(2.3.18)--高数-第七章常微分方程._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

更懂考研，更懂你
第七章 常微分方程章节测试答案
一．选择题，每题 5 分，共 25 分.
1.设线性无关的函数y ,y ,y 都是二阶非齐次线性方程y'' p  x  y'q  x  y  f  x 
1 2 3
的特解，C ,C 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）
1 2
A.C y C y  y . B.C y C y  C C  y .
1 1 2 2 3 1 1 2 2 1 2 3
C.C y C y  1C C  y . D.C y C y  1C C  y .
1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 2 1 2 3
【答案】D
【解析】由于D中的yC y C y  1C C  y C  y  y C  y  y  y ，
1 1 2 2 1 2 3 1 1 3 2 2 3 3
其中 y  y 和 y  y 是对应的齐次方程的两个特解，且 y  y 与 y  y 线性无关.
1 3 2 3 1 3 2 3
事实上若令A  y  y B  y  y 0,即Ay By  AB  y 0.
1 3 2 3 1 2 3
由于 y ,y ,y 线性无关，则A0,B0, AB 0.因此y  y 与y  y 线性无关.
1 2 3 1 3 2 3
又 y 是原方程的一个特解，故y C y C y  1C C  y 是原方程通解.
3 1 1 2 2 1 2 3
2.微分方程 y'' y ex 1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）（ ）
A.aex b. B.axex b. C.aex bx. D.axex bx.
【答案】B
【解析】 y'' y ex 1的特解应为方程y'' y ex和y'' y 1的特解之和，而特征
方程为r2 10，解得r 1.因此y'' y ex的特解应为y* axex,y'' y 1的特解
1
应为 y* b.则原方程特解应具有形式y*axex b.
2
内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你
x y  x   x
3.已知 y 是微分方程 y 
 
的解，则
 
的表达式为（ ）
lnx x  y  y
y2 y2 x2 x2
A. B. C. D.
x2 x2 y2 y2
【答案】A
x lnx1
【解析】【解法1】由y  得y ，
lnx ln2 x
x2
代入微分方程得 lnx1  1    x   ，则   x   1  ln2 x  y2 .
ln2 x lnx  y   y ln2 x x2 x2
y
【解法2】令 u，则yuxu，代入微分方程得
x
1 1 1 1
uxuu   ， du  dx，故lnx  du.
u 1 x 1
 
   
u u
x 1 x 1
而 y  是微分方程的解，从而 du   ，
lnx 1 y u

 
u
1  x y2
两边求导有   u2，即    .
u  y x2
4.若 y   1x22  1x2 ， y   1x22  1x2 是微分方程 y p  x  y q  x 的
两个解，则q  x （ ）
    x x
A.3x 1x2 B.3x 1 x2 C. D.
1 x2 1x2
【答案】A
【解析】由题设及线性微分方程解的叠加原理可知， y  1x2 是齐次线性微分
方程 y p  x  y 0的解，所以 p  x  y  x .又因为 y   1x2 2 是微分方
y 1 x2
程 y p  x  y q  x 的解，所以q  x  y p  x  y3x  1x2  ，故选（A）.
内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你
5.下列微分方程中，以 yCexC cos  2x C sin  2x  （C ,C ,C 为任意常数）
1 2 3 1 2 3
为通解的是（ ）
A. y''' y''4y'4y  0. B. y''' y''4y'4y  0.
C. y''' y''4y'4y  0. D. y''' y''4y'4y  0.
【答案】D
【解析】根据条件，由通解的形式可以看出此微分方程的三个特征根分别为
1,2i,2i,所以它的特征方程为 r1  r2 4  r3r2 4r40,
从而可知该微分方程是 y''' y'' 4y' 4y  0. 即选项D是正确的.
二．填空题，每题 5 分，共 25 分.
6.  1 y2  dx2xydy 0  x0 满足y  1 0的特解为_________.
【答案】x1 y2
【解析】由 1 y2  dx2xydy 0得 2y dy  dx ，
1 y2 x
两边积分得ln  1 y2  lnxlnC ，即1 y2 Cx ，由y  1 0得C 1，即x1 y2.
dy 1
7.微分方程  的通解为________.
dx 2x y2
1 1 1
【答案】x y2 y Ce2y（C为任意常数）
2 2 4
dy 1 dx
【解析】由  得 2x y2，
dx 2x y2 dy
则通解为:x

y2e
2dy
dyC

e
2dy


y2e2ydyC

e2y
 
内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你
1 1 1
 y2 y Ce2y(C为任意常数).
2 2 4
8.连续函数 f  x 满足 f  x 3 x f  xt  dt2，则 f  x ________.
0
【答案】2e3x
【解析】由 x f  xt  dt x  tu  0 f  u du  x f  u  du
0 x 0
得 f  x 3 x f  u  du2，两边对x求导得 f x 3f  x 0，
0
解得 f  x Ce 3dx Ce3x，取x0得 f  0 2，则C 2，故 f  x 2e3x.
9.设微分方程 y3yay 5ex的特解形式为Axex，则其通解为_________.
【答案】 y Cex C e4x xex（C ，C 为任意常数）.
1 2 1 2
【解析】因为方程有特解Axex，所以1为特征根，即
1 2 31 a0 a4，所以特征方程为2 340 1, 4，
1 2
齐次方程 y3yay 0的通解为:y Cex C e4x，再把Axex代入原方程得
1 2
A1，故原方程的通解为:y Cex C e4x xex(C ,C 为任意常数).
1 2 1 2
10.设 y 2xe3x是二阶常系数齐次线性微分方程yayby0的一个解，函数
0

y  x 是该方程满足条件y  0 2,y 0 5的解，则 y  x  dx ________.
0
7
【答案】
9
【解析】因为2xe3x是方程yayby  0的一个解，
所以r 3是二重特征根，因此原方程的通解为:y  C xC  e3x.
1 2
由初始条件 y  0 2,y 0 5，解得C 1,C 2，所以y  x  x2  e3x，
1 2
内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你

  1 1  2 1 7
因此 y  x  dx   x2  e3xdx   x2  e3x   e3xdx    .
0 0 3 3 0 3 9 9
0
三．解答题，每题 10 分，共 50 分.
11.已知y  x 1x2 与y  x 1x2 为方程yP  x  y Q  x 的两个解，求
1 2
P

x
，Q 
x
.
x 1
【答案】P  x  ；Q  x 
1x2 1x2
【解析】 y  y  2 1x2 为方程yP  x  y  0的解，代入得
2 1
2x x
P  x 2 1x2 0，解得:P  x  ;
1x2 1x2
y  y x x2 1
又 1 2  x为方程y y Q  x 的解，代入解得:Q  x 1  .
2 1x2 1x2 1x2
dy
12.（1）求 1x y2xy2的通解.
dx
1
（2）求微分方程xy2y  xlnx满足初始条件y  1  的特解.
9
1
（3）求微分方程 y2xy2 0满足初始条件 y  0 1,y 0  的特解.
2
1
【答案】（1）arctan y  x x2C.
2
x x
（2） y  lnx
3 9
1 x 2
（3） y  ln 1
2 2 x 2
【解析】（1）由 dy 1x y2xy2，得 dy  1 x  1 y2 ，
dx dx
dy 1
分离变量得  1 x  dx.两边积分，得通解为arctan y  x x2C.
1 y2 2
内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你
dy 2
（2）将方程xy2y  xlnx转化为  ylnx，则原方程的通解为:
dx x
 2 dx  2 dx   1 x x C
y lnxe x dxCe x  x2lnxdxC   lnx  ，
  x2 3 9 x2
1 x x
由 y  1  得C 0，故满足初始条件的特解为:y  lnx .
9 3 9
dp dp
（3）令 y p，则 y ，将原方程转化为 2xp2 0，因为 p 0，
dx dx
dp 1
所以分离变量得:  2xdx，两边积分得  x2 C .
p2 p 1
1 dy 1 1 x 2
由 y 0  得C 2，即  ，积分得y  ln C ，
2 1 dx x2 2 2 2 x 2 2
1 x 2
再由 y  0 1得C 1，原方程满足初始条件的特解为:y  ln 1.
2 2 2 x 2
13.求微分方程 y2y3y e3x的通解.
1
【答案】 y Ce3x C ex  xe3x （C ，C 为任意常数）
1 2 4 1 2
【解析】特征方程为2 230，特征根为 3, 1.
1 2
y2y3y 0的通解为y Ce3x C ex.令 y  x axe3x，代入原方程，得
1 2 0
1 1
a  ，故原方程的通解为y Ce3x C ex  xe3x ，(C ,C 为任意常数)
4 1 2 4 1 2
14.求微分方程 y4y4y eax的通解.
【解析】特征方程为2 440，特征根为  2，
1 2
原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y  C C x  e2x.
1 2
(1)当a  2时，因为a不是特征根，
1
所以设原方程的特解为 y  x  Aeax，代入原方程得A ，
0  a2 2
内部资料，翻印必究 6更懂考研，更懂你
1
则原方程的通解为:y  C C x  e2x eax(C ,C 为任意常数);
1 2  a2 2 1 2
(2)当a 2时，因为a 2为二重特征根，
1
所以设原方程的特解为 y  x  Ax2e2x，代入原方程得A ，
0 2
1
则原方程的通解为:y  C C x  e2x x2e2x(C ,C 为任意常数).
1 2 2 1 2
15.求微分方程 y y  xcosx的通解.
1
【答案】 y C cosxC sinxx xsinx （C ，C 为任意常数）
1 2 2 1 2
【解析】特征方程为2 10，特征根为 i，
1,2
y y 0的通解为y C cosxC sinx .
1 2
 y y  x,  1 
令

 y y cosx,  2 
显然，方程(1)有特解y  x  x，
1
1
令方程(2)的特解为y  x  x  acosxbsinx ，代入方程(2)，得a 0,b ，
2 2
1
故原方程的通解为 y C cosxC sinxx xsinx ，(C ,C 为任意常数).
1 2 2 1 2
内部资料，翻印必究 7