文档内容
真题汇总
一
2010-2019
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(A)/(1 ) = 0. (B) limf(x) = 0.
x-1
(C )f' ( 1 ) = 1. ( D) lim f' ( x) = 1.
x-1
( 2) i!l.J( u) nJ � , z = xyf ( : ) , ;ff x ;; + y ;; = y 2 (ln y - ln x) J!U ( )
( A )J(I ) = ; , f' (I ) = 0. ( B )/(1) = 0, f' (1) = ; .
( C )/(1) = ; ' f' (I) = 1. (D )/(1) = 0, f' (1) = 1.
(3) i!J.�3'tllx n f tWJE - ; � Xn �; ,JJ!U( )
(A) ;fflim cos(sin xJ Htf,JJ!tllim x Hi£.
n
n-1>00 n-oo
( B) ;fflim sin( cos xJ Hi£, JJ!Ulim x Hi£.
n
n---+oo n---+oo
(C ) ;fflim cos( sin xJ HtE,JJ!Ulim sin x HtE,f!=llim x �-JEHtE.
n n
n......-+00 n-oc n----J>oo
-- -- --
( D) ;fflim sin( cos x ) Htf, JJ!Ulim cos x Hi£, f!=llim x �-JEHtf.
n n n
l' l' l'
x ln (1 + x ) 2x
(4 ) -;('; -+.>- / 1 = O 2( 1 + COS X ) dx ,/ 2 = O 1 + COS X dx ,/ 3 = O 1 + Slll . X dx,JJ! U(
(C)/ < l < l , (D)/ < I < I .
1 3 z 3 2 i
(5) r3itl 41'"�f4i:r ,3 �mli$ A nJfflfp,txtffl1t�-1--1t:5t��&,��f4¾( >
( A)A � 3 1--�jP] a{J�filffl.
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(B)A � 31'-ttx*�tffilfPJ::I:.
( C)A � 31'-WilWil�'lix*a{JtffilfPJ::I:.
(D ) A � � r � F8'J tf filffi � �fil fPJ ::l:;i:§ 1Lil: 5':.
(6) i!l.A,B -jJ n �mli$,E -jJ n �1'ifilmli$,;ff1f�f].Ax = O -SJ Bx = O F8'.lflilf,JJ!U(
(A)(�
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= 0
A
,R��--
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= 0
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(7) ia_:a1 = (,\,l,l) ,a2 = (1,,\,l) ,a3 = (1,l,,\) ,a4 = (1,,\,,\ ) ,*a1,a2,a3 l§a 1 ,a 2,
a �111-,Intl,\ 1¥Ji&ffim:lll¾C )
4
(A)jo,11.
(B)j,\I ,\ ER,,\ �-21.
(C)j,\I ,\ ER,,\ �-1,,\ �-21.
I,\
(D)j,\ ER,,\ �-11.
( 8) ia:il.lf!t!IZ:lfll: X ijll,b\lKl'aJ ( 0 ,3) J:1¥J:f:5]�5t1!l, il.lf!fJL�:11: Y ijll,b(��j;J 2 1¥JrEJt't5t1!J ,Ji X 1§ Y
1¥]tf}jJ�jg - 1,Jiltl D(2X -Y + 1) = ( )
(A)l. (B)5. (C)9. (D)l2.
(9 )ia:il.lf!fJL�:11: x l ,X 2 , .. · ,X n J!.lt:fr.[P)5t;fp, liX 1 l¥J 4 Wi'�l=H'=ftE, E(X�) = µk ( k = 1 ,2 ,3 ,4), Jntl�ffl
I � � I�
tJJ tt�x��:rt . x -tffxt 8 > 0 ,iHf P{ X7 - µ 2 e } :s; ( )
( 10) ia:il.lf!flL�:11: X - N(O, 1), *tE X = x 1¥J�ftj:r, il.lf!flL�:11: Y - N(x, 1) ,JntlX 1§ Y 1¥Jffl:k*�
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(A) 4 · (B) 2·
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(11) rn�f(x,y) X + 2y tEi�(0,1) 5tti¥1:ll*nlPJ��-'j;J __
(12) f"' ln x dx = --
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(13) � X � O,y � 0 Bt,x 2 + y 2 :s; ke•+y •tgJi.lt:fr.,JilU k 1¥JJ!Rffim:llf¾_ _
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(16) ia: A,B ,C j;Jll.lf!f]Lfi:ftj:, Ji A 1§ B ][�ffl�,A 1§ C ][�ffl�,B 1§ C ffl][J!.it:fr.,P(A) =
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,Y1 'Y2 ' ... ,Ym 8 El9:i'i7d�f'&filrtt:I: 0,#>Jt D(O).
-4-2021年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、选择题(1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内•)
冶一1
工，在匸=0处( ).
(1)函数 )=
11, =0
(A)连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值
(C)可导且导数等于零 (D)可导且导数不为零
(2)设函数 f(x,y)可微，且yCz+l,e『)=工(工 +1)2』(工,工◎= 2x2\nx,则甘(1,1)=( ).
(A)dr + dy (B)djr 一 dy ((CC))d 旳_y (D) — dy
(3)设函数/(jr ) = “n ：在工=0处的3次泰勒多项式为ax +bx2 + cx\则( ).
1 + JC
7_ 1_
(A)a = 1 = 0 9C (B)a =1,6 = 0 9C
? ~6
7_ 7
(C)a = — \ ,h = — 1 ,c (D)a = — 1 ,b — — 1 ,c =—
6
(4)设函数/(工)在区间［0,1］上连续，则「/(工)山=( )•
J 0
丁)丄
1
(B)lim
”= ] ' 62? / 2, n ”一►8
(C)lim 丈 丄
(D)lim
”f 8 n
(5)设二次型 /(J7 1，工2,工 3)—(-T 1 + X ZY + (工2 + 工3) xxy的正惯性指数与负惯
性指数依次为( ).
(A)2,0 (B)l,l (02,1 (D)l,2
1 1\
(6)已知a, 0 ▼ a 2 9 (x 3 Pi = a i ,02 = a2 — kfii ,03 = a3 — liPi — 12卩2 ‘右 Pi，
2
1
卩2，03两两相交，则11丿2依次为( ).
/ A、5 1 小、5 1
⑷㊁盲 ⑻—㊁迈7）设A.B为"阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ）.
/A O \ /A AB\
(A)r 丁 =2r(A) (rB) 丁 丨=2厂(A )
\o ata/ 、O at/
/A BA \ (A O \
(C)r t ) = 2厂(A ) (Dr ) =2 心)
At/
8) 设为随机事件，且0 P(A), lilij P(A |B) > P(A)
(C) 若 P(A|B)>P(A | 巨)，则 P(A|B)>P(A)
(D) 若 P(A |A U B)> P(A |A U B),则 P(A) > P(B)
9) 设(X],YQ,(X2，Y2)，・・・，(X”，Y”)为来自总体N %, “2；屛，话；Q)的简单随机样本,
令 9 = —卩2、X = —X：,Y = — Y]Y{,0 = X — Y,则( ).
n ,=i " ,=1
2 | 2
(A)0是0的无偏估计,D(4 =空工上
（E）@不是0的无偏估计,D（@）= |〒2
n
（09是e的无偏估计，D（0） =6十—仟S
71
（D）<9不是0的无偏估计,DV） =6十几—
n
10） 设X|,X2，“・，X|6是来自总体N （〃，4）的简单随机样本，考虑假设检验问题:H。< 10,
：〃 > 10,①Q ）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W = ｛乂$11｝,其
— ]16 /
中X=u》X,,则〃 =11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）.
（A）l—①（0.5） （B）l -0（1）
（01-0（1. 5） （D）l—①（2）
:、填空题（11〜16小题，每小题5分，共30分•请将答案写在题中的横线上.）
「+8 djc
11） 1 9 . . . =
Jo jr2 + 2a: + 2
L2）设函数夕=》（工）由参数方程" +' + 1,"所确定，则冀|
b=4（t — 1疋 +/2 E 丨,=
0 -------------------------
〔3）欧拉方程x1 y" + xy' 一4夕=0满足条件_y（l） = l,j/（l） = 2的解为y =_____ .
-4）设艺为空间区域｛（工,y ,z） |j?2+4j/2<4,0 “”（工）的收敛域及和函数.
nkn + 1） ”=i
（19）（本题满分12分）
已知曲线二求°上的点到心坐标面距离的最大值•(20)(本题满分12分)
设D U便是有界单连通闭区域,/(D) = ]J(4 —* —犷)血旳取得最大值的积分区域为 £
(I )求KDj)的值;
((21) 本题满分12分)
r 1
已知 A = I 1 a — 1 .
1 - 1 a I
(I )求正交矩阵P,使得P AP为对角矩阵；
(II )求正定矩阵C,使得C? =(a +3)E — A.
(22)(本题满分12分)
在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为X,较长一段的长度
y
为Y,令Z=-.
(I )求X的概率密度；
(11 )求Z的概率密度；
(川)求 E(y).2020年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)
(1) 当工―o+时，下列无穷小量中最高阶的是(’).
(A)「(e，- l)dz (B) Kind+ 7^)^
J 0 Jo
rsin x Cl—cos jc ------------
(C) sin 厂 dr (D) v sin3Z dt
J 0 Jo
(2) 设函数fd)在区间(-1,1)内有定义，且=0,则( ).
(A) 当lim 了\工\ =0时,/(j?)在工=0处可导
L0 / h I
(B) 当lim心孕 =0时,/(x)在x =0处可导
L ° X
(C) 当/ (jc )在工=0处可导时，lim 仔" =0
/工 |
(D) 当f (j?)在久=0处可导时Jim ')=0
l0 x
(3) 设函数f (x ,y)在点(0,0)处可微,/(0,0) =0 ,n = ,学,一 1) (,非零向量a与"
垂直，则( ).
1 n •(鼻，y ,y)) \
(A) lim 存在
(工，，)->(0,0) J X 2 1 2
n ，夕 ,f a，夕))
(B) lim X ((0,0) J x 2
(D) lim 1 a X (JC 9)',f(j： ,j)) |•存在
(2”严收敛
“ =1 ” =1
5）若矩阵A经过初等列变换化成3,则（ ）.
（A） 存在矩阵P,使得PA =B
（B） 存在矩阵P,使得BP=A
（C） 存在矩阵P,使得PB =A
（D） 方程组AX =0与BX =0同解
一 y — b2 X — a3 y — b3
6）已知直线L] 7 a2 与直线L2 宁相交于-点,
5 b、 a2 b2
la>\
记向量 a, = b,d = 1,2,3,则（ ）.
（A）a1可由a2 .a3线性表示 （B）a2可由aj ,a3线性表示
（Oa3可由a】.a2线性表示 （D）a | ,a2 >a3线性无关
7)设2,C 为三个随机事件，且 P(A)=F(£)=P(C)= +，P(AE)=0,
= P（BC）=右，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为（ ）.
P(AC)=
( b 4 ( c4 ( d 4
8）设X] ,X2,-,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=O}=P{X=1}=*@Q）
log
表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得<55}的近似值为（ ）.
1 = 1
（A）l— ①（1） （B）0（1） （01-0（0. 2） （D）①（0.2）
:■、填空题（9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.）
1 ln(l +工)
j--*0 0z —
则d空2
10)设
y=ln(/ +丿厂十1 ), 山' 1
11)设函数 /(jt )满足严(乂)+ aff (jr ) + /(jr ) = 0(a > 0),且 /(0) = m (0)=刃9 则
「+8
/ ( jc ) djr = .
J 0
■乜，则r
12）设函数/（工q）=
djc c)y
0 (1,1)0 -1
（13）行列式
-1 0
（14） 设X服从区间（-y,y）上的均匀分布,Y = sin X,则Cov（X,Y） =________.
三、解答题（15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15） （本题满分10分）
求函数f （工,y）=工3 + 8j/3 — xy的极值.
（16） （本题满分10分）
计算曲线积分/=[ 超[笃血+ 务学曰夕，其中L是工$ + ；/=2,方向为逆时针方向.
J厶4_z 十夕 4工十夕
（17） （本题满分10分）
1 OO
设数列｛a” ｝满足:5 =1, G + l）a”+i = （" +刁）a”，证明：当|工| < 1时，幕级数工a”z"
乙
n = 1
收敛，并求其和函数.
（18） （本题满分10分）
设工为曲面z=ya-2+j/2（l < a：2 +^2 < 4）的下侧JQ）是连续函数，计算
) + 2工 一 Lyf(工夕)+ 2y + ]dzcLz + \_zf (^xy ) + djy.
（19）（本题满分10分）
设函数/■&）在区间[0,2]上具有连续导数,/（0）= f（2）= 0,M= max ｛ |/（x） | ｝，证明:
工€[0,2]
（I）存在e e（0,2）,使得|>m；
（n）若对任意的工e（0,2）, |厂（工）| wm,则m = o.（20）（本题满分11分）
设二次型/'（U2）=# — 4n +4云 经正交变换「1 ）化为二次型
\工2 / 也/
g（》i，夕2）=ay\ 十 4）*2 + by2 ,其中 a > b.
（I ）求a,b的值；
（n）求正交矩阵Q.
（21）（本题满分11分）
设A为2阶矩阵,P = （a ,Aa ），其中a是非零向量且不是A的特征向量.
（I ）证明P为可逆矩阵；
（fl ）若AF +Aa -6a =0,求P }AP,并判断A是否相似于对角矩阵.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X】,X2,X3相互独立，其中X］与X2均服从标准正态分布，Xs的概率分布为
P{X3 =0} = P{X3 =1} =1 y = x3x1 +（1-X3）X2.
（I ）求二维随机变量（X|,Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数①（工）表示；
（n）证明随机变量y服从标准正态分布.
（23）（本题满分11分）
设某元件的使用寿命T的分布函数为
) > 0,
FG = k
其他，
其中0 ,m为参数且大于零.
（I ）求概率 P{T >/}与 P{T > s+t I T>s},其中 s>0,/>0；
（H ）任取"个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为若加已知，求0
的最大似然估计值a.2019年全国硕士研究生招生考试试题
一 一
、选择题（本题共8小题，每小题4分 ，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目
要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(I)当 X ----+ 0时，若x - tan x与 X k 是同阶无穷小，则k = ( 、 丿
(A)l. (B)2. (C)3. (D)4.
(2)设函数f(x) = {
x l x l , x � O
＇则 X = 0是八x)的（ ）
xln x, x > 0,
(
(
A
C
)
)
可
可
导
导
点
点
，
，
极
非
值
极
点
值 点 ． （
( B
D
)
)
不
不
可
可
导
导
点
点
，
，
极
非
值
极
点
值 点
(3)设飞｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
� U n ( A ) In
= l
— ．
oo
n
( B ) 三 （ － l 丫 — 1 ．
n = l
oo oo
(1 L －三）． -正）． (C)� (D) (u!+i
u n 几 ＝ l
(4)设函数Q(x,y)＝兰．如果对上半平面(y > 0)内的任意有向光滑封闭曲线C都有
y
+
乎P(x,y)dx Q(x,y)dy = 0，那么函数P(x,y)可取为（ ）
X
2 2 - -
—l —x —l —l l
(A)y - �- (B) (C) (D)x - —.
y y y x y y
2 T
(5)设A是3阶实对称矩阵，E是 3阶单位矩阵．若A + A = 2E，且IAI= 4，则二次型x Ax的
规范形为（ ）
(A)yf +式＋Yi· (B)Y i + y; -Yi·
y; - y; -
(C)Y i - Yi· (D) -Yi - Yi·
(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
= =
ai1 x + ai2Y + ai3z d;(i l, 2, 3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A, 则（ ）
(
(
(
(
A
B
C
D
)
)
)
)
r
r
r
r
(
(
(
(
A
A
A
A
)
)
)
)
=
=
=
=
2
2
1
1
,
,
,
,
r
r
r
r
(
(
(
(
A
A
A
A
)
)
)
)
=
=
=
=
3
2
2
1
.
.
.
.
(7)设A, B为 随机事件 ， 则P(A) = P(B)的充分必要条件是（ ）
(A)P ( A U B) =P (A) +P ( B). (B)P (AB) =P (A)P ( B).
(C)P ( A B) = P( B A). (D)P (AB) = P( A B).
(8)设随机变量X与Y相互独立， 且都服从正态分布N(µ,矿）， 则PlIX -YI < 1 f ( )
(
(
A
C
)
)
与
与
µ
µ
无
， 矿
关
都
， 而
有
与
关
矿 有 关 ． （
(
B
D
)
)
与
与
µ
µ
有
, 矿
关
都
， 而
无
与
关
矿
．
无 关 ．
— —
1: *
9 )
9 )
8 (
: * : *
9 ) 9 )
9 ) 9 )
8 ( 8 (
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9 ) 9 )
9 ) 9 )
8 ( 8 (: * : *
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8 ( 8 ( 8 (: *
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9 ) 9 )
8 ( 8 (: *
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