(336)--周周清第三十二周（10.13-10.19）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 10.13-10.19
-by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧
1.（数一二三）设区域D {(x,y)|0 x1,0 y 1}，函数 f(x,y)在D上连续，且
3 3
f(x,y) x2 x2[f(x,y)]2dxdy ，则 f(x,y) ____.
D
2.（数一二三）设三维列向量,, 满足 A(,,2) 为正交矩阵，则
T ____.
3.（数一二三）设a   1 x  (1x) 1 2 (1x)(1x)2 n dx ，则lima  ____ .
n   n
0 n
4.（数一）设曲线L 为x2  y2  R2(x0,y0,R0)，起点为(R,0)，终点为(0,R).
R
xdyydx
若 lim  a0 ，则ak  ____.
R L
R
[ x2  y2  1(x2  y2) ]k
2
5.（数一二三）设 在点 处取得极大值, 求 满足的条件.
−  2
6. （ 数 一  二  ,  三=  ）  设  +  −  −1,  0  ,  , 则
2 2   2 2 
=  ,  4≤  +  ≤2, 4≤  +  ≤2}
d d ______.
1
​
7.=（数  一二   三  ）  设= 是3阶实对称矩阵， 满足 ，且

为任意常数，则方  程组 的通解为  _=___−_1_.,1,1  −2   =0   =1.  1,  2
.   =0

A  1 1,1,0 +  2 1,−1,0 B.  1 1,1,0 +  2 1,0,1

C.  1 1,1,0 +  2 1,1,1 D.  1 1,1,0 +  2 1,0,−1周周清 10.13-10.19
-by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧
1.（数一二三）设区域D ={(x,y)|0 x 1,0 y 1}，函数 f (x,y)在D上连续，且
3 3
f (x,y) = x2 + x2[f (x,y)]2dxdy ，则 f (x,y)= ____.
D
[知识点]：积分嵌套
3
[解析]：答案： f (x,y) = 2x2
3 3
记A= [f (x,y)]2dxdy .对等式 f (x,y) = x2 + x2[f (x,y)]2dxdy 两端同时平方可
D D
得 f (x,y)2 = x3(A+1)2
对上式两端同时在D上积分，可得，
1 1
(A+1)2
A= x3(A+1)2dxdy =(A+1)2x3dxdy =(A+1)2 dy x3dx =
0 0 4
D D
(A+1)2
由A= ，解得A=1
4
3 3 3
故 f (x,y) = x2 + x2 = 2x2
[易错点]：形式属于嵌套，不要被绕进去了，套路较为固定，按套路计算即可。2.（数一二三）设三维列向量,,满足A=(,,2++)为正交矩阵，则T= ____.
[知识点]：正交矩阵的概念，向量运算
[解析]：答案：6
由于A=(,,2++)为正交矩阵，故A的列向量均为单位向量且互相正交.于是，
T=T= (2++)T(2++)=1
T=T(2++)=T(2++)= 0
由于T(2++) = 2T+T+T=0，故2+T=0，即T=T= −2，
由于T(2++) = 2T+T+T=0，故1+T= 0，即T=T= −1.
由(2++)T(2++) =1，以及,均与2++正交可得
T(2++) =1，整理可得2T+T+T=1.代入T= −2,T= −1可得
T=6.
[易错点]：注意正交矩阵的概念，以及向量运算与实数运算的区别。3.（数一二三）设a =  1 x(1−x) 1 2 +(1−x)+ +(1−x) n 2 dx，则lima = ____ .
n   n
0 n→
[知识点]：数列极限
7
[解析]：答案：
6
令t =1−x，则由等比数列的求和公式可得，
 n 
t 1−t2 
1 n n  
(1−x)2 +(1− x)++(1− x)2 = t +t+ +t2 =
1− t
n
分母有理化 t(1+ t)(1−t2)
=====
1−t
于是，
n
a =  1 x(1−x) 1 2 +(1− x)+ +(1− x) n 2 dx⎯⎯t=1−⎯x→ 1 (1−t) t(1+ t)(1−t2) dt
n 0   0 1−t
 n+1 n+2 
1 n 1
=  t(1+ t)(1−t2)dt =   t +t−t 2 −t 2 dt
0 0 
=   2 t 3 2 + 1 t2 − 2 t n 2 +3 − 2 t n+ 2 4   |1= 2 + 1 − 2 − 2
3 2 n+3 n+4  0 3 2 n+3 n+4
因此，
2 1  2 2  7
lima = + −lim + =
 
n→ n 3 2 n→n+3 n+4 6
[易错点]：等比级数的求和公式要熟记，且要掌握多项式极限的求解规则。4.（数一）设曲线L 为x2 + y2 = R2(x  0,y  0,R  0)，起点为(R,0)，终点为
R
( 0 , R ) .若
xdy− ydx
lim  = a  0，则a+k = ____.
R→+ L R [ x2 + y2 + 1(x2 − y2) ]k
2
[知识点]：线面积分
3
[解析]：答案：1+
3
x = Rcost, 
曲线L 的参数方程为 t从0到 .将参数方程代入到曲线积分可得
R y = Rsint, 2
xdy− ydx
[
RcostRcost−Rsint(−Rsint)
]
dt
 = 2
L R[ x2 + y2 + 1 (x2 − y2) ]k 0 [ R2 + 1 R2(cos2t−sin2t) ]k
2 2
1  1
= 2 dt
R2k−2 0  1  k
1+ cos2t
 
 2 
 1 1 
记I = 2 dt .由于 在[0, ]上连续，故I 是一个有限
k 0  1  k  1  k 2 k
 1+ cos2t   1+ cos2t 
 2   2 
数，从而当2k −20时，原极限不存在；当2k −2=0时，原极限= I ；2k −20 时，
k
原极限为0.由此可得k =1.
下面计算I .
1
1−u2 1
令u = tant ，则cos2t = ，dt = du，故
1+u2 1+u2
/2 1 + 1 1 + 1
I =  dt =   du = 2 du
1 0 1+ 1cos2t 0 1−u2 1+u2 0 u2 +3
2 1+ 1
2 1+u2
=
2

+ 1
d
(
u
)
=
2
arctan u
|+= 2


=
3
3 0 1+ ( u )2 3 3 3 0 3 2 3
3
3 3
因此，k =1, a = , a+k =1+
3 3
[易错点]：曲线积分的基本套路与万能公式在积分中的应用。5.（数一二三）设𝑓(𝑥,𝑦)=𝑒−𝑥(𝑎𝑥+𝑏−𝑦2)在点(−1,𝑦 )处取得极大值, 求𝑎,𝑏满足的条件.
0
[知识点]：二元函数的偏导数
[解析]：依题意,有
𝑓′(−1,𝑦 )=𝑒−𝑥(−𝑎𝑥−𝑏+𝑦2+𝑎)| =𝑒(2𝑎−𝑏+𝑦2)=0, ①
{
𝑥 0 (−1,𝑦0 ) 0
𝑓′(−1,𝑦 )=−2𝑦𝑒−𝑥| =0, ②
𝑦 0 (−1,𝑦0 )
此处由②式知𝑦 =0，故 𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (−1,0) 处取得极大值.
0
解①式，得𝑏 =2𝑎. 又
𝐴 =𝑓′′(−1,0)=𝑒−𝑥(𝑎𝑥+𝑏−𝑦2−2𝑎)| =𝑒(−3𝑎+𝑏),
𝑥𝑥 (−1,0)
𝐵 =𝑓′′(−1,0)=2𝑦𝑒−𝑥| =0,
𝑥𝑦 (−1,0)
𝐶 =𝑓′′(−1,0)=−2𝑒−𝑥| =−2𝑒,
𝑦𝑦 (−1,0)
由已知,有𝐴𝐶−𝐵2 =−2𝑒2(−3𝑎+𝑏)>0，𝐴<0，故 𝑎 >0，𝑏 =2𝑎.
当𝑎 =0，𝑏 =0时，𝐴𝐶−𝐵2 =0，此时𝑓(𝑥,𝑦)=−𝑦2𝑒−𝑥 ≤𝑓(−1,0)=0，不满足极值
的定义，故𝑓(−1,0)不是极大值.
综上所述，𝑎,𝑏满足的条件为𝑎 >0，𝑏 =2𝑎.
[易错点]：求偏导数时计算错误，分析二阶偏导数判别式及特殊情况𝑎 =0时逻辑遗漏，导
致条件判断失误。6.（数一二三）设𝐷 ={(𝑥,𝑦)| 𝑥 ≤𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑥 , 𝑦 ≤𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑦 },则 𝐼 =∬ 1 d𝑥d𝑦 =______.
4 2 4 2 𝐷 𝑥𝑦
[知识点]：极坐标及积分区域的对称性
[解析]：答案：(ln2)2
利用极坐标求解. 如图所示，𝐷关于𝑦=𝑥对称，且
1 1 1 1
𝐷: cos𝜃 ≤𝑟 ≤ cos𝜃， sin𝜃 ≤𝑟 ≤ sin𝜃，
4 2 4 2
1
𝑟 = sin𝜃,
故由{ 2 解得𝜃 =arctan 1 ，故
𝑟 = 1 cos𝜃 2
4
𝜋 1
1 4 2 sin𝜃 𝑑𝑟
𝐼 =∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦=2∫ 𝑑𝜃∫
𝑥𝑦 1 1 𝑟sin𝜃cos𝜃
arctan cos𝜃
𝐷 2 4
𝜋 1
1 sin𝜃
=2∫4 ln2 𝑑𝜃
arctan 1sin𝜃cos𝜃 1 cos𝜃
2 4
𝜋
4 1
=2∫ ln(2tan𝜃)𝑑(tan𝜃)
1tan𝜃
arctan
2
=(ln2)2.
[易错点]：极坐标下积分限确定错误，变量代换时导数计算或积分运算失误，影响最终结果。7.（数一二三）设𝐴是3阶实对称矩阵，𝛼 =(−1,1,1)𝑇满足(𝐴−2𝐸)𝛼 =0，且𝑟(𝐴)=1. 𝑘 ,𝑘
1 2
为任意常数，则方程组𝐴𝑋 =0的通解为______.
A. 𝑘 (1,1,0)𝑇+𝑘 (1,−1,0)𝑇 B. 𝑘 (1,1,0)𝑇+𝑘 (1,0,1)𝑇
1 2 1 2
C. 𝑘 (1,1,0)𝑇+𝑘 (1,1,1)𝑇 D. 𝑘 (1,1,0)𝑇+𝑘 (1,0,−1)𝑇
1 2 1 2
[知识点]：实对称矩阵的特征值、特征向量性质
[解析]：答案：B.
由(𝐴−2𝐸)α=0,得𝐴𝛼 =2α ,𝜆 =2为𝐴的特征值，α =α=(−1,1,1)T是其对应的特
1 1
征向量.
又由A是实对称矩阵，且𝑟(A)=1,知
𝐴 ∼𝛬 =𝑑𝑖𝑎𝑔(2,0,0)，
即𝜆 =𝜆 =0是A的二重特征值. 令其对应的特征向量为β=(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )T,则
2 3 1 2 3
αTβ=−𝑥 +𝑥 +𝑥 =0,
1 1 2 3
解得β =(1,1,0)T，β =(1,0,1)T. 故有
1 2
(0E−A)β =−Aβ =0，(0E−A)β =−Aβ =0，
1 1 2 2
即
Aβ =0，Aβ =0,
1 2
又3−𝑟(A)=2，所以β ,β 是𝐴𝑋 =0的基础解系. 选项B正确.
1 2
由于选项A,C,D中存在与α=(−1,1,1)T不正交的向量，故排除.
[易错点]：判断特征向量是否正交时计算错误，或对实对称矩阵秩与特征值的关系把握不准，
导致基础解系选择错误。