第一章测试卷答案_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_04.寒假集训营_第一章求极限_课程作业+测试

第一章测试卷答案 求解下列各题(每题10分,共100分)  3 1  1.【解】limx sinln(1 )sinln(1 )   x  x x  3 1 limxsinln(1 ) limxsinln(1 ) x x x x 3 1 limx( ) limx( ) x x x x 2 m1xn 1x 1 2.【解1】lim x0 x m1xn 1x m1x m1x 1 lim lim x0 x x0 x x n 1x 1 m lim lim x0 x x0 x x    n lim    x0 x m n m m1xn 1x 1 【解2】lim x0 x x x [1 (x)][1 (x)]1 m n lim (泰勒公式) x0 x x x  (x) m n lim x0 x     m n m1xn 1x 1 【解3】lim x0 x  1 1  1 1 (1x)m n 1x  (1x)n m1x m n lim (洛必达法则) x0 1     m n 1ex2 e22cosx e22cosx[ex222cosx 1] 3.【解1】lim lim x0 x4 x0 x4 x2 22cosx lim （极限非零的因子极限先求出来，等价代换） x0 x4 x2 x4 x2 22[1  (x4)] 2! 4! lim （泰勒公式） x0 x4 1  12 ex2 e22cosx e[x2 22cosx] 【解2】lim lim （拉格朗日定理） x0 x4 x0 x4 x2 22cosx 2x2sinx lim lim (洛必达法则) x0 x4 x0 4x3 1 x3 1 6  lim 2 x0 x3 1  12 (1sinx2)x (cosx)sinx 4.【解】lim x0 x3 (1sinx2)x 1 (cosx)sinx 1 lim lim x0 x3 x0 x3 xsinx2 [1(cosx1)]sinx 1 lim lim x0 x3 x0 x3 (cosx1)sinx 1lim x0 x3 1 ( x2)x 3 2 1lim  x0 x3 2 5.【解1】当x0时，ln(x 1x2)~ x, 1 1 ln(1 x)ln(x 1 x2) lim[  ]lim x0 ln(x 1 x2) ln(1 x) x0 ln(1 x)ln(x 1 x2) ln(1 x)ln(x 1 x2) lim x0 x2 21 1  1x 1x2 lim (洛必达法则) x0 2x 1 1  1 x 1 x2 1 x2 1x 1 lim lim  x0 2x x0 2x 2 【解2】当x0时，ln(x 1x2)~ x, 1 1 ln(1 x)ln(x 1 x2) lim[  ]lim x0 ln(x 1 x2) ln(1 x) x0 ln(1 x)ln(x 1 x2) ln(1 x)ln(x 1 x2) lim x0 x2 1 (1 1x2)  lim （拉格朗日中值定理） x0 x2 1  x2 1 2 lim  x0 x2 2 1 1 x x  [t2(et 1)t]dt  [t2(et 1)t]dt 6.【解1】 lim 1  lim 1 （等价无穷小代换） x x2ln(1 1 ) x x2 1 x x 1  lim[x2(ex 1) x] （洛必达法则） x 1 t x et 1t  lim （变量代换） t0 t2 et 1  lim （洛必达法则） t0 2t 1  2 1 1 x x  [t2(et 1)t]dt  [t2(et 1)t]dt 【解2】 lim 1  lim 1 （等价无穷小代换） x x2ln(1 1 ) x x2 1 x x 1  lim[x2(ex 1) x] （洛必达法则） x 31 1 1  lim[x2(  ( )) x] （泰勒公式） x x 2!x2 x2 1  2 1 ln(cos2x2xsinx) lim 7.【解1】因为lim(cos2x2xsinx)x4 ex0 x4 x0 ln(cos2x2xsinx) 1 2sin2x2sinx2xcosx 且lim lim  x0 x4 x0 cos2x2xsinx 4x3 2cos2x2cosxxsinx lim x0 6x2 4sin2x3sinxxcosx lim x0 12x 1  3 1 1 所以lim(cos2x2xsinx)x4 e3. x0 1 【解2】 原式lim[12sin2 x2xsinx]x4 x0 2sin2 x2xsinx 2sinx(xsinx) lim lim x0 x4 x0 x4 x3 2x 6 lim （等价无穷小代换） x0 x4 1  3 1 原式e3 8.【解】 lim(cotx)sin2x  limesin2xlncotx x0 x0 limsin2xlncotx  lim2xlncotx x0 x0 lnsinx 2lim x0 1 x cotx 2lim （洛必达法则） x0  1 x2 x2 2lim 0 x0 tanx 4则 lim(cotx)sin2x e0 1. x0 b 9.【解1】由 lim[xaln(1 )x]c可知 x x  b  xaln(1 )   x lim  1 0 x  x    b xaln(1 ) bxa x 即 1 lim  lim x x x x2 则a 2,b1. b 1 c lim[xaln(1 )x]  lim[x2ln(1 ) x] x x x x 1 1  lim x2[ln(1 ) ] x x x 1 1 1  lim x2[ ( )2]  x 2 x 2 b 【解2】c  lim[xaln(1 )x] x x b b2 1  lim[xa(  ( )2)x] （泰勒公式） x x 2x2 x 1 由此可知a 2,b1,c  . 2  x 1   1 1 1 1  10.【解】 lim(x3 x2  )ex  1x6   lim x3 (1  )ex  1  x 2  x  x 2x2 x6   1 1  1 1   lim x3 (1  )e x 1  x  x 2x2 x6   1 1 1 1 1 1 1 1   lim x3 (1  )[1   ( )][1( )]   x  x 2x2 x 2x2 3!x3 x3 x3  1 1 1  1  lim x3 ( )    x 3！x3 x3  6 5