(2.3.6)--高数-第一章极限._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

更懂考研，更懂你 第一章 极限章节测试答案 一．选择题，每题 5 分，共 25 分. 1 1 1.当x0时， f  x  sin 是（ ） x2 x A.无穷小量 B.无穷大量 C.有界但非无穷小量 D.无界但非无穷大量 【答案】D 1   2 【解析】取x  ，此时lim f  x lim2n  . 2n x0 n 2 2 所以 f  x 在x0时无界，取x 1 ，此时lim f  x lim  2n200. 2n x0 n 所以 f  x 在x0时不是无穷大量，故选(D). 2.设函数 f  x lnxtanxesin2x，则 f  x 是（ ） A.偶函数 B.无界函数 C.周期函数 D.单调函数 【答案】B 【解析】方法一：排除法， 由函数定义域为(0,)，不是关于坐标原点对称，函数不具有奇偶性.A 选项错 误; 由 f  f  20可知函数非单调;容易观察函数非周期函数，C.D 选项错误 (排除法往往先从容易选项开始排除).因此应选B lim f  x  方法二：由题目可得  ，可知函数 f  x 为无界函数，选B. x 2 内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你  f  x  sinx3 3.若lim  5，则 f  x 是x的（ ） x0 x3 x4  A.等价无穷小量 B.同阶但不等价的无穷小量 C.高阶无穷小量 D.低阶无穷小量 【答案】C  f  x  sinx3 1 sinx3 f  x  【解析】已知lim  lim   5 ， x0 x3 x4  x0 x2  x2 x  1 所以lim ，且原式极限存在 x0 x2 sinx3 f  x  f  x  sinx3 所以lim  0，即lim lim 0， x0 x2 x x0 x x0 x2 所以 f  x 是x的高阶无穷小量，故选C. 4.当x0时，与 x 等价的无穷小量是（ ） 1x A.1e x. B.ln . 1 x C. 1 x 1. D.1cos x. 【答案】B 1 1 1x  ln ln  1x ln  1 x  1x 2 x  1 x  1 x 【解析】lim  lim  lim 1. x0 x x0 x x0 1 2 x  1  ex etanx   5.函数 f  x  在,上的第一类间断点是x（ ）  1  xex e     A.0 B.1 C. D. 2 2 内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你 【答案】A  【解析】由函数的表达式知，x0,x1,x 是间断点， 2  不难看出，x1,x 是无穷间断点，故只能选A. 2  1  ex etanx 1 1   tanx 1e x 事实上，由于lim f  x  lim  lim  1, x0 x0  1  x0 x 1 1 xex e 1e x    1  ex etanx 1   tanx ex e lim f  x  lim  lim  1, x0 x0  1  x0 x 1 xex e ex e   因此x 0是跳跃间断点，即第一类间断点. 二．填空题，每题 5 分，共 30 分. 6.已知 f  x sinx，f   x   1x2，则 x ______，其定义域为______. 【答案】arcsin  1x2   2, 2   【解析】由题意可知sin x 1x2，可解得 x arcsin  1x2  ，   由于arcsinx定义域为 x 1，故 x 定义域为|1x2 |1，解得所求函数的定义 域为 2, 2 .   7.求lim  sinx tanx ______.  x 2 【答案】1 内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你        tan 2 t  【解析】设t  x ,x t ，原式limsin t 2 2 t0  2  lim  cost  ta 1 nt e l t im 0  ln ta c n os t t e l t im 0  lnco ta s n t t 11 e l t im 0 1c t ost e l t im 0 1 2 t t2 e l t im 0 1 2 t e01 t0 1 ax bx cx x 8.求lim  ______.(a0,b0,c0) x0 3  1 【答案】  abc 3 【解析】 lim   ax bx cx   1 x lime ln  axbx x cx ln3 ex li  m 0 ln  axbx x cx ln3 x0 3  x0   ln ax bx cx ln3 L axlnabxlnbcxlnc ln  abc  1 其中lim lim  ln  abc  3 x0 x x0 ax bx cx 3 1 1 原式elnabc 3  abc  3 e3x e2x ex 1 9.求lim ______. x0 3  1x  1x 1 【答案】6    e3x e2x ex 1 e2x 1 ex 1 2xx 【解析】lim lim lim 6 x0 3  1x  1x 1 x0  1x2  1 3 1 x0  1 x2 3 1 10.lim  tan x  cosxsinx ______.  x 4 【答案】 e 2 内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你 【解析】lim  tanx  cosx 1 sinx ex l  im  4    tanx1 cosx 1 sinx     x 4  tanxtan  1  lim  tanx1  lim 4    cosxsinx  cosxsinx x x 4 4    tanx 1tanxtan   4 4  lim  2    x 4  2sinx   4 原式e 2 1tanx 1sinx 11.求lim ______. x0 x 1sin2 xx 1 【答案】 2 1tanx 1sinx tanxsinx 【解析】lim lim    x0 x 1sin2 xx x0 x 1sin2x 1 1tanx  1sinx   sinx secx1 1   lim   x0  x 1sin2 x1  1tanx 1sinx    sinx secx1 1 lim lim lim   11 1  1 x0 x x0 1sin2 x1 x0 1tanx 1sinx 2 2 三．解答题，每题 10 分，共 40 分.  1 2 n  12.求极限lim    nn2 n1 n2 n2 n2 nn 1 2 n 【解析】因为   n2 n1 n2 n2 n2 nn 内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你 1 2 n 1 2 n       n2 n1 n2 n2 n2 nn n2 n1 n2 n1 n2 n1 1  1n  1 2 n 1 lim   lim 2  ； nn2 nn n2 nn n2 nn nn2 nn 2 1 n  1n  1 2 n 1 lim   lim 2  . nn2 n1 n2 n1 n2 n1 n n2 n1 2 1 所以原数列的极限也为 2 1x 13.设 f  x lim ，求 f  x 的间断点，并说明间断点所属类型. n1x2n 1x. x 1. 1x  【解析】 f  x lim   0. x 1,x 1. n1x2n  1. x1.  x 1为分段函数的分段点. x 1处，因为 f  1  f  1  f 1 0，所以x 1为连续点; x1处，因为 f  1 2, f  1 0，f  1  f(1)， 所以x1为 f  x 的间断点，属第一类间断点，是跳跃间断点. 1x2n 14.讨论函数 f  x lim x 的连续性，若有间断点，则判断其类型 n1x2n  x. x 1 1x2n  【解析】有题设可知: f  x lim x  0. x 1, n1x2n  x. x 1  易见 f  x 在(,1) 1,1  (1,)上连续，而 f  1  lim f (x) lim f (x)1， f  1  lim f(x) lim x1 f  1  . x1 x1 x1 x1 故x 1为 f  x 的第一类跳跃间断点. 内部资料，翻印必究 6更懂考研，更懂你 f  1  lim f (x) lim x 1， f  1  lim f (x) lim x 1 f  1  x1 x1 x1 x1 故x1也为 f  x 的第一类跳跃间断点. 1 ln  1x ex1 15.求极限lim  x0 x  1 ln  1x ex1 lim 1 ln ln1x 【解析】这是“1”型，lim  ex0ex1 x ， x0 x   ln  1x   ln  1x  而lim 1 ln ln  1x  lim ln  1 x 1  lim x 1 x0 ex 1 x x0 x x0 x 1 ln  1x x* 1x 1 1 1 lim lim lim  x0 x2 x0 2x x0 2  1x  2 1 ln  1x ex1  1 故lim  =e 2 x0 x  内部资料，翻印必究 7