(328)--周周清第二十八周（9.15-9.21）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 9.15-9.21 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 x1x 1.（数一二三）求曲线 y  (x0)的斜渐近线方程. (1x)x 2.（数一二三）已知函数 f(u)连续，z(x,y) f(sinxcosy)sin(x y), z(0,0)0. z z 若  sin2xsin2y，则 f(u)____. x y  1 3.（数一二三）计算 dx ____. 5 x2 4x3 12x2  (x), 0 x, 4.（数一二三）设随机变量X 的概率密度为 f(x) 4 ，其中0  0, 其他. 且为未知参数，X ,X ,,X 是来自总体X 的简单随机样本.记ˆ为的矩估计量，X 为 1 2 n 样本均值，则下列说法正确的是____. 5 2 3 2 (A)ˆ X,D(ˆ ) (B)ˆ X,D(ˆ ) 3 9n 5 9n 5 2 3 2 (C)ˆ X,D(ˆ ) (D)ˆ X,D(ˆ ) 3 15n 5 15n 5.（数一二三）设 在 上有二阶导数, 且 ， ，证明: 当 时，有 , . = =0 ″ <0 ∈ 2 , 0< < − 6.（数一二三）已知函数 在 上有二阶连续导数， ，且 ， 有 ，设 是 曲 线 [0,+∞)上任一点 处 的0切=线 在' 0轴=的0截距 (∈ [0,+)，∞求) ″ >0 . = , >0 7 l→i . m0（ + 数 一 二 + 三 ） ' 设3阶实对称矩阵 的特征值为2,3,4， 是 的伴随矩阵. 若对任意3维实 ∗ 列向量 ，都有 ，则 的最小取值 为 _______. ∗ − ≤ 周周清 9.15-9.21 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 x1+x 1.（数一二三）求曲线y = (x0)的斜渐近线方程. (1+x)x [知识点]：极限计算 x 1 [解析]：答案：y = + e 2e y 根据斜渐近线的定义，先计算 lim . x→+ x y xx  x  x  1  x lim = lim = lim = lim 1−     x→+ x x→+(1+x)x x→+1+x x→+ 1+x x  1  −(1+x) −(1+x) − lim x = lim  1−  =e x→+1+x =e−1 x→+ 1+x x 下面计算 lim(y− ) x→+ e  x   x  x 1 x xln x +1  lim  y−  = lim x  −  = lim e 1+x −1 （1） x→+ e x→+  1+x e x→+ e   由（1）式继续计算可得  x x xln x +1  e xln 1+ x x +1 −1~xln 1+ x x +1 x x  lim  y−  = lim e 1+x −1========== lim  xln +1  x→+ e x→+e   x→+e 1+x   1  1  x  t=1 x 1  1 t 1 = lim  x2ln +x  === lim ln +  ex→+ 1+x  et→0+  t2 1+ 1 t   t  1 1 ln +t − +1 1 1+t 洛必达1 1+t 1 t 1 = lim === lim = lim = et→0+ t2 et→0+ 2t et→0+ 2t(1+t) 2e x 1 因此，所求斜渐近线方程为y = + e 2e [易错点]：极限计算的技巧方法等需要熟练度，尤其是在形式比较复杂的情况下。2.（数一二三）已知函数 f(u)连续，z(x,y)= f(sinx+cosy)−sin(x+y), z(0,0)=0. z z 若 + =sin2x−sin2y，则 f(u)=____. x y [知识点]：多元函数微分 [解析]：答案： f(u)=u2 −1 z z 分别计算 , x y z = f(sinx+cosy)cosx−cos(x+ y) x z =−f(sinx+cosy)sin y−cos(x+ y) y 于是， z z + = f(sinx+cosy)(cosx−sin y)−2cos(x+ y). x y z z 另一方面，由 + =sin2x−sin2y可得 x y f(sinx+cosy)(cosx−siny)−2cos(x+y)=sin2x−sin2y 整理可得 sin2x−sin2y+2cos(x+ y) f(sinx+cosy)= cosx−sin y 2(sinxcosx−sin ycosy+cosxcosy−sinxsin y) = cosx−sin y 2(cosx−sin y)(sinx+cosy) = =2(sinx+cosy) cosx−sin y 令u=sinx+cosy，则由上式可得 f(u)=2u，于是 f(u)=u2 +C，其中C为待定常 数.将 x=0,y=0 代入 z(x,y)= f(sinx+cosy)−sin(x+y) 可得 z(0,0)= f(1) .结合 z(0,0)=0可得， f(1)=0，进一步解得C =−1.因此， f(u)=u2 −1 [易错点]：求导的时候脑子要清醒，不要被繁杂的公式扰乱，并合理构造微分方程。+ 1 3.（数一二三）计算 dx=____ . 5 x2 −4x+3 [知识点]：反常积分的计算 1 [解析]：答案： ln2 2 + 1 + 1 1 + 1 1   dx= dx=  − dx   5 x2 −4x+3 5 (x−3)(x−1) 2 5  x−3 x−1 1 x−3 | 1 5−3 1 = ln += 0−ln = ln2   2 x−1 5 2 5−1 2 + 1 1  + 1 + 1 [易错点]：本题需要注意的点是， − dx不能写成 dx− dx   5 x−3 x−1 5 x−3 5 x−1 的形式，因为这两个反常积分都发散，没法算。12x2  (−x), 0 x, 4.（数一三）设随机变量X 的概率密度为 f(x)= 4 ，其中  0, 其他. 0   ˆ 且为未知参数，X ,X , ,X 是来自总体X 的简单随机样本.记为的矩估计量， 1 2 n X 为 样本均值，则下列说法正确的是____. 5 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ (A)= X,D()= (B)= X,D()= 3 9n 5 9n 5 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ (C)= X,D()= (D)= X,D()= 3 15n 5 15n [知识点]：数字特征计算 5 2 ˆ ˆ [解析]：答案：(A)= X,D()= 3 9n 根据数学期望的定义， + 12x3 12 ( ) E(X)= xf(x)dx=  (−x)dx=  x3−x4 dx − 0 4 4 0 12x4 x5  | 12 5 3 =  −  =  =  4  4 5  0 4 20 5 5 5 ˆ 由此可得，= E(X)，用样本均值X 代替E(X)可得的矩估计量为= X . 3 3 进一步计算可得 + 12x4 12 ( ) E(X2)= x2f(x)dx=  (−x)dx =  x4 −x5 dx − 0 4 4 0 12x5 x6  | 12 6 2 =  −  =  = 2 4  5 6  0 4 30 5 2 3  2 2 从而D(X)=E(X2)−[E(X)]2 = 2 −  =   5 5  25 因此， 5  25 25 D(X) 252 2 ˆ D()= D  X  = D(X)=  = = 3  9 9 n 9n 25 9n [易错点]：按规矩一步一步来计算即可，注意积分的时候计算较复杂，谨防出错。5.（数一二三）设𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上有二阶导数, 且𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=0，𝑓″(𝑥)<0，证明: 当𝑥 ∈ 2 𝑏 (𝑎,𝑏)时，有0<𝑓(𝑥)< ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. 𝑏−𝑎 𝑎 [知识点]：罗尔定理、函数单调性分析、泰勒公式、积分运算。 [解析]：先证 𝑓(𝑥)>0. 由𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=0及罗尔定理，知存在 𝑥 ∈(𝑎,𝑏)，使得 𝑓′(𝑥 )=0, 由𝑓″(𝑥)<0，知 0 0 𝑓′(𝑥)单调递减，则当𝑥 ∈(𝑎,𝑥 )时，𝑓′(𝑥)>𝑓′(𝑥 )=0，从而𝑓(𝑥)单调递增，故𝑓(𝑥)>𝑓(𝑎)= 0 0 0；当𝑥 ∈(𝑥 ,𝑏)时，𝑓′(𝑥)<𝑓′(𝑥 )=0，知𝑓(𝑥)单调递减, 故𝑓(𝑥)>𝑓(𝑏)=0，综上所述， 0 0 当𝑥 ∈(𝑎,𝑏)时，𝑓(𝑥)>0. 2 𝑏 下证 𝑓(𝑥)< ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑏−𝑎 𝑎 应用泰勒公式，将𝑓(𝑥)在 𝑥 =𝑡 ∈(𝑎,𝑏) 处展开, 有 𝑓″(𝜉) 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑡)+𝑓′(𝑡)(𝑥−𝑡)+ (𝑥−𝑡)2， 2! 其中𝜉介于𝑥与𝑡之间. 由𝑓″(𝑥)<0, 知𝑓″(𝜉)<0, 故𝑓(𝑥)<𝑓(𝑡)+𝑓′(𝑡)(𝑥−𝑡). 在[𝑎,𝑏]上, 上式两边同时对𝑡积分, 得 𝑏 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑡 <∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡+∫ 𝑓′(𝑡)(𝑥−𝑡) 𝑑𝑡， 𝑎 𝑎 𝑎 即 𝑏 𝑏 𝑏 (𝑏−𝑎)𝑓(𝑥)<∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡+(𝑥−𝑡)𝑓(𝑥)|𝑏 +∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 =2∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡， 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 2 𝑏 故 𝑓(𝑥)< ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 所证不等式成立. 𝑏−𝑎 𝑎 [易错点]：用罗尔定理找导数为零的点时逻辑不清晰，泰勒公式展开及积分运算过程中符号、 计算出错，影响不等式证明。6.（数一二三）已知函数𝑓(𝑥)在[0,+∞)上有二阶连续导数，𝑓(0)=𝑓′(0)=0，且𝑥 ∈[0,+∞)， 有𝑓″(𝑥)>0，设𝐹(𝑥)是曲线𝑦 =𝑓(𝑥)上任一点(𝑥,𝑓(𝑥))处的切线在𝑥轴的截距(𝑥 >0)，求 lim[𝐹(𝑥)+𝐹′(𝑥)]. 𝑥→0+ [知识点]：曲线切线、洛必达法则及二阶导数性质。 1 [解析]：答案： . 2 由已知, 点(𝑥,𝑓(𝑥))处的切线方程为 𝑌−𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)(𝑋−𝑥)， 令𝑌 =0, 可得切线在𝑥轴上的截距为 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑥)=𝑥− (𝑥 >0). 𝑓′(𝑥) 由 𝑓″(𝑥)>0, 知𝑓′(𝑥)>𝑓′(0)=0， 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) lim𝐹(𝑥)= lim [𝑥− ]=−lim =0， 𝑥→0+ 𝑥→0+ 𝑓′(𝑥) 𝑥→0+𝑓′(𝑥) 𝑓′(𝑥)2−𝑓(𝑥)𝑓″(𝑥) 𝑓(𝑥)𝑓″(𝑥) lim𝐹′(𝑥)= lim [1− ]= lim 𝑥→0+ 𝑥→0+ 𝑓′(𝑥)2 𝑥→0+ 𝑓′(𝑥)2 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) 1 =𝑓″(0)lim =𝑓″(0)lim = ， 𝑥→0+𝑓′(𝑥)2 𝑥→0+2𝑓′(𝑥)𝑓″(𝑥) 2 故 1 1 lim[𝐹(𝑥)+𝐹′(𝑥)]=0+ = . 𝑥→0+ 2 2 [易错点]：求切线截距时求导错误，用洛必达法则处理极限时步骤失误，对二阶导数性质应 用不当。7.（数一二三）设 3 阶实对称矩阵𝐴的特征值为 2,3,4，𝐴∗是𝐴的伴随矩阵. 若对任意 3 维实 列向量𝑋，都有|𝑋𝑇𝐴∗𝑋−𝑋𝑇𝐴𝑋|≤𝑎𝑋𝑇𝑋，则𝑎的最小取值为 _______. [知识点]：实对称矩阵可正交相似对角化的性质，伴随矩阵特征值与原矩阵特征值的关系。 [解析]：答案：10. 由已知，∣𝐴 ∣=2×3×4=24，𝐴∗的特征值为 ∣𝐴 ∣ ∣𝐴 ∣ ∣𝐴 ∣ =12, =8, =6. 2 3 4 由𝐴为实对称矩阵，知存在正交矩阵𝑄，使得 2 0 0 12 0 0 𝑄𝑇𝐴𝑄 =(0 3 0), 𝑄𝑇𝐴∗𝑄 =(0 8 0). 0 0 4 0 0 6 故 ∣𝑋𝑇𝐴∗𝑋−𝑋𝑇𝐴𝑋 ∣=∣𝑋𝑇(𝐴∗−𝐴)𝑋 ∣ 代入𝑋 =𝑄𝑌，得 上式=∣(12−2)𝑦2+(8−3)𝑦2+(6−4)𝑦2 ∣ 1 2 3 =∣10𝑦2+5𝑦2+2𝑦2 ∣ 1 2 3 ≤10(𝑦2+𝑦2+𝑦2) 1 2 3 =10𝑌𝑇𝑌 又𝑋𝑇𝑋 =𝑌𝑇𝑄𝑇𝑄𝑌 =𝑌𝑇𝑌，故当∣𝑋𝑇𝐴∗𝑋−𝑋𝑇𝐴𝑋 ∣≤𝑎𝑋𝑇𝑋时，有∣𝑋𝑇𝐴∗𝑋−𝑋𝑇𝐴𝑋 ∣≤𝑎𝑌𝑇𝑌， 所以 𝑎 的最小取值为10. [易错点]：伴随矩阵特征值计算错误，正交相似对角化应用不当，或不等式放缩时对系数最 大值判断失误。