文档内容
2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1.【答案】C
【解析】由 得 ，
所以 .
故选：C
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.【答案】A
【解析】若 ，则 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的充分条件；
若 ，则 ，只有当 时，才能推出 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以“ ”不是“ ”的必要条件，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3．已知 ， ， ，若P，A，B，C四点共面，则 （ ）
A. 3 B. C. 7 D.
3.【答案】C
【解析】由P，A，B，C四点共面，可得 ， ， 共面，
设 ，
则 ，解得 ．
故选：C.
4．函数 的零点个数为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
4.【答案】B
【解析】 定义域为R， ，
又 ，故 为奇函数，
当 时，由于 恒成立，故 恒成立，无零点，故 时，也不存在零
点，
当 时， ，
2
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也时最大值， ，显然
， ，
故由零点存在性定理知，在 上存在一零点，
结合函数为奇函数，在 上存在一零点，
综上， 一共有3个零点.
故选：B
5．在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是 ，
直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.【答案】D
【解析】根据空间向量的运算法则，可得 ，
因为以顶点 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是 ，
3
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学科网（北京）股份有限公司所以
，所以 ，
由 ，所以
所以 ，
又由
，
所以 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故选：D.
6．某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人
至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（ ）种报名方式
A. 49 B. 64 C. 66 D. 73
6.【答案】C
【解析】由题可知，若每人报集体赛1项，则报名方式有 种，
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学科网（北京）股份有限公司若每人报集体赛2项，则报名方式有 种，
所以每人共有报名方式 种.
故选：C.
7．已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，则 （
）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.【答案】A
【解析】 为偶函数， ，
令 ，则 ， ， ；
又 ， ，即 ，
，
是周期为 的周期函数， ，
由 得： ，即 ，
又 ， ， .
故选：A.
8．设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
8.【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 ， ， ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
由 ，可得 ，故B错误；
所以 ，故C正确；
所以 ， ，故D错误.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A. 若随机变量 满足 ，则
B. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则c，k的值分别是 和2
C. 若变量x与变量y满足关系 ，变量y与变量z是正相关，则x与z正相关
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学科网（北京）股份有限公司D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值 的独立性检验（
），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
9.【答案】BCD
【解析】对于A，若恒有 ， ，则 ，且 .
所以 ，故A错误；
对于B，由于有线性回归方程 ，故 ，即 ，所以 ， ，故
B正确；
对于C，若变量x与变量y满足关系 ，则变量x与变量y是正确定关系，
又变量y与变量z是正相关，所以x与z正相关，故C正确；
对于D，由于 ，故有 的把握判断X与Y有关联，即判断错误的概率不超过 ，
D正确.
故选：BCD
10．已知 展开式的二项式系数和为512，
，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.【答案】BD
【解析】由 展开式的二项式系数和为512，
可得 ，解得 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司A：在 ，中，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，故A错误；
B： ，
等式两边同时求导，得 ，
令 ，得 ，故B正确；
C：∵ ，
∴ ，故C错误；
D： ，
两式相加得 ，两式相减得 .
又 展开式的通项公式为 （
），
则当 为奇数时， 为负，当 为偶数时， 为正，
所以
，故D正确.
故选：BD
11．在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点 在正方体的面 内（含边
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学科网（北京）股份有限公司界）移动，点 为线段 上的动点，设 ，则（ ）
A. 当 时， 平面
为
B. 定值
C. 的最小值为
D. 当直线 平面 时，点 的轨迹被以 为球心， 为半径的球截得长度为1
11.【答案】ABD
【解析】对于A，以 为原点，以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为正方体 的棱长为2，
所以 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
的
设平面 一个法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ,取 ，则 ，
因 为 ，所以 ，
所以 ， ，
因为 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于B，设点 到平面 的距离为 ，
则所以 ，因为点 在正方体的面 内（含边界）移动，
又因为平面 平面 ，所以点 到平面 的距离 为定值，
又因为 为定值，所以三棱锥 的体积为定值，故B正确；
对于C，设 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
则
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0
学科网（北京）股份有限公司，故C错误；
对于D，连接 ，由正方体的性质知， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， ，所以平面 平面 ，
因为点 在正方体的面 内（含边界）移动，当 ，则 平面 ，
则 平面 ，则 点轨迹为线段 ，
取 中点 ，连接 ，而△ 为等边三角形，则 ，
以A为球心， 为半径的球截 的长度为 ，故D正确；
故选：ABD.
第二部分（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．随机变量 ， ，则 ______．
12.【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】因为随机变量 ，可得正态分布曲线的对称轴为 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位：克）与脉搏率 （单位：心跳次数/分
钟）的对应数据 ，根据生物学常识和散点图得出 与 近似满足 （ 为
参数）.令 ， ，计算得 ， ， .由最小二乘法得经验回归方程为
，则 的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值
，若残差平方和 ，则决定系数 ___________.（参考公式：决定系数
）
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学科网（北京）股份有限公司13.【答案】 ①. ②.
【解析】因为 ，两边取对数可得 ，
又 ， ，
依题意回归直线方程 必过样本中心点 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
又 .
故答案为： ；
14．已知函数 ，若函数 有两个极值点 且 ，则实数 取值范
围为_________．
14.【答案】
【解析】∵函数 有两个极值点 ，∴ 有两个零点 ， ，
∴ ， ，∴ ＝ ＝ ，
令 ，则 ①，则有 ＝ ②，
∴ ，代入①可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又由②得 ，∴ ，
令 ，则 ＝ ，
令 ，则 ＝ ，
∴ 单调递减，∴ ，
∴ 单调递减，∴ ，即 ，
而 ，令 ，
则 ＞0，∴ 在 时单调递增，
∴ ，即 ，
又 有两个零点 ，则直线 与 的图象有两个交点，
而 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，且当 时， ；当 时， ； ，
大致图象为：
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学科网（北京）股份有限公司由图可知， ，
又 ，
，则 ，
综上， ，
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若对于任意 ，都有 ，求实数a的取值范围.
15.【答案】（1）增区间为 ，减区间为 （2）
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 .
与 在区间 上的情况如下：
x
- 0 +
极 小
值
故 的增区间为 ，减区间为 .
（2）当 时，“ ”恒成立等价于当 时，“ ”恒成立，
令 ， ，则 ， .
当 时， ，所以 在区间 上单调递减.
当 时， ，所以 在区间 上单调递增.
而 ， ，
所以 在区间 上的最大值为 .
所以当 时，对于任意 ，都有 .
综上所述，满足题意的实数 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司16.（15分）
某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
（1）完成 列联表.根据小概率值 的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为 ，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为 .
用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测
试，求3人中合格的人数 的分布列及期望.（ 对应值见下表. ，
）
0.1
0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16.【答案】（1）列联表见解析，能 （2）分布列见解析，
【解析】（1） 列联表如下表
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
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学科网（北京）股份有限公司零假设为 体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关.
.
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错
误的概率不超过0.01.
（2）方法一：设事件 “随机抽取一人体育锻炼达标”，事件 “随机抽取一人体能测试合格”，
则 ， ， ， .
所以 ；
的可能取值为：0，1，2，3
，
，
，
，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3
P
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
方法二：设事件 “随机抽取一人体育锻炼达标”，事件 “随机抽取一人体能测试合格”，则
， ， ， .
所以 .
因为 .
所以 ， .
所以 .
17．（15分）
某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、
女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种
不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加.
17.【答案】（1）144 （2）144 （3）1008
【解析】（1）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有 种方法；
第二步，排好出场顺序，有 种方法，
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学科网（北京）股份有限公司所以，共有 种不同的安排方法.
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有 种方法；
第二步，排好出场顺序，有 种方法，
所以，共有 种不同的安排方法.
（3）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为 ；
“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为 ；
“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为 ；
第二步，排好出场顺序，有 种排法，
所以，共有 种不同的安排方法.
18．（17分）
如图，在三棱柱 中， ， .
（1）证明： ；
（2）若平面 平面 ，D为 上一点且 ，求平面 与平面 夹角的
2
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学科网（北京）股份有限公司余弦值.
18.【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）取BC中点E，连接AE、 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 为正三角形，
∴ ，
又∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
2
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学科网（北京）股份有限公司（2）∵平面 平面 ，
由（1）知 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
又 ，
所以 ， ， 两两互相垂直，
故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
2
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
∴ ，
取 ，则 ， .
∴ ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
∴ ，
取 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴平面 与平面 的夹角的余弦值为
19．（17分）
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3
学科网（北京）股份有限公司某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为
X．
（1）要使 的值最大，求n的值；
（2）已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为 ，方差为 ，则对任意 均有
，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件
的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等
式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有 的把握使种子的发芽率落在区间 ，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数
的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设 X 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有
．
19.【答案】（1） （2）①证明见解析；②45
【解析】（1）
，由题意有 ，
解得 ，由于 为整数，故 ．
（2）①证法1：设 的分布列为 ，
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学科网（北京）股份有限公司其中 ， ，记 ，则对任意 ，
．
证法2：由马尔科夫不等式，得 ．
② ，则 ， ．
由题意， ，即 ， ，也即 ．
由切比雪夫不等式，有 ，
从而 ， ，估计 的最小值为45．
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5
学科网（北京）股份有限公司
