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2024-2025 学年度第一学期期中考试
高一数学试题（A）
2024.11
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1.下列命题与“ ， ”的表述意义一致的是
A.有且只有一个实数 ，使得 成立
B.有些实数 ，使得 成立
C.不存在实数 ，使得 成立
D.有无数个实数 ，使得 成立
2.设函数 ，则下列说法不正确的是
A. 的定义域为 B. 的单调递增区间为
C. 的最小值为0 D. 的图象关于 对称
3.函数 的定义域为
A. B.
C. D.
4.已知 ， 是两个不相等的实数，满足 ， ， ，则A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知 ， ，若 是 的必要不充分条件，则正实数 的取值范围是
A. B. C. D.
6.设函数 若 ，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
7.已知符号函数 若 ，则关于 的说法，正确的是
A.奇函数，在 和 单调递增
B.奇函数，在 和 单调递减
C.偶函数，在 单调递增，在 单调递减
D.偶函数，在 单调递减，在 单调递增
8.设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如果 ， ，那么下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.10. 已 知 函 数 ， ， 记 则 下 列 关 于 函 数
的说法正确的是
A.当 时，
B.函数 的最小值为 ，无最大值
C.函数 在 上单调递减
D.若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根，则 或
11.对于任意实数 ，函数 满足：当 时， ，则
A. B. 的值域为
C. 在区间 上单调递增 D. 的图象关于点 对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知命题 ：“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为_____.
13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数 称为高斯函
数 ， 其 中 ， 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 ， 例 如 ： ， . 已 知 函 数
，则函数 的值域是_________.
14.若不等式 对一切实数 均成立，则实数 的取值范围为_____.若存在实数 ，使得关
于 的方程 在上述范围有两个不相等的实数解，则实数 的取值范围为
_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知集合 ， .（1）若 ，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求 的取值范围.
16.（15分）已知函数 .
（1）解关于 的不等式 ；
（2） ， ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.
17.（15分）已知函数 对于任意实数 ， ，都有 ，且 .
（1）求 ， 的值；
（2）证明：点 是曲线 的一个对称中心；
（ 3 ） 求
的值.
18.（17分）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋
糕单价为 元，朱古力蜂果蛋糕单价为 元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为 个，花费记为 ；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为 个，花费记为 .
（其中 ， ）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若 ， ， ， 同时满足关系 ， ，求这两种购买方案花费的差值
的最小值（注：差值 =花费较大值﹣花费较小值）.
19.（17分）已知函数 与 的定义域均为 ，若对任意区间 ，存在
且 ，使 ，则 是 的生成函数.（1）求证： 是 的生成函数；
（2）若 是 的生成函数，判断并证明 的单调性；
（3）若 是 的生成函数，实数 ，求 的一个生成函数.高一数学试题（A）参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1-8 C B C A B C D B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AD 10.ABD 11.BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14. （2分） （3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）因为 ，
所以 ， ……1分
所以 ， ……2分
所以 ， ……3分
因为 ，所以 ，
所以 ，当 时， ， ……6分
； ……8分
（2）因为 是 的充分条件，
所以 ， ……10分
所以即 ，
所以 的取值范围为 . ……13分
16.（15分）
解：（1） ，即 ，即 ，……2分
所以当 时，解集为 ； ……3分
当 时，解集为 ； ……4分
当 时，解集为 ； ……5分
（2）因为对 ， ，都有 恒成立，
所以 ， ……6分
当 时，即 时， ， ，
所以 ，所以 ，故 ， ……8分
当 时，即 时， ， ，
所以 ，故 ， ……10分
当 时，即 时， ，
，
所以 ，故 ， ……12分
当 时，即 时， ，
，所以由 ，故 . ……14分
所以 .
所以 的取值范围为 . ……15分
17.（15分）
解：（1）令 ，有 ，得 ；……2分
令 有 ，又 ，所以 ；……5分
（2）令 ，则有 即 ，……8分
所以曲线 是中心对称图形，对称中心为 ； ……10分
（3）由（2）知 ，所以
…….15分
18.（17分）
解：（1）方案一的总费用为 ， ……1分
方案二的总费用为 （元）， ……2分
，……4分
又因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ， ……6分
所以采用方案二，花费更少； ……7分
（2）由（1）可知 ， ……8分
令 ，则 ，
所以 ，当 ，即 ， 时，等号成立； … …
11分又因为 ， ， ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立， ……14分
所以差值 的最小值为 ，
当且仅当 ， ， ， 时等号成立，
所以两种方案花费的差值 的最小值为24元. ……17分
19.（17分）
解：（1） ， ，且 ，
， ……3分
，
由 ，得 ，则存在 ， ， ， ，
满足 ，
所以 是 的生成函数； ……5分
（2）因为 是 的生成函数，
所以对任意区间 ，存在 且 ， ……6分
，即 ， ……8分
，得 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 在 上单调递增. ……10分
（3） ， ，且 ，设 ， ，则 ，， ……11分
当 时， 的值域为 ，对任意区间 ，存在 且 ，
使得 且 ，满足
，
即 ，
此时， 是 的一个生成函数. ……14分
同理，当 时， 的值域为 ，对任意区间 ，存在 且
，使得 且 ，满足
即 ，
此时， 是 的一个生成函数， ……16分
综上， 是 的一个生成函数. ……17分
