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特征值与⼆次型
1. （5分）设 为 阶实对称矩阵，且 .若 的秩为3，则 相似于（ ）.
A.
B.
C.
D.
2. （5分）与 阶可逆矩阵 必有相同特征值的矩阵是
A. B. C. D.
3. （5分）
已知 是四阶方阵 的三个不同
特征值分别对应的特征向量 则 的取值为
A. B. C.
D.
且
4. （5分）下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是
第1页共8页A.
B.
C.
D.
5. （5分）
设 , 则 与 .
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同且不相似
6. （5分） 设 为 2 阶实矩阵, , 则矩阵 .
A. 可对⻆化 B. 不可对⻆化 C. 与反对称阵相似 D. 以上都不对
7. （5分）设 是秩为1的3阶实对称矩阵, 是 的特征值,对应特征向量为 ,
则⽅程组 的基础解系为（ ）.
A. B.
C. D.
8. （5分） 当 满⾜ ( ) 时, ⼆次型
为正定⼆次型.
A. B. C. D.
9. （5分） ⼆次型 的标准形可以是
.
A. B. C. D.
10. （5分） 对于⼆次型 经正交变换化为 , 则⼆次型
的正惯性指数为.
第2页共8页A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. （5分） 设 是 3 阶实对称矩阵, 满⾜ , 且 , 那么 相似于对⻆阵
.
12. （5分）
已知矩阵 与 相似 则 为 为
13. （5分） 实⼆次型 的秩为
.
14. （5分） 已知 3 阶矩阵 的 3 个特征值分别为 , 则 .
15. （5分） 设 是 3 阶实对称矩阵, 且满⾜ , 若 是正定矩
阵, 则 的取值范围是 .
16. （9分）
设矩阵 满足 对任意 均有
求
求可逆矩阵 与对角矩阵 使得
17. （7分）
用配方法化 为标准形 并写出相应的可逆线性变换
18. （9分） 设⼆次型 , 矩阵
满⾜ , 其中 .
(1)⽤正交变换化⼆次型 为标准形, 并写出所⽤正交变换;
(2)判断矩阵 和 是否合同.
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