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2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C．﹣i D．i
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（
）
A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|
3．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是
（ ）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
4．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同
学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧
视图可以为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C
交于 A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（5分） 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数
项为（ ）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
9．（5分）由曲线y= ，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．6
10．（5分）已知 与 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P ：| + |
1
＞1 θ [0， ）；P ：| + |＞1 θ （ ，π]；P ：| ﹣ |＞
2 3
⇔ ∈ ⇔ ∈
1 θ [0， ）；P ：| ﹣ |＞1 θ （ ，π]；其中的真命题是（ ）
4
⇔ ∈ ⇔ ∈
A．P ，P B．P ，P C．P ，P D．P ，P
1 4 1 3 2 3 2 4
11．（5分）设函数 f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ） 的
最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）A．f（x）在 单调递减 B．f（x）在（ ， ）单调递减
C．f（x）在（0， ）单调递增 D．f（x）在（ ， ）单调递增
12．（5分）函数y= 的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交
点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最小值为
．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F F 在x轴上，
1 2
离心率为 ．过F 的直线交于A，B两点，且△ABF 的周长为16，那么C的
l 2
方程为 ．
15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4的球O的球面上，且AB=6，
BC=2 ，则棱锥O﹣ABCD的体积为 ．
16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC= ，则AB+2BC的最大值为 ．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）等比数列{a }的各项均为正数，且2a +3a =1，a 2=9a a ，
n 1 2 3 2 6
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设b =log a +log a +…+log a ，求数列{ }的前n项和．
n 3 1 3 2 3 n
18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量
越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分
别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件
产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的
关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列
及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质
量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=
﹣3上，M点满足 ∥ ， = • ，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的
切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞ + ，求k的取值范围．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的
顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
23．在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为 （α为参数）M
1
是C 上的动点，P点满足 =2 ，P点的轨迹为曲线C
1 2
（Ⅰ）求C 的方程；
2
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ= 与C 的异
1
于极点的交点为A，与C 的异于极点的交点为B，求|AB|．
2
24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
