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雅礼教育集团 2024 年下学期期末考试试卷
高一数学
时量：120分钟 分值：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．）
1． 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，若 ，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生
植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年 的比例增加，若该地的猪血木数量超
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过2000株至少需要经过 年，则 （ ）．（参考数据： ， ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．已知函数 在区间 上是增函数，若函数 在 上的图象与直线 有且仅
有一个交点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列说法错误的有（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B． 是 的必要不充分条件
C． 的单调递减区间为
D．函数 且 的图象恒过定点 .
10．已知函数 的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是 的最小值
C． 在区间 上的值域为
D．把函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，可得到函数 的图象
11．已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为
B． 在区间 上单调递增
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C． 的图象关于点 对称
D．
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12． .
13．已知函数 ，若关于 的方程 恰有三个实数根，则 的取值范围为．
14．已知函数 ，当 时 恒成立，则 的最小值为.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
15．（满分13分）已知集合 ，集合 .
（1）命题 ，命题 ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
（2）若 ；求实数 的取值范围.
16．（满分15分）已知函数 ．
（1）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明；
（2）利用函数的单调性和奇偶性，解不等式 ．
17．（满分15分）设函数
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）当 时，函数 的最大值为 ，求实数 的值．
18．（满分17分）已知函数
（1）当 时，解不等式： ；
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（2）当 时，存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得函数 在 上的最大值为 ，若存在，请求出 的值；若不
存在，请说明理由．
19．（满分17分）设n次多项式 ，若其满足 ，则称这
些多项式 为切比雪夫多项式. 例如：由 可得切比雪夫多项式 ，由
可得切比雪夫多项式 .
（1）若切比雪夫多项式 ，结合 ，求实数a，b，c，d的值；
（2）利用 ，结合（1）的结论，求 的值；
（3）已知函数 在区间 上有3个不同的零点，分别记为 ，求 的值.
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雅礼教育集团 2024 年下学期期末考试试卷（答案）
高一数学
1【答案】D
2【答案】A
3 【答案】C
4【答案】B
5【答案】B
6【答案】C
7【答案】B
8【答案】D
9【答案】CD
10【答案】ABD
11【答案】BCD
12【答案】1
13【答案】
14【答案】
15.【答案】（1） ；（2） .
16【答案】(1) 在 上的单调递增，证明见详解 (2)
17*．【答案】(1)答案见解析(2)最小值为2；
【详解】（1）
……5分
，解得 ，
所以 的递增区间为 ……8分
（2）由（1）知 ，
，所以 ，令 ，
则 在 上单调递增，在 单调递减，
所以 ， ，所以 ，所以 …………15分
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18．【答案】(1) (2) (3)不存在 ，使得结论成立，理由见解析
【详解】（1）由已知得 ，因为 是增函数，所以 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ……4分
（2）由题意令 ，因为 ，所以 ，
所以不等式 在 上有解，即 在 上有解，
分离参数得 ，因为 ，当且仅当 时取等号，
则要使原不等式有解，只需 即可，即实数 的取值范围为 ； ……10分
（3）首先要使函数在 上有意义，需 ，所以 ，
易知函数 在 上的最大值必在端点处产生，
故只需 ，或 ，
由①得 或4，由②得 ，故无解，舍去；
由④得 或 ，由③得 ，故无解，舍去；
综上可知，不存在a使结论成立． ……17分
19．【详解】（1）依题意，
，
因此 ，即 ，则 .
（2）因为 ，
因为 ， ，即 ，
因为 ，解得 （ 舍）. ……10分
（3）函数 在区间 上有3个不同的零点 ，
即方程 在区间 上有3个不同的实根，
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令 ，由 知 ，而 ，则 或 或 ，
于是 ，
则 ，
而 ，所以 ……17分
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