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2004年数学（一）真题解析
一、填空题
（1） 【答案】夕=鼻—1.
【解】 设曲线y=ln_r上切点坐标为（a,Ina）.
因为x + y = 1的斜率为一1,所以切线的斜率为1.
令丄=1得a =1,切点为（1,0）,切线为y — Q —X 一1,即y —x — 1.
a
（2） 【答案】 y（ln^）2.
【解】 令e，=/，由y'（e’）=HeP,得十&）=巫，从而十（工）=肛.
t X
于是 ） = ^-（ln X ）2 +c\ 由 /（I） = 0 得 C =0,故 f{x ） =^-（ln x ）2.
乙 Ci
（3）【答案】 y.
【解】 方法一 令A（V2 ,0） ,B（0,V2 ）,则
x dy 一 = ) — —jc dy 一 2』dr + _jc dy 一 一 _x dy — 2ydj?,
L+BO+OA
*OB、
I O—A
] 3tt
_ _x dy 一 2ydx = 3jJ djr d.y = 3 X — X 2tt =—
L+ BO+ OA D
_x dy 一 2y dx = 0 , _x dy 一 2j/djr = 0 ,
OB OA
于是 f J-dj/ — 2_ycLz =夢.
L
X =V2 COS 0，/ . 7T \
方法二 令 起点0=0,终点&=-)，则
y =V2_sin 0 /
>_n
x dy — 2y(\jc = 2 (施cos 0 •施cos 9 + 2施sin 9 • V^sin 0)d0
0
[2 (1 + sin2 <9 )d0 3tc
2 7T + 212
J 0
C 「
（4）【答案】 y = ' ~\—|(C19C2为任意常数).
【解】 令工=*,则工2 ^=D(D—l)y = 當一学，工学=Dy =字,
dr dt dt dx d/
代入原方程得■y* + 3 -p- + 2y = 0,通解为 y = Ci e_( + C2e~z，,
dr df
c c
故原方程的通解为y = -^ + -^(C1,C2为任意常数).(5)【答案】 y.
【解】|A I =3,在 ABA * =213 A* +E 两边右乘 A,得 3AB =6B +A 或 3(A—2E)B=A,
于是33 | A - 2E 1- \B\= |A|.
1° 1 ° \ 1
而 A — 2E = 1 0 0 , |A -2E | = 1,故 1 B | =—
— J
0
方法点评：本题考查由矩阵关系等式确定的矩阵的行列式.
本题的关键是要应用公式AA* -A*A = |A\E.
(6)【答案】-
e
【解】由X〜E(A )，得D(X)专，且其分布函数为FQ )= 0,
1 -广
于是 P{X > yDQO} =p{x > yj=l-p{xo+ mxm lo+z 4
于是7---- ■x2
4
故无穷小量从低阶到高阶的次序为« * ,0,应选(B).
cos i2 d?
方法二 因为lim * = lim J 0 lim cos .士 x _ 2 = -[-oo ,
H->o+ P o+ tanT? dt o+ tan x
J 0
tanT^ dt
lim — = lim J 0 lim n— 2jc tan :- - x - -- =°八’
r->0+ y J--*O+ sin t 3 dt r->0+ -------• sin x
J 0 2 77
r/r
—-—• sin x \l~x
sin t 3 dt
' o 2 J~x
lim — = lim lim 0,
«r-*o+ a h_o+ cos t2 dt r-^0"^ cos x2
0
所以无穷小量的阶数从低阶到高阶的次序为―丫心应选(B).方法三 由 t 0+ 时，cos 厂 f 1,tanTT ~ 4t ,sin t3 ~ t"得
a ~ 「乂 ]d/=_z,p 〜| 4 — t dt = — 2 t 丄 2 | o 2 — — 9 -^3 * 〜 W| t3dt — — 1 j?2 ,
J o J o o o Jo 4
显然无穷小量从低阶到高阶的次序为a,J0,应选(B).
方法点评：本题考查无穷小量阶数的比较.判断无穷小量的阶数有如下几种常用的方法:
(1) 等价无穷小•如：\/1 + 2 — 1〜—X 2 ;
、 「 工3 1 1
(2) 麦克劳林公式.如：力 —sin x —x 一 x — ------o (jc 3) 〜 —x ° ；
tan x2
ljc •
tan t . a x2 2x
(3)待定阶数法.如:a dr 9 lim - lim \ ~~ lim ?■，
0 l 丄-*o x mx 工-*o mx
得加一1=1.9艮卩加=2,得a ~ x2
(8)【答案】(C).
【解】 根据导数的定义,/\0) = Hm fC® > 0.
丁 x
-*o
由极限保号性，存在& >0,当0 V |工| V &时, 4 上』( 0) 〉0.
X
于是当攵 e (—5,0)时，/(工)/(0),应选(C).
方法点评：本题考查极限保号性的应用.函数在一点导数大于(小于)零与函数在一个区
间内大于(小于)零是不同的，需要作如下补充说明：
(1)函数在一点导数大于(小于)零的情形
若/(«)>0,由导数的定义，y'(a)= lim公王上二仏2 >0,由极限的保号性，存在5〉0,
x-^a X Cl
. , ..,f (工)一f(a) 十 e 亠MdV/a)， x Ca — 8 ,a),
当0 V|z—a |V5时，......... ..>0,于是有( 但/ (工)
工一a \f(x) > /(a), HW(a,a+&),
在工=a的去心邻域内不一定单调增加；
若/(«)<0,由导数的定义,f\a)= 1曲"°)二八")V0,由极限的保号性，存在5>0,
x~~^a JC CL
, , , ,f (x ) — f (a ) 口亠x G (a — 8 9
当 0 V|z—a |V5 时 9------------------- 0 ,
z-*0 x x-*0 \ 2 x f 2
当"HO 时，_TQ)=》+ 2_zcos+ + sin£,] =号>0/ ]
因为厂 =— V 0,所以ff(J；)在z =0的去心邻域
2”兀十守 2n 7r----—
内不保正号，/'(工)在z = 0的邻域内不单调.
(2)若f' (jc )在x =a的去心邻域内保正号或负号，则/'(工)在x =a的去心邻域内单调
增加或单调减少.
(9)【答案】(E).
【解】 方法一 取a” = 」丄 、，显然lim“a”=C),但级数》a” = £〕】丄、发
1 1
nln(n + 1) 铝 铝 n ln(7? + 1)
散，(A)不对；
取 a” =A，级数工 a” =工 ~T 收敛，但 limn'a” = lim 4n = + °°,(C)不对；
v . 1 V n-*°° n-*°°
n2 "" n = 1 n2
取a”= 级数工a”= 工 、发散，但= +°°,(D)不对，应选(B).
i / [ i / [ 1
ln(” + l) 铝 铝 InS 十 1)
”~8
方法二 设limnan =A >0,取e()=刍>0,因为\\vanan =A ,所以存在N,当">N时’
n-*oo / n-*oo
\na„ — A I < £，于是"a” > ■或 a” >
oo OO
而Y \发散，由正项级数的比较审敛法得»”发散.应选(B).
n = l 加 n = l
(10) 【答案】(E).
【解】方法一交换积分次序，得
F(/)=[ dj I /' (jr ) d = I djr I f (a:) dy = | (工一1)/(jc )dj?,
JlJy J1J1 Jl
F'(t)=(t — 则 F'(2) =(2 — 1)于(2) =/(2),应选(E).
方法二 令 G(_z) =f7&)ck,则
F (t) = f dy f /(jc )dj? = [ [G(t) — G (3/) ] dj/
J 1 J y J 1
=(t 一1)G(/) — j" G(3/)dj;,
F'd) =G(/) + (/ — 1)G'&) —GQ) =(/ 一 1)/0),于是 F'(2) = /(2),应选(E).
(11) 【答案】(D).
【解】由初等变换的定义，得
/° 1 °\ I1 0 0
B =A\1 0 0 , C 0 1 1
'0
0 '0 0 1
/° 1 °\ I1 0 °\
于是C—A 1 0 11 1 •
'o
0 0/° 1 °\ /■ 0 0\ 0 1 b
故 Q = [ 1 0 d 1 1 1 0 0 ,应选(D).
'o J 'o J
0 0 0 0 F
(12)【答案】(A).
【解】方法一 设 为m Xn矩阵， 为n X 5矩阵.
A B
由 = O.得 r(A) +r(B)< n.
AB
因为A.B为非零矩阵，所以r(A) > l,r(B) > 1,于是r(A) ua } = a，得h ="匕，应选(C).
(14) 【答案】(A).
【解】Cov(Xi ,y)=— [Cov(Xi ,XJ +Cov(X] ,X2) -------Cov(Xi ,X”)],
11
因为 X] ,X2,…，X” 相互独立，所以 Cov(X| ,X,) =0(： =2,3, •••,”)，
i 2
于是 Cov(Xi ,y)=—DCXJ =—,应选(A).
n n
方法点评:随机变量数字特征计算中要熟练掌握如下几个性质：
(1) 若x,y相互独立，则Cov(x,y)=o；
— — 1
(2) 若X-X2,…，X”是总体X的简单随机样本，则E(X) =E(X),D(X) =—D(X).
n三、解答题
（15）【证明】方法一辅助函数法（单调性）
4 4
ln2b - ln2a > —（b~a）等价于In26 - \n2a ~—（b ~a） > 0,
e e
4
令/*(2)= x 一 a-----(jc 一 q )9 /(a) = 0.
e
厂Q)=坐上—*，因为f\x ) =2(1~^-— < 0(^ >e),所以当工>6时，十(工)单
x e x
调减少.
[( e2 } = 0
由 ， 得 e),
4
eVa 刍⑴一a ）等价于 『
_ l a >
e b — a e
如21 n 兰t' ，由微分中值定理得
令 ） = \n x，厂（工）
X
\n b 一 a 21n c 心亠 厂/ . x
—:------- =-----，其中c e （a』）・
b 一 a c
令卩（工）=如£，因为卩'（工）=
2（1［
『£）<0（工>e）,所以卩（工）在（e,e2）内单调减
X 2
.„ / 2、 4 □ =2111 c、4 Htlb — \n a 4
少且®(e2)=飞，从而---- > 右，即一:-------->
r e c e b —a e
(16)[解】 方法一 设飞机着陆时/=0,从着陆开始的/时刻飞机速度为 W
dz?
m — = — kv 9
由牛顿第二定律得F阻=ma 9由题意得 dt
v(0) =700.
由 m 婁=一局，得 m • ~r~ = 一局 9 即 m dv = 一k djr 9 积分得 mv = —kx + C.
df dr df
由 77(0) = 700 , j? (0) = 0,得 C = 700m 9 于是 z = -^-(700 — v)m ,
k
取u = 0得工=------7- X 700 X 9 000 = 1. 05 （km）,即飞机从着陆到停止最长可以滑行
6 X 106
1. 05千米.
方法二 设从着陆（/ = 0）开始t时刻飞机滑行的速度为◎（/）,根据题意得
［氏
m — = 一 kv ,
』dt
［讥0） =700.
由m竽=—如得字+ 化 =0,解得讥/） =Ce_M ,
dt at m
_k_
由 讥0） = 700 得 C =700,于是 u（t） = 700e "・故飞机滑行的最大距离为
「+
oo
s = J 讥 t)dt =700
700/z? + n 警『⑴ 7°A° 〃=l.O5(km).
k 0 k k
(17)【解】 补充20：z =O(jt2 +j/2 < 1),取下侧，
)23 dy dz + 2y3dzdj： + 3(z2 —1) dr djy 9
由高斯公式得
# 2j? 3 dy dz + 2y3 dz dr +3(/ — 1) dj? dj/ = 6 [[[ ( jt 2 + y2 + z ) du 9
*0 Q
=6£dz f 6「ck ‘2 兀 C /TT
x 2 + y2 -dy d6) r(r2 + z )dr
J 0 0 J 0
—n)? N(1 — N )
12tc dz 3k (1一 z2 )dz = 2tt ,
~4 2_
J o
而』3dj;dz + 3 dzda： + 3(z2 — 1)djr dj/ = — 3 H djc dy 3JJ dj? dy = 3?r,
工0 工0 D
故』2工3 dj/dz + 23/3 dzdj? + 3 (z? 一 1)dx dy = 2兀 一 3兀=—兀・
(18)［证明】 令/(工)=工"+处一1, /(0) =-1, /(I) =//.
因为/(0)/(1)<0,所以由零点定理，存在工” e (0,1),使得yQ”)=o,即方程
工"+ nx 一 1=0有正根
因为f'O= + 72〉0(工> 0),所以_/(工)在［0, + °°)上单调增加，
故xn + nx — \ — 0存在唯一的正根xn.
由疋+ nx „ 一1=0得OVz” =丄(1—工；：)<丄，于是OV_z爲 < 丄.
n n
Tl
因为« > 1时工；丄收敛，所以由正项级数的比较审敛法得工疋 收敛.
71=1 小n “ = i
(19)［解】方法一 x2 一 6乂；y + IO3;2 一 2yz 一 + 18 = 0 两边对 x 求偏导,
得2工一6y —2y J —2z J=0,解得字=—也；
ox djc y ~r z
x2 一 ^xy + 10j/2 一 2yz 一 n? + 18=0 两边对 y 求偏导 9
字一2z字=0,解得字_ —航+10y_z
得 一 6工 + 20』一 2z 一 2y
dy dy dy y + z
dz x 一 3y 小
-T = 0，
dx 夕十N ;:或 x = 一 9 ,
由』 得
竺 —3x + 10jy — z y = — 3.
0,
3y y + n
当(工9?)=(9,3)时 9
z _ 1 B-入 1 32 z __5
c =
6， dy (9,3) 2 ^y2 ~~3
(9,3) (9,3)因为AC — B2 =-^~ 0且A〉0,所以当（工，》）=（9,3）时，函数z = f （工）取极小值
36
/ (9,3) =3；
当(_r ,y) = (一 9 , 一 3)时，
” 几 1 52 z 1 a2z
A =----- =----- B C
卅(_9._3) 6 0工dy 2
(-9,-3) (-9,-3)
因为AC-B2=^-> 0且A <0,所以当（工，夕）=（—9,—3）时，函数,夕）取极
36
大值/(—9, —3) = —3.
方法二 令 F(a* ^z) =x2 — 6xy + 10^2 - 2yz — z2 + 18,
Ffr = 2工 一 6y ^Fy = 一 6乂 + 20j/ 一 2n 9F； = 一 2y 一 2z ,
F； e — 3』_
— 0 9
—• ~r —
3x Fz y + n
由 J F； — 3x + 10』一n 得y) =(9^3 )或()=( — 9 — 3).
； 0 9
----------------------T == --------------------
Fz y + n
x2 — 6jcj/ + 10j/2 — 2yz — z? + 18=0?
立 | =丄,B - I =_ 丄,C=±| 2
当(工 Q)=(9,3)时 9A I
dx 2 I(9,3) 6 ' djc 3 y I
(9.3)
2 3 y2 I
(9,3)
由AC-B2=丄且A >0得（H ,y） = （9,3）为函数z= ,》）的极小值点，极小值为3；
36
当（工，夕）=（一9,—3）时.
a2z 丄 32z
A (-9,-3) B = 3jc dy (-9.-3) I (—9,—3) 3
由 ac-b2=^-且A V
0 得(《z 9夕)=(—9, —3) z =z（x ,y）的极大值点，极大
36
值为一3.
（20）【解】 方法一
1+(2 1 1 1 1 ・•• 1
2 2 + a 2 ?7 (z? + 1) 2 2 a •• 2
|A Q十 c
: 2
n n n a n 71 ・•• 九十a
1 72(77 + 1 )
n—1
"+ 2
当a = 0或a =— J 时，方程组有非零解.
，1 1 … 1 '
0 0 •… 0
当a=0时，由A — 得方程组的通解为
0 0 •… 0-r r- r
-1
i 0 0
X =C\ 0 + C2 1 H-----+ C”_i 0 （C】，C2,…，C”T为任意常数）;
0 . 0 . 1 .
n (n + 1)
当
1+a 1 ••• 1 "1+a 1・•• 1
2 2 + a ••• 2 —2a a ・•• 0
由A = ―A
:
n n ••• n a 一 na 0 . • a
f- 2 1 0 … 0
1 +a 1 1〕
-3 0 1 … 0
—2 1 0
一 n 0 0 … 1
一 n 0 1
I 0 0 0 … 0
,1
原方程组的通解为x=c 2
（C为任意常数）.
I n
方法二
,n (n + 1) ,?? (/? + 1 ) n (zz + 1)
'1+a 1 1 a a ------------- ••・ a -\-------------
2 2 2
2 2 + a 2
A = —A 2 2 + Q ・•• 2
n 兀+ Q ,
n n ・•• 兀 + a
当a +必孚 =0,即a 由r（A）=n-l 1,
（23）【解】（I ）总体X的密度函数为；0）=
10, •r W 1,
E(X)=
»+8
JC f {x ；P)cLz =/?J
「-|~°° 2山=旦
丿 B — 1'
令E（X） =X,BP-^-=X,得/?的矩估计量为p
p — 1 x -1'
（n）似然函数为
L（JC
1
山
2
9 ，工”仞==/（□?］，仔）_/'（工
2，“）…
/'（工”，“）
=0"（工 1 工 2 …S） 一鬥,（工：〉1 , i =1,2,…，"），
取对数得 In L = n\n 0 — (/? + l)£ln x,,
i = 1
由畔=£— fl"厂=0,得”的最大似然估计值为p n
9 p i=i
工In ,
:=1
B的最大似然估计量为“=一一
SlnX,
:=1
