(336)--周周清第三十二周（10.13-10.19）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 10.13-10.19 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设区域D {(x,y)|0 x1,0 y 1}，函数 f(x,y)在D上连续，且 3 3 f(x,y) x2 x2[f(x,y)]2dxdy ，则 f(x,y) ____. D 2.（数一二三）设三维列向量,, 满足 A(,,2) 为正交矩阵，则 T ____. 3.（数一二三）设a   1 x  (1x) 1 2 (1x)(1x)2 n dx ，则lima  ____ . n   n 0 n 4.（数一）设曲线L 为x2  y2  R2(x0,y0,R0)，起点为(R,0)，终点为(0,R). R xdyydx 若 lim  a0 ，则ak  ____. R L R [ x2  y2  1(x2  y2) ]k 2 5.（数一二三）设 在点 处取得极大值, 求 满足的条件. − 2 6. （ 数 一 二 , 三= ） 设 + − −1, 0 , , 则 2 2 2 2 = , 4≤ + ≤2, 4≤ + ≤2} d d ______. 1 ​ 7.=（数 一二 三 ） 设= 是3阶实对称矩阵， 满足 ，且 为任意常数，则方 程组 的通解为 _=___−_1_.,1,1 −2 =0 =1. 1, 2 . =0 A 1 1,1,0 + 2 1,−1,0 B. 1 1,1,0 + 2 1,0,1 C. 1 1,1,0 + 2 1,1,1 D. 1 1,1,0 + 2 1,0,−1周周清 10.13-10.19 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设区域D ={(x,y)|0 x 1,0 y 1}，函数 f (x,y)在D上连续，且 3 3 f (x,y) = x2 + x2[f (x,y)]2dxdy ，则 f (x,y)= ____. D [知识点]：积分嵌套 3 [解析]：答案： f (x,y) = 2x2 3 3 记A= [f (x,y)]2dxdy .对等式 f (x,y) = x2 + x2[f (x,y)]2dxdy 两端同时平方可 D D 得 f (x,y)2 = x3(A+1)2 对上式两端同时在D上积分，可得， 1 1 (A+1)2 A= x3(A+1)2dxdy =(A+1)2x3dxdy =(A+1)2 dy x3dx = 0 0 4 D D (A+1)2 由A= ，解得A=1 4 3 3 3 故 f (x,y) = x2 + x2 = 2x2 [易错点]：形式属于嵌套，不要被绕进去了，套路较为固定，按套路计算即可。2.（数一二三）设三维列向量,,满足A=(,,2++)为正交矩阵，则T= ____. [知识点]：正交矩阵的概念，向量运算 [解析]：答案：6 由于A=(,,2++)为正交矩阵，故A的列向量均为单位向量且互相正交.于是， T=T= (2++)T(2++)=1 T=T(2++)=T(2++)= 0 由于T(2++) = 2T+T+T=0，故2+T=0，即T=T= −2， 由于T(2++) = 2T+T+T=0，故1+T= 0，即T=T= −1. 由(2++)T(2++) =1，以及,均与2++正交可得 T(2++) =1，整理可得2T+T+T=1.代入T= −2,T= −1可得 T=6. [易错点]：注意正交矩阵的概念，以及向量运算与实数运算的区别。3.（数一二三）设a =  1 x(1−x) 1 2 +(1−x)+ +(1−x) n 2 dx，则lima = ____ . n   n 0 n→ [知识点]：数列极限 7 [解析]：答案： 6 令t =1−x，则由等比数列的求和公式可得，  n  t 1−t2  1 n n   (1−x)2 +(1− x)++(1− x)2 = t +t+ +t2 = 1− t n 分母有理化 t(1+ t)(1−t2) ===== 1−t 于是， n a =  1 x(1−x) 1 2 +(1− x)+ +(1− x) n 2 dx⎯⎯t=1−⎯x→ 1 (1−t) t(1+ t)(1−t2) dt n 0   0 1−t  n+1 n+2  1 n 1 =  t(1+ t)(1−t2)dt =   t +t−t 2 −t 2 dt 0 0  =   2 t 3 2 + 1 t2 − 2 t n 2 +3 − 2 t n+ 2 4   |1= 2 + 1 − 2 − 2 3 2 n+3 n+4  0 3 2 n+3 n+4 因此， 2 1  2 2  7 lima = + −lim + =   n→ n 3 2 n→n+3 n+4 6 [易错点]：等比级数的求和公式要熟记，且要掌握多项式极限的求解规则。4.（数一）设曲线L 为x2 + y2 = R2(x  0,y  0,R  0)，起点为(R,0)，终点为 R ( 0 , R ) .若 xdy− ydx lim  = a  0，则a+k = ____. R→+ L R [ x2 + y2 + 1(x2 − y2) ]k 2 [知识点]：线面积分 3 [解析]：答案：1+ 3 x = Rcost,  曲线L 的参数方程为 t从0到 .将参数方程代入到曲线积分可得 R y = Rsint, 2 xdy− ydx [ RcostRcost−Rsint(−Rsint) ] dt  = 2 L R[ x2 + y2 + 1 (x2 − y2) ]k 0 [ R2 + 1 R2(cos2t−sin2t) ]k 2 2 1  1 = 2 dt R2k−2 0  1  k 1+ cos2t    2   1 1  记I = 2 dt .由于 在[0, ]上连续，故I 是一个有限 k 0  1  k  1  k 2 k  1+ cos2t   1+ cos2t   2   2  数，从而当2k −20时，原极限不存在；当2k −2=0时，原极限= I ；2k −20 时， k 原极限为0.由此可得k =1. 下面计算I . 1 1−u2 1 令u = tant ，则cos2t = ，dt = du，故 1+u2 1+u2 /2 1 + 1 1 + 1 I =  dt =   du = 2 du 1 0 1+ 1cos2t 0 1−u2 1+u2 0 u2 +3 2 1+ 1 2 1+u2 = 2  + 1 d ( u ) = 2 arctan u |+= 2   = 3 3 0 1+ ( u )2 3 3 3 0 3 2 3 3 3 3 因此，k =1, a = , a+k =1+ 3 3 [易错点]：曲线积分的基本套路与万能公式在积分中的应用。5.（数一二三）设𝑓(𝑥,𝑦)=𝑒−𝑥(𝑎𝑥+𝑏−𝑦2)在点(−1,𝑦 )处取得极大值, 求𝑎,𝑏满足的条件. 0 [知识点]：二元函数的偏导数 [解析]：依题意,有 𝑓′(−1,𝑦 )=𝑒−𝑥(−𝑎𝑥−𝑏+𝑦2+𝑎)| =𝑒(2𝑎−𝑏+𝑦2)=0, ① { 𝑥 0 (−1,𝑦0 ) 0 𝑓′(−1,𝑦 )=−2𝑦𝑒−𝑥| =0, ② 𝑦 0 (−1,𝑦0 ) 此处由②式知𝑦 =0，故 𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (−1,0) 处取得极大值. 0 解①式，得𝑏 =2𝑎. 又 𝐴 =𝑓′′(−1,0)=𝑒−𝑥(𝑎𝑥+𝑏−𝑦2−2𝑎)| =𝑒(−3𝑎+𝑏), 𝑥𝑥 (−1,0) 𝐵 =𝑓′′(−1,0)=2𝑦𝑒−𝑥| =0, 𝑥𝑦 (−1,0) 𝐶 =𝑓′′(−1,0)=−2𝑒−𝑥| =−2𝑒, 𝑦𝑦 (−1,0) 由已知,有𝐴𝐶−𝐵2 =−2𝑒2(−3𝑎+𝑏)>0，𝐴<0，故 𝑎 >0，𝑏 =2𝑎. 当𝑎 =0，𝑏 =0时，𝐴𝐶−𝐵2 =0，此时𝑓(𝑥,𝑦)=−𝑦2𝑒−𝑥 ≤𝑓(−1,0)=0，不满足极值 的定义，故𝑓(−1,0)不是极大值. 综上所述，𝑎,𝑏满足的条件为𝑎 >0，𝑏 =2𝑎. [易错点]：求偏导数时计算错误，分析二阶偏导数判别式及特殊情况𝑎 =0时逻辑遗漏，导 致条件判断失误。6.（数一二三）设𝐷 ={(𝑥,𝑦)| 𝑥 ≤𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑥 , 𝑦 ≤𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑦 },则 𝐼 =∬ 1 d𝑥d𝑦 =______. 4 2 4 2 𝐷 𝑥𝑦 [知识点]：极坐标及积分区域的对称性 [解析]：答案：(ln2)2 利用极坐标求解. 如图所示，𝐷关于𝑦=𝑥对称，且 1 1 1 1 𝐷: cos𝜃 ≤𝑟 ≤ cos𝜃， sin𝜃 ≤𝑟 ≤ sin𝜃， 4 2 4 2 1 𝑟 = sin𝜃, 故由{ 2 解得𝜃 =arctan 1 ，故 𝑟 = 1 cos𝜃 2 4 𝜋 1 1 4 2 sin𝜃 𝑑𝑟 𝐼 =∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦=2∫ 𝑑𝜃∫ 𝑥𝑦 1 1 𝑟sin𝜃cos𝜃 arctan cos𝜃 𝐷 2 4 𝜋 1 1 sin𝜃 =2∫4 ln2 𝑑𝜃 arctan 1sin𝜃cos𝜃 1 cos𝜃 2 4 𝜋 4 1 =2∫ ln(2tan𝜃)𝑑(tan𝜃) 1tan𝜃 arctan 2 =(ln2)2. [易错点]：极坐标下积分限确定错误，变量代换时导数计算或积分运算失误，影响最终结果。7.（数一二三）设𝐴是3阶实对称矩阵，𝛼 =(−1,1,1)𝑇满足(𝐴−2𝐸)𝛼 =0，且𝑟(𝐴)=1. 𝑘 ,𝑘 1 2 为任意常数，则方程组𝐴𝑋 =0的通解为______. A. 𝑘 (1,1,0)𝑇+𝑘 (1,−1,0)𝑇 B. 𝑘 (1,1,0)𝑇+𝑘 (1,0,1)𝑇 1 2 1 2 C. 𝑘 (1,1,0)𝑇+𝑘 (1,1,1)𝑇 D. 𝑘 (1,1,0)𝑇+𝑘 (1,0,−1)𝑇 1 2 1 2 [知识点]：实对称矩阵的特征值、特征向量性质 [解析]：答案：B. 由(𝐴−2𝐸)α=0,得𝐴𝛼 =2α ,𝜆 =2为𝐴的特征值，α =α=(−1,1,1)T是其对应的特 1 1 征向量. 又由A是实对称矩阵，且𝑟(A)=1,知 𝐴 ∼𝛬 =𝑑𝑖𝑎𝑔(2,0,0)， 即𝜆 =𝜆 =0是A的二重特征值. 令其对应的特征向量为β=(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )T,则 2 3 1 2 3 αTβ=−𝑥 +𝑥 +𝑥 =0, 1 1 2 3 解得β =(1,1,0)T，β =(1,0,1)T. 故有 1 2 (0E−A)β =−Aβ =0，(0E−A)β =−Aβ =0， 1 1 2 2 即 Aβ =0，Aβ =0, 1 2 又3−𝑟(A)=2，所以β ,β 是𝐴𝑋 =0的基础解系. 选项B正确. 1 2 由于选项A,C,D中存在与α=(−1,1,1)T不正交的向量，故排除. [易错点]：判断特征向量是否正交时计算错误，或对实对称矩阵秩与特征值的关系把握不准， 导致基础解系选择错误。