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2021 年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1
的倒数是()
2
1.
1 1
A. 2 B. -2 C. D. -
2 2
计算(m2
)
3的结果是()
2.
A. m5 B. m6 C. m8 D. m9
如图是某几何体的三视图，该几何体是()
3.
A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是()
4.
A. 它是轴对称图形，不是中心对称图形
B. 它是中心对称图形，不是轴对称图形
C. 它既是轴对称图形，也是中心对称图形
D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC=60°，则∠OAB
5. 的度数是()
A. 20°
B. 25°C. 30°
D. 35°
以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转
6.
1
盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 ，则对应的转盘是()
3
A. B. C. D.
已知二次函数y=(a-1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是()
7.
A. a>0 B. a>1 C. a≠1 D. a<1
为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控.该商品的价格y (元/件)随时
1
8.
间t(天)的变化如图所示，设y (元/件)表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y 随t变化的图
2 2
象大致是()
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2 2A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共20分）
√327=______．
9.
计算：2a2-(a2+2)= ______ ．
10.
分解因式：x2-4 y2=______．
11.
近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者.截至
12. 2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上.数据819000用科学记数法表示为
______ ．
数轴上的点A、B分别表示-3、2，则点______ 离原点的距离较近(填“A”或“B”)．
13.
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上.若BC=3，
14. 则点A的坐标是______ ．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE//AB，则
15. ∠AED= ______ °.
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示，
16. 在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分
割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=2，则△ABC的面积是______ ．
如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内.若四边形CDFE
17. 是边长为1的正方形，则sin∠FBA= ______ ．
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4 2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1，D是AB上
18. 一点(点D与点A不重合).若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和
点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
计算：❑√4-(-1) 2-(π-1) 0+2-1．
19.
解方程组和不等式组：
20.
{ x+ y=0
(1) ；
2x- y=3
{3x+6>0
(2) ．
x-2<-x为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃
21. 圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理.调查小组就某小区
居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．
(1)本次调查的样本容量是______ ；
(2)补全条形统计图；
(3)已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．
在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直
22. 角；③四边形ABCD的对角线相等.将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
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6 2(1)搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是______ ；
(2)搅匀后先从中任意抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中任意抽出1支签.四边形ABCD同时
满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．
如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//DE，AB=DE，BF=CE．
23. (1)求证：△ABC △≝¿；
(2)将△ABC沿直≌线l翻折得到△A'BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A'BC(保留作图痕迹，不要求写作法)；
②连接A'D，则直线A'D与l的位置关系是______ ．
为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头.已知该景
24. 点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天.该景点在设施改造后
平均每天用水多少吨？1
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y= x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比
2
25.
k
例函数y= (x>0)的图象交于点C，连接OC.已知点A(-4,0)，AB=2BC．
x
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积．
【阅读】
26. 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最
值，这是“数形结合”思想的典型应用．
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8 2【理解】
(1)如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE.已知AD=a，
BD=b(0”)，并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
1
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y= (x>0)的图象上，横坐标分别为
x
1 1 1
m、n.设p=m+n，q= + ，记l= pq．
m n 4
①当m=1，n=2时，l= ______ ；当m=3，n=3时，l= ______ ；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是______ .请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
在平面直角坐标系xOy中，对于A、A'两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA'=90°，且
27. TA=TA'，则称A、A'两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点M(-2,0)、
N(-1,0)，点Q(m,n)在一次函数y=-2x+1的图象上．
(1)①如图，在点B(2,0)、C(0,-1)、D(-2,-2)中，点M的关联点是______ (填“B”、“C”或“D”)；
②若在线段MN上存在点P(1,1)的关联点P'，则点P'的坐标是______ ；
(2)若在线段MN上存在点Q的关联点Q'，求实数m的取值范围；
(3)分别以点E(4,2)、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q.若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存
在点G'，使得G、G'两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
1
如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx(k≠0)和二次函数y=- x2+bx+3的图象都经
4
28.
过点A(4,3)和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上一点(点D与点A、O、B不重
合)，E是射线AC上一点，且AE=OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、
DF为邻边作▱DEGF．
(1)填空：k= ______ ，b= ______ ；
(2)设点D的横坐标是t(t>0)，连接EF.若∠FGE=∠DFE，求t的值；
1
(3)过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S = S ，求OD的长．
△DFP 3 ▱DEGF
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10 2答案和解析
1.【答案】A
1
【解析】解： 的倒数是2，
2
故选：A．
根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】B
【解析】解：(m2
)
3=m2×3=m6．
故选：B．
幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此计算即可．
本题考查了幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：一个几何体的三视图都是圆，这个几何体是球．
故选：D．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
4.【答案】A
【解析】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对
称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形．据此判断即可．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
5.【答案】C
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12 2【解析】解：∵∠AOC=60°，
1
∴∠B= ∠AOC=30°，
2
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=30°，
故选：C．
根据圆周角定理直接来求∠B的度数，进而解答即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．
6.【答案】D
【解析】解：A.∵圆被等分成2份，其中阴影部分占1份，
1
∴落在阴影区域的概率为： ，故此选项不合题意；
2
B.∵圆被等分成4份，其中阴影部分占1份，
1
∴落在阴影区域的概率为： ，故此选项不合题意；
4
C.∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，
1
∴落在阴影区域的概率为： ，故此选项不合题意；
5
D.∵圆被等分成6份，其中阴影部分占2份，
2 1
∴落在阴影区域的概率为： = ，故此选项符合题意；
6 3
故选：D．
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概
率．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；
然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
7.【答案】B【解析】解：∵二次函数y=(a-1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，
∴a-1>0，
∴a>1，
故选：B．
由二次函数的性质得a-1>0，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由商品的价格y (元/件)随时间t(天)的变化图得：商品的价格从5增长到15，然后保持15
1
不变，一段时间后又下降到5，
∴第1天到第t天该商品的平均价格变化的规律是先快后慢的增长，最后又短时间下降，但是平均价格始
终小于15．
故选：A．
根据商品的价格y (元/件)随时间t(天)的变化图分析得出y 随t变化的规律即可求出答案．
1 2
本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上
的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
9.【答案】3
【解析】解：∵33=27，
∴√327=3；
故答案为：3．
33=27，根据立方根的定义即可求出结果．
本题考查了立方根的定义；掌握开立方和立方互为逆运算是解题的关键．
10.【答案】a2-2
【解析】解：原式=2a2-a2-2=a2-2，
故答案为：a2-2．
整式的加减混合运算，先去括号，然后合并同类项进行化简．
本题考查整式的加减运算，掌握去括号法则是解题基础．
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14 211.【答案】(x+2y)(x-2y)
【解析】解：x2-4 y2=(x+2y)(x-2y)．
故答案为：(x+2y)(x-2y)．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12.【答案】8.19×105
【解析】解：819000=8.19×105．
故答案是：8.19×105．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位
数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是
解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：数轴上的点A、B分别表示-3、2，
∵|-3|=3，|2|=2，3>2，
∴则点B离原点的距离较近．
故答案为：B．
利用数轴，我们把数和点对应起来，根据绝对值越小离原点越近解题即可．
本题考查了有理数大小比较，理解绝对值的含义，利用数形结合思想解题是关键．
14.【答案】(3,0)
【解析】解：∵四边形OABC是平行四边形，BC=3，
∴OA=BC=3，
∵点A在x轴上，
∴点A的坐标为(3,0)，
故答案为：(3,0)．
根据平行四边形的性质得到OA=BC，然后根据BC的长求得OA的长，从而确定点A的坐标即可．考查了平行四边形的性质，解题的关键是能够根据平行四边形的对边相等得到OA的长，难度不大．
15.【答案】100
【解析】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵DE//AB，
∴∠A+∠AED=180°，
∴∠AED=180°-80°=100°．
故答案为：100．
利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°和两直线
平行，同旁内角互补．
16.【答案】12
【解析】解：由题意，BG=CH=AF=2，DG=DF，EF=EH，
∴DG+EH=DE=3，
∴BC=GH=3+3=6，
∴△ABC的边BC上的高为4，
1
∴S = ×6×4=12，
△ABC 2
故答案为：12．
根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读
懂图象信息，属于中考常考题型．
❑√10
17.【答案】
10
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16 2【解析】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，
∵四边形CDFE是边长为1的正方形，
∴CD=CE=DF=EF=1，∠C=∠ADF=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AD=2，BE=3，
∴AB=❑√AC2+BC2=5，AF=❑√AD2+DF2=❑√5，BF=❑√BE2+EF2=❑√10，
设BG=x，
∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，
∴5-(5-x) 2=10-x2，解得：x=3，
∴FG=❑√BF2-BG2=1，
FG ❑√10
∴sin∠FBA= = ．
BF 10
❑√10
故答案为： ．
10
连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD=2，BE=3，根据勾股
定理求出AB=5，AF=❑√5，BF=❑√10，设BG=x，利用勾股定理求出x=3，可得FG=1，即可得
sin∠FBA的值．
此题综合考查了正方形、锐角三角函数的定义及勾股定理．根据勾股定理求出BG的长是解题的关键．
4
18.【答案】 0，得：x>-2，
解不等式x-2<-x，得：x<1，则不等式组的解集为-20)的图象上，
x
∴k=2×3=6；
(2)作CE⊥x轴于E，
1 1
S = ×OA×CE= ×4×3=6．
△AOC 2 2
1
【解析】(1)由点A(-4,0)在一次函数y= x+b的图象上，代入求得b=2，作CD⊥y轴于D，则
2
△ABO △CBD，得出C的横坐标为2，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
∽(2)根据三角形的面积公式代入计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形相似的判定与性质，作出C的坐标是解题的
关键．
9
26.【答案】> 1 1
8
【解析】解：(1)①如图1中，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ADC △CDB，
∽
AD CD
∴ = ，
CD DB
∴CD2=AD⋅DB，
∵AD=a，DB=b，CD>0，
∴CD=❑√ab，
∵∠ACB=90°，AE=EB，
1 1
∴EC= AB= (a+b)，
2 2
②∵CD⊥AB，
1
∴根据垂线段最短可知，CD❑√ab，
2
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24 2∴a+b>2❑√ab，
故答案为：>．
9
(2)①当m=1，n=2时，l= ；当m=3，n=3时，l=1，
8
9
故答案为： ，1．
8
②猜想：l的最小值为1．
故答案为：1．
理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于
1 1
+
F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则 m+n m n ，
J( , )
2 2
∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，
∴矩形JCOG的面积>1，
当m=n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积=1，
∴矩形JCOG的面积≥1，
1 1
+
m+n m n ，
∴ ⋅ ≥1
2 2
即l≥1，∴l的最小值为1．
(1)①利用相似三角形的性质求出CD，利用直角三角形斜边中线的性质求出EC．
②根据垂线段最短，可得结论．
(2)①根据m，n的值代入计算即可．
②如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连
1 1
+
接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则 m+n m n ，根据反比例函
J( , )
2 2
数k的几何意义，求解即可．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中
线的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数k的几何意义，属于中考压轴题．
27.【答案】B (-2,0)
【解析】解：(1)如图1中，
①如图1中，取点T(0,2)，连接MT，BT，
∵M(-2,0)，B(2,0)，
∴OT=OM=OB=2，
∴△TBM是等腰直角三角形，
∴在点B(2,0)、C(0,-1)、D(-2,-2)中，点M的关联点是点B，
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26 2故答案为：B．
②取点T(0,-1)，连接MT，PT，则△MTP是等腰直角三角形，
∴线段MN上存在点P(1,1)的关联点P'，则点P'的坐标是(-2,0)，
故答案为：(-2,0)．
(2)如图2-1中，当M，Q是互相关联点，设Q(m,-2m+1)，△MTQ是等腰直角三角形，
过点Q作QH⊥y轴于H，
∵∠QHT=∠MOT=∠MTQ=90°，
∴∠MTO+∠QTH=90°，∠QTH+∠TQH=90°，
∴∠MTO=∠TQH，
∵TM=TQ，
∴△MOT △THQ(AAS)，
∴QH=¿=-≌m，TH=OM=2，
∴-2m+1=2-m，
∴m=-1．
如图2-2中，当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，此时m=0，观察图象可知，当-1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q'，
如图2-3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等腰直角三角形，设Q(m,-2m+1)，
过点Q作QH⊥y轴于H，同法可证△NOT △THQ(AAS)，
∴QH=¿=m，TH=OM=1≌，
∴1-2m+1=m，
2
∴m= ．
3
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28 2如图2-4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，同法可得m=1，
2
观察图象可知，当 ≤m≤1时，在线段MN上存在点Q的关联点Q'，
3
2
综上所述，满足条件的m的值为-2≤m≤0或 ≤m≤1．
3
解法二：在MN上任取一点Q'，然后作出Q‘的两个关联点Q1和Q2，其中Q1在第二象限，Q2在第四象
限，则可以求出Q'的坐标是分别是(m-1,0)、(1-3m,0)，再根据-2≤x≤-1可以求出m的取值范围．
(3)如图3-1中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E
作EG⊥OH于G.设Q(t,-2t+1)．∵∠QHT=∠EGT=∠QTE=90°，
∴∠QTH+∠ETG=90°，∠ETG+∠GET=90°，
∴∠HTQ=∠GET，
∵TQ=TE，
∴△THQ △EGT(AAS)，
∴QH=TG=≌-t，TH=EG=4，
∵OH=-2t+1，OG=2，
∴-2t+1-4=2+t，
5
∴t=- ，
3
5 13
∴Q(- , ). 如图3-2中，由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，
3 3
过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G.设Q(t,-2t+1)．
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30 2∵∠QHT=∠EGT=∠QTE=90°，
∴∠QTH+∠ETG=90°，∠ETG+∠GET=90°，
∴∠HTQ=∠GET，
∵TQ=TE，
∴△THQ △EGT(AAS)，
∴QH=TG≌=t，TH=EG=4，
∵OH=2t-1，OG=2，
∴2t-1-4=t-2，
∴t=3，
∴Q(3,-5)．
5 13
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(- , )或(3,-5)．
3 3
(1)①根据关联点的定义判断即可．
②构造等腰直角三角形PTM，可得结论．
(2)如图2-1中，当M，Q是互相关联点，设Q(m,-2m+1)，△MTQ是等腰直角三角形，如图2-2中，
当N，Q是互相关联点，△NOQ是等腰直角三角形，如图2-3中，当N，Q是互相关联点，△NTQ是等
腰直角三角形，如图2-4中，当M，Q是互相关联点，△MTQ是等腰直角三角形，分别求出四种特殊位
置的m的值可得结论．
(3)由题意，当点Q，点E是互为关联点时，满足条件，过点Q作QH⊥y轴于H，过点E作EG⊥OH于G.设Q(t,-2t+1).分两种情形，构造全等三角形，利用全等三角形的性质构建方程解决问题即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，A、A'两
点互相关联的定义等知识，解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构
造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
3
28.【答案】 1
4
【解析】解：(1)∵正比例函数y=kx(k≠0)经过A(4,3)，
∴3=4k，
3
∴k= ，
4
1
∵二次函数y=- x2+bx+3的图象经过点A(4,3)，
4
1
∴3=- ×42+4b+3，
4
∴b=1，
3
故答案为： ，1．
4
(2)如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．
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32 2∵四边形DEGF是平行四边形，
∴∠G=∠EDF∵∠EGF=∠EFD，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
∵EP⊥DF，
∴PD=PF，
3
∵D(t, t)，
4
5
∴OD=AE= t，
4
∵AC⊥AB，
∴∠OAC=90°，
3
∴tan∠AOC= ，
4
∵OA=❑√32+42=5，
15 3 25
∴AC=OA⋅tan∠AOC= ，OC=AC× = ，
4 5 4
15 5
∴EC=AC-AE= - t，
4 4
4
∵tan∠ACO= ，
3∴点E的纵坐标为3-t，
1
∵F(t,- t2+t+3)，PF=PD，
4
1 3
- t2+t+3+ t
4 4 ，
∴ =3-t
2
15-❑√177 15+❑√177
解得t= 或 (舍弃)．
2 2
15-❑√177
∴满足条件的t的值为 ．
2
1
(3)如图2中，因为点D在线段AB上，S = S ，所以DP=2PE，观察图象可知，点D只能在
△DFP 3 ▱DEGF
第一象限，
设PF交AB于J，
∵AC⊥AB，PF⊥AB，
∴PJ//AE，
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34 2∴DJ：AJ=DP：PE=2，
3 1
∵D(t, t)，F(t,- t2+t+3)，
4 4
5 1 3 1 1
∴OD= t，DF=- t2+t+3- t=- t2+ t+3，
4 4 4 4 4
3 3 3 9 1 3 3 9
∴DJ= DF=- t2+ t+ ，AJ= DJ=- t2+ t+ ，
5 20 20 5 2 40 40 10
∵OA=5，
5 3 3 9 3 3 9
∴ t- t2+ t+ - t2+ t+ =5，
4 20 20 5 40 40 10
整理得9t2-59t+92=0，
23
解得t= 或4(舍弃)，
9
5 115
∴OD= t= ．
4 36
(1)利用待定系数法可得结论．
(2)如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF.证明EF=ED，推出PF=PD，求出点D，F的坐标，
点E的纵坐标，构建方程可得结论．
(3)如图2中，首先判断点D只能在第一象限，设PF交AB于J，再证明DP=2PE，推出DJ=2JA，用
t表示出OD，DJ，JA的长，构建方程，即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，解直角三角形等
知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
