(2.3.18)--高数-第七章常微分方程._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

更懂考研，更懂你 第七章 常微分方程章节测试答案 一．选择题，每题 5 分，共 25 分. 1.设线性无关的函数y ,y ,y 都是二阶非齐次线性方程y'' p  x  y'q  x  y  f  x  1 2 3 的特解，C ,C 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ） 1 2 A.C y C y  y . B.C y C y  C C  y . 1 1 2 2 3 1 1 2 2 1 2 3 C.C y C y  1C C  y . D.C y C y  1C C  y . 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 2 1 2 3 【答案】D 【解析】由于D中的yC y C y  1C C  y C  y  y C  y  y  y ， 1 1 2 2 1 2 3 1 1 3 2 2 3 3 其中 y  y 和 y  y 是对应的齐次方程的两个特解，且 y  y 与 y  y 线性无关. 1 3 2 3 1 3 2 3 事实上若令A  y  y B  y  y 0,即Ay By  AB  y 0. 1 3 2 3 1 2 3 由于 y ,y ,y 线性无关，则A0,B0, AB 0.因此y  y 与y  y 线性无关. 1 2 3 1 3 2 3 又 y 是原方程的一个特解，故y C y C y  1C C  y 是原方程通解. 3 1 1 2 2 1 2 3 2.微分方程 y'' y ex 1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）（ ） A.aex b. B.axex b. C.aex bx. D.axex bx. 【答案】B 【解析】 y'' y ex 1的特解应为方程y'' y ex和y'' y 1的特解之和，而特征 方程为r2 10，解得r 1.因此y'' y ex的特解应为y* axex,y'' y 1的特解 1 应为 y* b.则原方程特解应具有形式y*axex b. 2 内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你 x y  x   x 3.已知 y 是微分方程 y    的解，则   的表达式为（ ） lnx x  y  y y2 y2 x2 x2 A. B. C. D. x2 x2 y2 y2 【答案】A x lnx1 【解析】【解法1】由y  得y ， lnx ln2 x x2 代入微分方程得 lnx1  1    x   ，则   x   1  ln2 x  y2 . ln2 x lnx  y   y ln2 x x2 x2 y 【解法2】令 u，则yuxu，代入微分方程得 x 1 1 1 1 uxuu   ， du  dx，故lnx  du. u 1 x 1       u u x 1 x 1 而 y  是微分方程的解，从而 du   ， lnx 1 y u    u 1  x y2 两边求导有   u2，即    . u  y x2 4.若 y   1x22  1x2 ， y   1x22  1x2 是微分方程 y p  x  y q  x 的 两个解，则q  x （ ）     x x A.3x 1x2 B.3x 1 x2 C. D. 1 x2 1x2 【答案】A 【解析】由题设及线性微分方程解的叠加原理可知， y  1x2 是齐次线性微分 方程 y p  x  y 0的解，所以 p  x  y  x .又因为 y   1x2 2 是微分方 y 1 x2 程 y p  x  y q  x 的解，所以q  x  y p  x  y3x  1x2  ，故选（A）. 内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你 5.下列微分方程中，以 yCexC cos  2x C sin  2x  （C ,C ,C 为任意常数） 1 2 3 1 2 3 为通解的是（ ） A. y''' y''4y'4y  0. B. y''' y''4y'4y  0. C. y''' y''4y'4y  0. D. y''' y''4y'4y  0. 【答案】D 【解析】根据条件，由通解的形式可以看出此微分方程的三个特征根分别为 1,2i,2i,所以它的特征方程为 r1  r2 4  r3r2 4r40, 从而可知该微分方程是 y''' y'' 4y' 4y  0. 即选项D是正确的. 二．填空题，每题 5 分，共 25 分. 6.  1 y2  dx2xydy 0  x0 满足y  1 0的特解为_________. 【答案】x1 y2 【解析】由 1 y2  dx2xydy 0得 2y dy  dx ， 1 y2 x 两边积分得ln  1 y2  lnxlnC ，即1 y2 Cx ，由y  1 0得C 1，即x1 y2. dy 1 7.微分方程  的通解为________. dx 2x y2 1 1 1 【答案】x y2 y Ce2y（C为任意常数） 2 2 4 dy 1 dx 【解析】由  得 2x y2， dx 2x y2 dy 则通解为:x  y2e 2dy dyC  e 2dy   y2e2ydyC  e2y   内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你 1 1 1  y2 y Ce2y(C为任意常数). 2 2 4 8.连续函数 f  x 满足 f  x 3 x f  xt  dt2，则 f  x ________. 0 【答案】2e3x 【解析】由 x f  xt  dt x  tu  0 f  u du  x f  u  du 0 x 0 得 f  x 3 x f  u  du2，两边对x求导得 f x 3f  x 0， 0 解得 f  x Ce 3dx Ce3x，取x0得 f  0 2，则C 2，故 f  x 2e3x. 9.设微分方程 y3yay 5ex的特解形式为Axex，则其通解为_________. 【答案】 y Cex C e4x xex（C ，C 为任意常数）. 1 2 1 2 【解析】因为方程有特解Axex，所以1为特征根，即 1 2 31 a0 a4，所以特征方程为2 340 1, 4， 1 2 齐次方程 y3yay 0的通解为:y Cex C e4x，再把Axex代入原方程得 1 2 A1，故原方程的通解为:y Cex C e4x xex(C ,C 为任意常数). 1 2 1 2 10.设 y 2xe3x是二阶常系数齐次线性微分方程yayby0的一个解，函数 0  y  x 是该方程满足条件y  0 2,y 0 5的解，则 y  x  dx ________. 0 7 【答案】 9 【解析】因为2xe3x是方程yayby  0的一个解， 所以r 3是二重特征根，因此原方程的通解为:y  C xC  e3x. 1 2 由初始条件 y  0 2,y 0 5，解得C 1,C 2，所以y  x  x2  e3x， 1 2 内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你    1 1  2 1 7 因此 y  x  dx   x2  e3xdx   x2  e3x   e3xdx    . 0 0 3 3 0 3 9 9 0 三．解答题，每题 10 分，共 50 分. 11.已知y  x 1x2 与y  x 1x2 为方程yP  x  y Q  x 的两个解，求 1 2 P  x ，Q  x . x 1 【答案】P  x  ；Q  x  1x2 1x2 【解析】 y  y  2 1x2 为方程yP  x  y  0的解，代入得 2 1 2x x P  x 2 1x2 0，解得:P  x  ; 1x2 1x2 y  y x x2 1 又 1 2  x为方程y y Q  x 的解，代入解得:Q  x 1  . 2 1x2 1x2 1x2 dy 12.（1）求 1x y2xy2的通解. dx 1 （2）求微分方程xy2y  xlnx满足初始条件y  1  的特解. 9 1 （3）求微分方程 y2xy2 0满足初始条件 y  0 1,y 0  的特解. 2 1 【答案】（1）arctan y  x x2C. 2 x x （2） y  lnx 3 9 1 x 2 （3） y  ln 1 2 2 x 2 【解析】（1）由 dy 1x y2xy2，得 dy  1 x  1 y2 ， dx dx dy 1 分离变量得  1 x  dx.两边积分，得通解为arctan y  x x2C. 1 y2 2 内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你 dy 2 （2）将方程xy2y  xlnx转化为  ylnx，则原方程的通解为: dx x  2 dx  2 dx   1 x x C y lnxe x dxCe x  x2lnxdxC   lnx  ，   x2 3 9 x2 1 x x 由 y  1  得C 0，故满足初始条件的特解为:y  lnx . 9 3 9 dp dp （3）令 y p，则 y ，将原方程转化为 2xp2 0，因为 p 0， dx dx dp 1 所以分离变量得:  2xdx，两边积分得  x2 C . p2 p 1 1 dy 1 1 x 2 由 y 0  得C 2，即  ，积分得y  ln C ， 2 1 dx x2 2 2 2 x 2 2 1 x 2 再由 y  0 1得C 1，原方程满足初始条件的特解为:y  ln 1. 2 2 2 x 2 13.求微分方程 y2y3y e3x的通解. 1 【答案】 y Ce3x C ex  xe3x （C ，C 为任意常数） 1 2 4 1 2 【解析】特征方程为2 230，特征根为 3, 1. 1 2 y2y3y 0的通解为y Ce3x C ex.令 y  x axe3x，代入原方程，得 1 2 0 1 1 a  ，故原方程的通解为y Ce3x C ex  xe3x ，(C ,C 为任意常数) 4 1 2 4 1 2 14.求微分方程 y4y4y eax的通解. 【解析】特征方程为2 440，特征根为  2， 1 2 原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y  C C x  e2x. 1 2 (1)当a  2时，因为a不是特征根， 1 所以设原方程的特解为 y  x  Aeax，代入原方程得A ， 0  a2 2 内部资料，翻印必究 6更懂考研，更懂你 1 则原方程的通解为:y  C C x  e2x eax(C ,C 为任意常数); 1 2  a2 2 1 2 (2)当a 2时，因为a 2为二重特征根， 1 所以设原方程的特解为 y  x  Ax2e2x，代入原方程得A ， 0 2 1 则原方程的通解为:y  C C x  e2x x2e2x(C ,C 为任意常数). 1 2 2 1 2 15.求微分方程 y y  xcosx的通解. 1 【答案】 y C cosxC sinxx xsinx （C ，C 为任意常数） 1 2 2 1 2 【解析】特征方程为2 10，特征根为 i， 1,2 y y 0的通解为y C cosxC sinx . 1 2  y y  x,  1  令   y y cosx,  2  显然，方程(1)有特解y  x  x， 1 1 令方程(2)的特解为y  x  x  acosxbsinx ，代入方程(2)，得a 0,b ， 2 2 1 故原方程的通解为 y C cosxC sinxx xsinx ，(C ,C 为任意常数). 1 2 2 1 2 内部资料，翻印必究 7