(2.3.6)--高数-第一章极限._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

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第一章 极限章节测试答案
一．选择题，每题 5 分，共 25 分.
1 1
1.当x0时， f  x  sin 是（ ）
x2 x
A.无穷小量 B.无穷大量
C.有界但非无穷小量 D.无界但非无穷大量
【答案】D
1   2
【解析】取x  ，此时lim f  x lim2n  .
2n x0 n 2
2
所以 f  x 在x0时无界，取x 1 ，此时lim f  x lim  2n200.
2n x0 n
所以 f  x 在x0时不是无穷大量，故选(D).
2.设函数 f  x lnxtanxesin2x，则 f  x 是（ ）
A.偶函数 B.无界函数
C.周期函数 D.单调函数
【答案】B
【解析】方法一：排除法，
由函数定义域为(0,)，不是关于坐标原点对称，函数不具有奇偶性.A 选项错
误;
由 f  f  20可知函数非单调;容易观察函数非周期函数，C.D 选项错误
(排除法往往先从容易选项开始排除).因此应选B
lim f

x

方法二：由题目可得  ，可知函数 f  x 为无界函数，选B.
x
2
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 f  x  sinx3
3.若lim  5，则 f  x 是x的（ ）
x0 x3 x4 
A.等价无穷小量 B.同阶但不等价的无穷小量
C.高阶无穷小量 D.低阶无穷小量
【答案】C
 f  x  sinx3 1 sinx3 f  x 
【解析】已知lim  lim   5 ，
x0 x3 x4  x0 x2  x2 x 
1
所以lim ，且原式极限存在
x0 x2
sinx3 f  x  f  x  sinx3
所以lim  0，即lim lim 0，
x0 x2 x x0 x x0 x2
所以 f  x 是x的高阶无穷小量，故选C.
4.当x0时，与 x 等价的无穷小量是（ ）
1x
A.1e x. B.ln .
1 x
C. 1 x 1. D.1cos x.
【答案】B
1 1
1x 
ln ln  1x ln  1 x  1x 2 x  1 x 
1 x
【解析】lim  lim  lim 1.
x0 x x0 x x0 1
2 x
 1 
ex etanx
 
5.函数 f  x  在,上的第一类间断点是x（ ）
 1 
xex e
 
 
A.0 B.1 C. D.
2 2
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【答案】A

【解析】由函数的表达式知，x0,x1,x 是间断点，
2

不难看出，x1,x 是无穷间断点，故只能选A.
2
 1 
ex etanx 1
1
  tanx 1e x
事实上，由于lim f  x  lim  lim  1,
x0 x0  1  x0 x 1 1
xex e 1e x
 
 1 
ex etanx 1
  tanx ex e
lim f  x  lim  lim  1,
x0 x0  1  x0 x 1
xex e ex e
 
因此x 0是跳跃间断点，即第一类间断点.
二．填空题，每题 5 分，共 30 分.
6.已知 f  x sinx，f   x   1x2，则 x ______，其定义域为______.
【答案】arcsin  1x2   2, 2
 
【解析】由题意可知sin x 1x2，可解得 x arcsin  1x2  ，
 
由于arcsinx定义域为 x 1，故 x 定义域为|1x2 |1，解得所求函数的定义
域为 2, 2 .
 
7.求lim  sinx tanx ______.

x
2
【答案】1
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 
    
tan
2
t

【解析】设t  x ,x t ，原式limsin t
2 2 t0  2 
lim  cost  ta 1 nt e l t im 0  ln ta c n os t t e l t im 0  lnco ta s n t t 11 e l t im 0 1c t ost e l t im 0
1
2 t
t2
e l t im 0 1 2 t e01
t0
1
ax bx cx x
8.求lim

______.(a0,b0,c0)
x0 3 
1
【答案】 
abc 3
【解析】 lim   ax bx cx   1 x lime ln  axbx x cx ln3 ex li  m 0 ln  axbx x cx ln3
x0 3  x0
 
ln ax bx cx ln3 L axlnabxlnbcxlnc ln  abc  1
其中lim lim  ln  abc  3
x0 x x0 ax bx cx 3
1 1
原式elnabc 3  abc  3
e3x e2x ex 1
9.求lim ______.
x0 3  1x  1x 1
【答案】6
  
e3x e2x ex 1 e2x 1 ex 1 2xx
【解析】lim lim lim 6
x0 3  1x  1x 1 x0  1x2  1 3 1 x0  1 x2
3
1
10.lim  tan x  cosxsinx ______.

x
4
【答案】 e 2
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【解析】lim  tanx  cosx 1 sinx ex l  im  4    tanx1 cosx 1 sinx   

x
4

tanxtan
 1 
lim  tanx1  lim 4
 
 cosxsinx  cosxsinx
x x
4 4
  
tanx 1tanxtan

 4 4
 lim  2
  
x
4
 2sinx

 4
原式e 2
1tanx 1sinx
11.求lim ______.
x0 x 1sin2 xx
1
【答案】
2
1tanx 1sinx tanxsinx
【解析】lim lim
  
x0 x 1sin2 xx x0 x 1sin2x 1 1tanx  1sinx
 
sinx secx1 1
 
lim  
x0  x 1sin2 x1  1tanx 1sinx 
 
sinx secx1 1
lim lim lim
  11
1

1
x0 x x0 1sin2 x1 x0 1tanx 1sinx
2 2
三．解答题，每题 10 分，共 40 分.
 1 2 n 
12.求极限lim  

nn2 n1 n2 n2 n2 nn
1 2 n
【解析】因为  
n2 n1 n2 n2 n2 nn
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1 2 n 1 2 n
     
n2 n1 n2 n2 n2 nn n2 n1 n2 n1 n2 n1
1
 1n 
1 2 n
1
lim   lim 2  ；
nn2 nn n2 nn n2 nn nn2 nn 2
1
n  1n 
1 2 n
1
lim   lim 2  .
nn2 n1 n2 n1 n2 n1 n n2 n1 2
1
所以原数列的极限也为
2
1x
13.设 f  x lim ，求 f  x 的间断点，并说明间断点所属类型.
n1x2n
1x. x 1.
1x 
【解析】 f  x lim   0. x 1,x 1.
n1x2n

1. x1.

x 1为分段函数的分段点.
x 1处，因为 f  1  f  1  f 1 0，所以x 1为连续点;
x1处，因为 f  1 2, f  1 0，f  1  f(1)，
所以x1为 f  x 的间断点，属第一类间断点，是跳跃间断点.
1x2n
14.讨论函数 f  x lim x 的连续性，若有间断点，则判断其类型
n1x2n
 x. x 1
1x2n 
【解析】有题设可知: f  x lim x  0. x 1,
n1x2n

x. x 1

易见 f  x 在(,1) 1,1  (1,)上连续，而
f  1  lim f (x) lim f (x)1， f  1  lim f(x) lim x1 f  1  .
x1 x1 x1 x1
故x 1为 f  x 的第一类跳跃间断点.
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f  1  lim f (x) lim x 1， f  1  lim f (x) lim x 1 f  1 
x1 x1 x1 x1
故x1也为 f  x 的第一类跳跃间断点.
1
ln  1x ex1
15.求极限lim

x0 x 
1
ln  1x ex1 lim 1 ln ln1x
【解析】这是“1”型，lim  ex0ex1 x ，
x0 x 
 ln  1x   ln  1x 
而lim 1 ln ln  1x  lim
ln

1
x
1
 lim x
1
x0 ex 1 x x0 x x0 x
1
ln  1x x* 1x
1
1 1
lim lim lim 
x0 x2 x0 2x x0 2  1x  2
1
ln  1x ex1

1
故lim  =e 2
x0 x 
内部资料，翻印必究 7