文档内容
2024 年烟台市初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交
回．
2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题
卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，
C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列实数中的无理数是（ ）
A. B. 3.14 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可．
【详解】解：A、 是有理数，不符合题意；
B、3.14是有理数，不符合题意；
C、 是无理数，符合题意；
D、 是有理数，不符合题意；
故选C．
2. 下列运算结果为 的是（ ）
1A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握
以上运算法则；
根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可
【详解】A． ，故选项不符合题意；
B． ，故选项不符合题意；
C． ，故选项不符合题意；
D． ，故选项符合题意；
故选：D．
3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几
何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，
再判断即可．
【详解】解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题
意；
B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
2C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：A．
4. 实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断 ， ， 的正负，然后判断即可，
解题的关键是结合数轴判断判 ， ， 的正负．
【详解】由数轴可得， ， ， ，
、 ，原选项判断错误，不符合题意，
、 ，原选项判断正确，符合题意，
、根据数轴可知： ，原选项判断错误，不符合题意，
、根据数轴可知： ，则 ，原选项判断错误，不符合题意，
故选： ．
5. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是 纸厚度的六分之一，已知1毫米 百
万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米
【答案】B
3【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为整数进行表示即可．
【详解】解：0.015毫米 纳米；
故选B．
6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为 和 ，则
和 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．
【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线
图可知乙选手的成绩波动较小，
∴ ；
故选A．
7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线 为
的平分线的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
4【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质
和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．
【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法， 为 的平分线；
第二个图，由作图可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的平分线；
第三个图，由作图可知 ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ 为 的平分线；
第四个图，由作图可知： ， ，
∴ 为 的平分线；
5故选D．
8. 如图，在正方形 中，点E，F分别为对角线 的三等分点，连接 并延长交 于点
G，连接 ，若 ，则 用含α的代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角
性质．证明 ，求得 ，证明 ，证得 ，推出
，得到 ，据此求解即可．
【详解】解：∵正方形 中，点E，F分别为对角线 的三等分点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
6∴ ，
∵点E，F分别为对角线 的三等分点，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．
初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度
越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布， 天完工，问一共
织了多少布？
7A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和 即可，
读懂题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，第一天织布 尺，第 天织布 尺，
∴一共织布 （尺），
故选： ．
10. 如图，水平放置的矩形 中， ， ，菱形 的顶点 ， 在同一水平
线上，点 与 的中点重合， ， ，现将菱形 以 的速度沿 方
向匀速运动，当点 运动到 上时停止，在这个运动过程中，菱形 与矩形 重叠部分的面
积 与运动时间 之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，
先求得菱形的面积为 ，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱
形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．
【详解】解：如图所示，设 交于点 ，
∵菱形 ， ，
∴
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴
∴
∴
当 时，重合部分为 ，
如图所示，
9依题意， 为等边三角形，
运动时间为 ，则 ，
∴
当 时，如图所示，
依题意， ，则
∴
∴
∵
∴当 时，
当 时，同理可得，
10当 时，同理可得，
综上所述，当 时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当 时，函数图象为开口向下的
一段抛物线，当 时，函数图象为一条线段，当 时，函数图象为开口向下的一段抛物线，
当 时，函数图象为开口向上的一段抛物线；
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
12. 关于 的不等式 有正数解， 的值可以是______（写出一个即可）．
11【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于 的一
元一次不等式，即可求出 的取值范围，进而可得 的值，求出 的取值范围是解题的关键．
【详解】解：不等式移项合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
∵不等式 有正数解，
∴ ，
解得 ，
∴ 的值可以是 ，
故答案为： ．
13. 若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若 是一元二次方程
的两根时， ，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题
关键．
根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 ， ， 再 把 变 形 为
，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
12∴ ，
∴
故答案为：6．
14. 如图，在边长为6的正六边形 中，以点F为圆心，以 的长为半径作 ，剪下图中阴影
部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇
形的圆心角的度数，过点 作 ，求出 的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进
行求解即可．
【详解】解：∵正六边形 ，
∴ ， ，
13∴ ， ，
∴ ，
过点 作 于点 ，则： ，
设圆锥的底面圆的半径为 ，则： ，
∴ ；
故答案为： ．
15. 如图，在 中， ， ， ．E为边 的中点，F为边 上的一动
点，将 沿 翻折得 ，连接 ， ，则 面积的最小值为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到 ， ， ，由折叠性质得到
，进而得到点 在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作 交 延
14长线于M，交圆E于 ，此时 到边 的距离最短，最小值为 的长，即此时 面积的最小，
过C作 于N，根据平行线间的距离处处相等得到 ，故只需利用锐角三角函数求得
即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ， ，则 ，
∵E为边 的中点，
∴ ，
∵ 沿 翻折得 ，
∴ ，
∴点 在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作 交 延长线于M，交圆E于 ，
此时 到边 的距离最短，最小值为 的长，即 面积的最小，
过C作 于N，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
15∴ ，
∴ 面积的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数
等知识，综合性强的填空压轴题，得到点 的运动路线是解答的关键．
16. 已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根； 当
时， 的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则
； 满足 的 的取值范围是 或 ．其中正确结论的序号为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出 的值即可判断 ；利用根的
判别式即可判断 ；利用二次函数的性质可判断 ；利用对称性可判断 ；画出函数图形可判断 ；
掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：把 ， ， 代入 得，
，
16解得 ，
∴ ，故 正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，故 正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
又∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，当 时，函数取最大值 ，
∵ 与 时函数值相等，等于 ，
∴当 时， 的取值范围为 ，故 错误；
∵ ，
∴点 ， 关于对称轴 对称，
∴ ，故 正确；
由 得 ，
17即 ，
画函数 和 图象如下：
由 ，解得 ， ，
∴ ， ，
由图形可得，当 或 时， ，即 ，故 错误；
综上，正确的结论为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17. 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ，若 是其显示结果的
平方根，先化简： ，再求值．
【答案】 ， ．
【解析】
18【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出 的
值，把 的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出 的值是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
∴ 的平方根为 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为 的平方根，
∴ ，
∴原式 ．
1918. “山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，
某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部
分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组： ；
B组： ；C组： ；D组： ），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；
（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取
的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法或树状图法求概率：
（1） 组人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出 组人数，补全条形图即可；
（2）用 组人数除以总数，求出 的值， 组人数所占的比例乘以360度求出圆心角的度数；
（3）列出表格，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解： ，
∴ 组人数为： ；
补全条形图如图：
20【小问2详解】
，
∴ ，
D组对应的扇形圆心角的度数为 ；
故答案为： ；
【小问3详解】
列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2
男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2
女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴ ．
19. 根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
21太阳能热水器是利用绿色能源造福
素 人类的一项发明．某品牌热水器主
材 要部件太阳能板需要安装在每天都
一 可以有太阳光照射到的地方，才能
保证使用效果，否则不予安装．
， ，
某市位于北半球，太阳光线与水平 ， ，
素 线的夹角为α，冬至日时，
材
；夏至日时，
二 ， ，
．
， ，
如图，该市甲楼位于乙楼正南方
向，两楼东西两侧都无法获得太阳
光照射．现准备在乙楼南面墙上安
素 装该品牌太阳能板．已知两楼间距
材 为54米，甲楼 共11层，乙楼
三
共15层，一层从地面起，每层
楼高皆为3.3米， 为某时刻的太
阳光线．
问题解决
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能
任 板，应选择________日（填冬至或夏至）
务 确定使用数据
时，α为________（填 ， ， ，
一
中的一个）进行计算．
任 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙
务 探究安装范围 楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水
二 器．
【答案】任务一：冬至， ；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．
任务一：根据题意直接求解即可；
任务二：过E作 于F，利用正切定义求得
【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需 为冬至日时的最
22小角度，即 ，
故答案为：冬至， ；
任务二：过E作 于F，则 ， 米， ，
在 中， ，
∴ （米），
∵ （米），
∴ （米），
（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研
发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每
降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，
设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
的
（1）求y与x 函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】（1） ，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元
（2）这天售出了64辆轮椅
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
23（2）令 ，得到关于 的一元二次方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得： ；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时，每天的利润最大，为 元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元；
【小问2详解】
当 时， ，
解得： （不合题意，舍去）；
∴ （辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
21. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，将正比例函数图象向下平移
个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足
．过点B作 轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线 与 关于直线 成轴
对称，连接 ．
24（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及 的面积．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出 的值，进而求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据平移规则，得到平移后 的解析式 ，联立两个解析式，表示出 的坐标，过点 ，
作 轴的平行线交 轴于点 ,根据 ，进而求出 的值，进而根据对称性得出
，勾股定理求得 ，进而求得 的长，即可求解．
【小问1详解】
解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
25∴ ；
【小问2详解】
∵
∴
∴
∴
∵将正比例函数图象向下平移 个单位，
∴平移后的解析式为： ，
如图所示，过点 ， 作 轴的平行线交 轴于点 ，则 ， 是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
设 ，则
∴ ，
26∴ ，
∵ ， ，在 上
∴
解得： （负值舍去）
∴ ，
∴ 的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
∴ ， ，则
∵直线 与 关于直线 成轴对称， 轴，
∴ ， 和 是等腰直角三角形，
∴
∴ ，
∵ 和 是等腰直角三角形，
∴
∴
22. 在等腰直角 中， ， ，D为直线 上任意一点，连接 ．将线段
27绕点D按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段 上时，线段 与 的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段 与 的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若 ， ，请直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2） ，补图及证明见解析；（3） 或
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．
（1）过点 作 延长线于点 ，利用一线三垂直全等模型证明 ，再证明
即可；
（2）同（1）中方法证明 ，再证明 即可；
（3）分两种情况讨论：过点 作 延长线于点 ，求出 ， 即可．
【详解】解：（1）如图，过点 作 延长线于点 ，
28由旋转得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）补全图形如图：
，理由如下：
29过点 作 交 于点 ，
由旋转得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图，当 在 的延长线上时，过点 作 于点 ，连接 ，
由（2）得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
30当 在 的延长线上时，过点 作 于点 ，如图，连接 ，
同理可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或
23. 如图， 是 的直径， 内接于 ，点I为 的内心，连接 并延长交O于点D，
E是 上任意一点，连接 ， ， ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）找出图中所有与 相等的线段，并证明；
（3）若 ， ，求 的周长．
31【答案】（1）
（2） ，证明见解析
（3）30
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，再根据三角形的内角和定理求 ，然后利用
圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接 ，由三角形的内心性质得到内心， ， ，然后利用圆周角定理
得到 ， ，利用三角形的外角性质证得 ，然后利用等
角对等边可得结论；
（3）过I分别作 ， ， ，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线
长定理得到 ， ， ，利用解直角三角形求得 ， ，进
而可求解．
【小问1详解】
解：∵ 是 的直径，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，
证明：连接 ，
32∵点I为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：过I分别作 ， ， ，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为 的内心，即为 的内切圆的圆心．
∴Q、F、P分别为该内切圆与 三边的切点，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
33∴ ，
∴ 的周长为
．
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形
的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答
的关键．
24. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， ， ，对
称轴为直线 ，将抛物线 绕点 旋转 后得到新抛物线 ，抛物线 与 轴交于点 ，顶点
为 ，对称轴为直线 ．
（1）分别求抛物线 和 的表达式；
（2）如图 ，点 的坐标为 ，动点 在直线 上，过点 作 轴与直线 交于点 ，连
接 ， ．求 的最小值；
（3）如图 ，点 的坐标为 ，动点 在抛物线 上，试探究是否存在点 ，使
34？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线 的表达式，求出其顶点坐标，由旋
转可知抛物线 的二次项系数 为原来的相反数，顶点坐标与抛物线 的顶点坐标关于原点对称，即可求
解；
（2）将点F向右平移2个单位至 ，则 ， ，过点D作直线 的对称点为 ，连接
， 则 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ， 则 ， ， 因 此
，即可求解；
（3）当点P在直线 右侧抛物线上时，可得 ，作H关于直线 的对称点 ，则点 在直线
上，可求直线 的表达式为 ，联立 ， 解得： 或 （舍），故
；当点P在直线 左侧抛物线上时，延长 交y轴于点N，作 的垂直平分线交 于点Q，
交y轴于点M，过点E作 轴于点K，则 ，可得 ，可证明出 ，由
，得 ，设 ，则 ， ，在
和 中，由勾股定理得 ，解得： 或 （舍），
35所以 ，可求直线 表达式为： ，联立 ，解得： 或
（舍），故 ．
【小问1详解】
解：设对称轴与x轴交于点G，
由题意得 ，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将A、B、C分别代入 ，
得： ，
解得： ，
∴ ，
36∴ ，顶点为
∵抛物线 绕点 旋转 后得到新抛物线 ，
∴抛物线 的 ，顶点为 ，
∴ 的表达式为： ，即
【小问2详解】
解：将点F向右平移2个单位至 ，则 ， ，过点D作直线 的对称点为 ，连接
，
∴ ，
∵ ，
∴直线 为直线 ，
∵ 轴，
∴ ，
对于抛物线 ，令 ，则 ，
∴ ，
37∵点D与点 关于直线 对称，
∴点 ，
∵ 轴， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
当点 三点共线时，取得最小值，
而 ，
∴ 的最小值为 ；
【小问3详解】
解：当点P在直线 右侧抛物线上时，如图：
∵抛物线 ，
∴
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
38作H关于直线 的对称点 ，则点 在直线 上，
∵点 的坐标为 ，直线 ： ，
∴ ，
设直线 的表达式为： ，
代入 ， ,
得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ，
联立 ，得： ，
解得： 或 （舍），
∴ ；
②当点P在直线 左侧抛物线上时，延长 交y轴于点N，作 的垂直平分线交 于点Q，交y轴于
点M，过点E作 轴于点K，则 ，如图：
39∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
由点
得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
40设 ，
∴ ， ，
在 和 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得： 或 （舍）
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 表达式为： ，
代入点N，E，
得： ，
解得：
∴直线 表达式为： ，
联立 ，
41得： ，
整理得：
解得： 或 （舍），
∴ ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求
最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握
知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
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