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2019年广西梧州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）
1．（3分）﹣6的倒数是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2
C．（2x）2＝4x2 D．（x+y）2＝x2+y2
3．（3分）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
4．（3分）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y＝ C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
5．（3分）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．（3分）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
7．（3分）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
8．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝
5，则△BEC的周长是（ ）
1A．12 B．13 C．14 D．15
9．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，
82．下列关于这组数据的描述不正确的是（ ）
A．众数是108 B．中位数是105
C．平均数是101 D．方差是93
11．（3分）如图，在半径为 的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，
则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
12．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x，x（x＜x），则
1 2 1 2
下列结论正确的是（ ）
A．x＜﹣1＜2＜x B．﹣1＜x＜2＜x C．﹣1＜x＜x＜2 D．x＜﹣1＜x＜2
1 2 1 2 1 2 1 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
13．（3分）计算： ＝ ．
14．（3分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG
＝2cm，则BC的长度是 cm．
215．（3分）化简： ﹣a＝ ．
16．（3分）如图， ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，
▱
则∠BHF＝ 度．
17．（3分）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB
＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 ．
18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，
对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）
19．（6分）计算：﹣5×2+3÷ ﹣（﹣1）．
20．（6分）先化简，再求值： ﹣ ，其中a＝﹣2．
321．（6分）解方程： +1＝ ．
22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1，1，2．第一次
从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两
个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）用列表法或树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果；
（2）求点M（x，y）在双曲线y＝﹣ 上的概率．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ ．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．
24．（10分）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为
100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单
价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并
求出最大利润．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点
E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．
（1）求DE的长；
（2）求证：∠1＝∠DFC．
426．（12分）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣ x+c过点A，与⊙A交于B、C
两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，
请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝kx﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
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52019年广西梧州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.）
1．【分析】根据倒数的定义，a的倒数是 （a≠0），据此即可求解．
【解答】解：﹣6的倒数是：﹣ ．
故选：C．
2．【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答
案．
【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故此选项错误；
B、2x+3x＝5x，故此选项错误；
C、（2x）2＝4x2，正确；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
故选：C．
3．【分析】根据几何体的主视图和左视图都是矩形，得出几何体是柱体，再根据俯视图为圆，
易判断该几何体是一个圆柱．
【解答】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体
只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体．
故选：A．
4．【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答
案．
【解答】解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；
B、y＝ ，是反比例函数，不合题意；
C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；
D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；
故选：A．
5．【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．
【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，
∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．
6故选：B．
6．【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
【解答】解：直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x﹣1．
故选：D．
7．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个
内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝ ．
故选：D．
8．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．
故选：B．
9．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解
集，表示在数轴上即可．
【解答】解： ，
由①得：x＞﹣3；
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
表示在数轴上，如图所示：
故选：C．
10．【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中
位数、平均数和方差，即可得出结论．
【解答】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，
∴众数是108，中位数为 ＝105，平均数为 ＝101，
7方差为 [（82﹣101）2+（96﹣101）2+（102﹣101）2+（108﹣101）2+（108﹣101）2+（110﹣
101）2]≈94.3≠93；
故选：D．
11．【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝
BG＝ AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝ ＝2，
证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝ OG＝2 ，求出∠OEF＝30°，
由直角三角形的性质得出OF＝ OE＝ ，由勾股定理得出DF═ ，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝ AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝ ＝ ＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝ OG＝2 ，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝ OE＝ ，
在Rt△ODF中，DF＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝2DF＝2 ；
故选：C．
12．【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x，x看作是二次函数m＝
1 2
8（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，
即可以求出x与x，当函数值m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分所对应的x的取
1 2
值范围，再根据x＜x，做出判断．
1 2
【解答】解：关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x，x，可以看作二次函数
1 2
m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，
∵二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：
当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；
又∵x＜x
1 2
∴x＝﹣1，x＝2；
1 2
∴x＜﹣1＜2＜x，
1 2
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
13．【分析】根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴ ＝2
故答案为：2．
14．【分析】利用三角形中位线定理求得FG＝ DE，DE＝ BC．
【解答】解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，
∴DE＝2FG＝4cm，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm，
故答案为：8．
15．【分析】直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．
【解答】解：原式＝ ﹣a＝ ﹣a
9＝2a﹣4﹣a
＝a﹣4．
故答案为：a﹣4．
16．【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵∠ADC＝119°，DF⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
则∠EDH＝29°，
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣29°＝61°．
故答案为：61．
17．【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质
得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，
∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝65°，
∴∠AOC＝50°，
∴阴影部分的扇形OAC面积＝ ＝ ，
故答案为： ．
18．【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝
∠BAC＝ ∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，由直角三角形的性质求出OB＝ AB＝1，OA＝
OB＝ ，得出AC＝2 ，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，得出CE
＝AC﹣AE＝2 ﹣2，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE＝ CE＝ ﹣1，PC
＝ PE＝3﹣ ，即可得出结果．
【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：
10∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝ ∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OB＝ AB＝1，
∴OA＝ OB＝ ，
∴AC＝2 ，
由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，
∴CE＝AC﹣AE＝2 ﹣2，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP＝∠EAG＝60°，
∴∠CEP+∠ACD＝90°，
∴∠CPE＝90°，
∴PE＝ CE＝ ﹣1，PC＝ PE＝3﹣ ，
∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣ ）＝ ﹣1；
故答案为： ﹣1．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.）
19．【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣10+1+1
＝﹣8．
20．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝a2﹣2a2
＝﹣a2，
11当a＝﹣2时，原式＝﹣4．
21．【分析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）得：x2+2+x﹣2＝6，
则x2+x﹣6＝0，
（x﹣2）（x+3）＝0，
解得：x＝2，x＝﹣3，
1 2
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，故x＝2不是方程的根，
x＝﹣3是分式方程的解．
22．【分析】根据摸秋规则，可借助树状图表示所有的情况数，然后再根据坐标，找出坐标满足
y＝ 的点的个数，由概率公式可求．
【解答】解：（1）用树状图表示为：
点M（x，y）的所有可能结果；（﹣1，1）（﹣1，2）（1，﹣1）（1，2）（2，﹣1）（2，1）共六种情况．
（2）在点M的六种情况中，只有（﹣1，2）（2，﹣1）两种在双曲线y＝﹣ 上，
∴P＝ ；
因此，点M（x，y）在双曲线y＝﹣ 上的概率为 ．
23．【分析】（1）根据tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，
进而由勾股定理求AD；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．
【解答】解：（1）∵tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
12∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD＝ ；
（2）过点作DE⊥AB于点E，
∵tanB＝ ，可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵AE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y＝﹣ （舍），或y＝ ，
∴ ，
∴sinα＝ ．
24．【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，
（2）由（1）的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围
（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷售价，即可求得售价的范
围．再结合二次函数的性质，即可求．
【解答】解：
由题意
（1）y＝（x﹣5）（100﹣ ×5）＝﹣10x2+210x﹣800
故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240
13解得，x＝8，x＝13
1 2
∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13
（3）∵每件文具利润不超过80%
∴ ，得x≤9
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5
∵对称轴为x＝10.5
∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
25．【分析】（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出
△ADE∽△FCE，则 ，可求出DE长；
（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则 ，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据DF∥AH，
可得∠AHC＝∠DFC，结论得证．
【解答】（1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，
∴∠DAF＝∠ACF，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∴∠FAC＝∠AFC，
∴AC＝CF，
∵AB＝4，BC＝3，
∴ ＝ ＝5，
∴CF＝5，
∵AD∥CF，
∴△ADE∽△FCE，
∴ ，
14设DE＝x，则 ，
解得x＝
∴ ；
（2）∵AD∥FH，AF∥DH，
∴四边形ADFH是平行四边形，
∴AD＝FH＝3，
∴CH＝2，BH＝5，
∵AD∥BH，
∴△ADG∽△HBG，
∴ ，
∴ ，
∴DG＝ ，
∵DE＝ ，
∴ ＝ ，
∴EG∥BC，
∴∠1＝∠AHC，
又∵DF∥AH，
∴∠AHC＝∠DFC，
∠1＝∠DFC．
26．【分析】（1）证明RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），即可求解；
（2）点E在直线BD上，则设E的坐标为（x， x+1），由AD＝AE，即可求解；
（3）分当切点在x轴下方、切点在x轴上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，
∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，
∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，
∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），
15∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，
故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），
将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣ x+c并解得：
a＝ ，c＝11，
故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x+11；
（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝ x+1，则点D（﹣2，0），
点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），
则AB＝ ，AD＝5，
点E在直线BD上，则设E的坐标为（x， x+1），
∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（ x+1）2，
解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2），
故点E（6，4），
把x＝6代入y＝ x2﹣ x+11＝4，
故点E在抛物线上；
（3）①当切点在x轴下方时，
设直线y＝kx﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，
1
AH＝AB＝ ，GA＝ ，
∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，
16∴ ，即： ，
解得：KO＝2或﹣ （舍去﹣ ），
故点K（﹣2，0），
把点K、G坐标代入y＝kx﹣1并解得：
1
直线的表达式为：y＝﹣ x﹣1；
②当切点在x轴上方时，
直线的表达式为：y＝2x﹣1；
故满足条件的直线解析式为：y＝﹣ x﹣1或y＝2x﹣1．
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