
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(3)a棒进入磁场并将匀速穿过磁场，则有BIL＝mg
2 a
根据闭合电路欧姆定律有I＝
2
解得m＝0.07 kg
a
两棒穿过磁场过程中，根据能量守恒定律可知，两棒的重力势能减少量转化为电路中产生的
焦耳热，产生的总焦耳热为Q＝(m＋m)gd＝1.2 J，
a
a棒产生的焦耳热Q＝Q＝0.48 J。
a
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