文档内容
2016年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题
1．（5分）（2016•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，
2，4}，则（∁U P）∪Q=（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足
m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．（5分）（2016•浙江）函数y=sinx2的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2016•浙江）若平面区域 ，夹在两条斜率为1的平行直线之
间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2016•浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logb＞1，则（ ）
a
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b
﹣1）（b﹣a）＞0
6．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与
f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．
（ ）
A．若f（a）≤|b|，则a≤bB．若f（a）≤2b，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥bD．若f（a）≥2b，则a≥b
8．（5分）（2016•浙江）如图，点列{A}、{B}分别在某锐角的两边上，且|AA |=|
n n n n+1
A A |，A≠A ，n∈N*，|BB |=|B B |，B≠B ，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重
n+1 n+2 n n+1 n n+1 n+1 n+2 n n+1
合）若d=|AB|，S 为△ABB 的面积，则（ ）
n n n n n n n+1A．{S}是等差数列 B．{S2}是等差数列
n n
C．{d}是等差数列 D．{d2}是等差数列
n n
二、填空题
9．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面
积是 cm2，体积是 cm3．
10．（6分）（2016•浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心
坐标是 ，半径是 ．
11．（6分）（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=
，b= ．
12．（6分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x
﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ，b= ．
13．（4分）（2016•浙江）设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F、F，若点P在双曲
1 2
线上，且△FPF 为锐角三角形，则|PF|+|PF|的取值范围是 ．
1 2 1 2
14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，
∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是
．
15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， =1，若 为平面单
位向量，则| |+| |的最大值是 ．三、解答题
16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB= ，求cosC的值．
17．（15分）（2016•浙江）设数列{a}的前n项和为S，已知S=4，a =2S+1，n∈N*．
n n 2 n+1 n
（Ⅰ）求通项公式a；
n
（Ⅱ）求数列{|a﹣n﹣2|}的前n项和．
n
18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，
∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A
到y轴的距离等于|AF|﹣1，
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于
点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
20．（15分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2
（Ⅱ） ＜f（x）≤ ．2016年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）（2016•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，
2，4}，则（∁U P）∪Q=（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
【分析】先求出∁U P，再得出（∁U P）∪Q．
【解答】解：∁U P={2，4，6}，
（∁U P）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．
故选C．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足
m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【分析】由已知条件推导出l β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
⊂
∴m∥β或m β或m⊥β，l β，
∵n⊥β，
⊂ ⊂
∴n⊥l．
故选：C．
【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力
的培养．
3．（5分）（2016•浙江）函数y=sinx2的图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．
【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，
∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；
由y=sinx2=0，
则x2=kπ，k≥0，
则x=± ，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除B，
故选：D
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决
本题的关键．比较基础．
4．（5分）（2016•浙江）若平面区域 ，夹在两条斜率为1的平行直线之
间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．
【解答】解：作出平面区域如图所示：
∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．
联立方程组 ，解得A（2，1），
联立方程组 ，解得B（1，2）．
两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．
∴平行线间的距离为d= = ，
故选：B．
【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．
5．（5分）（2016•浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logb＞1，则（ ）
a
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b
﹣1）（b﹣a）＞0
【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．【解答】解：若a＞1，则由logb＞1得logb＞loga，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞
a a a
1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，
若0＜a＜1，则由logb＞1得logb＞loga，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣
a a a
1）（b﹣a）＞0，
综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是
解决本题的关键．比较基础．
6．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与
f（x）的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f
（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．
【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣ ，f （x）=﹣ ．
min
（1）若b＜0，则﹣ ＞﹣ ，∴当f（x）=﹣ 时，f（f（x））取得最小值f（﹣ ）=﹣
，
即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．
∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．
（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，
则f （x）≤﹣ ，即﹣ ≤﹣ ，解得b≤0或b≥2．
min
∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．
7．（5分）（2016•浙江）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．
（ ）
A．若f（a）≤|b|，则a≤bB．若f（a）≤2b，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥bD．若f（a）≥2b，则a≥b
【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．
【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，
即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，
B．若f（a）≤2b，
则由条件知f（x）≥2x，
即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b，
则a≤b，故B正确，
C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错
误，D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b不
一定成立，故D错误，
故选：B
【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的
关键．综合性较强，有一定的难度．
8．（5分）（2016•浙江）如图，点列{A}、{B}分别在某锐角的两边上，且|AA |=|
n n n n+1
A A |，A≠A ，n∈N*，|BB |=|B B |，B≠B ，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重
n+1 n+2 n n+1 n n+1 n+1 n+2 n n+1
合）若d=|AB|，S 为△ABB 的面积，则（ ）
n n n n n n n+1
A．{S}是等差数列 B．{S2}是等差数列
n n
C．{d}是等差数列 D．{d2}是等差数列
n n
【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA|=a，|OB|=b，|AA |=|A A |=b，|BB |=|
1 1 n n+1 n+1 n+2 n n+1
B B |=d，由于a，b不确定，判断C，D不正确，设△ABB 的底边BB 上的高为h，运
n+1 n+2 n n n+1 n n+1 n
用三角形相似知识，h+h =2h ，由S= d•h，可得S+S =2S ，进而得到数列{S}为等
n n+2 n+1 n n n n+2 n+1 n
差数列．
【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA|=a，|OB|=b，
1 1
|AA |=|A A |=b，|BB |=|B B |=d，
n n+1 n+1 n+2 n n+1 n+1 n+2
由于a，b不确定，则{d}不一定是等差数列，
n
{d2}不一定是等差数列，
n
设△ABB 的底边BB 上的高为h，
n n n+1 n n+1 n
由三角形的相似可得 = = ，
= = ，
两式相加可得， = =2，
即有h+h =2h ，
n n+2 n+1
由S= d•h，可得S+S =2S ，
n n n n+2 n+1
即为S ﹣S =S ﹣S，
n+2 n+1 n+1 n
则数列{S}为等差数列．
n
故选：A．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简
整理的推理能力，属于中档题．
二、填空题
9．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面
积是 80 cm2，体积是 40 cm3．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结
合图中数据求出它的表面积和体积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，
表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3；
上部为正方体，其棱长为2，
表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；
所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，
体积为32+8=40cm3．
故答案为：80；40．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和
计算能力，是基础题．
10．（6分）（2016•浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心
坐标是 （﹣ 2 ，﹣ 4 ） ，半径是 5 ．
【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心
坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．
【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，
∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．
当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，
配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；
当a=2时，方程化为 ，此时 ，方程不表示圆，
故答案为：（﹣2，﹣4），5．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．
11．（6分）（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=
，b= 1 ．
【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．
【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+ （ cos2x+ sin2x）+1
= sin（2x+ ）+1，
∴A= ，b=1，
故答案为： ；1．
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题
的关键．
12．（6分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x
﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ﹣ 2 ，b= 1 ．
【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2，根据等式两边
对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．
【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，
∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）
=x3+3x2﹣（a3+3a2）
∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，
且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，
∴ ，解得 或 （舍去），
故答案为：﹣2；1．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．
13．（4分）（2016•浙江）设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F、F，若点P在双曲
1 2
线上，且△FPF 为锐角三角形，则|PF|+|PF|的取值范围是 ．
1 2 1 2
【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PFF 和∠FPF 为直角时|PF|+|
2 1 1 2 1
PF|的值，可得△FPF 为锐角三角形时|PF|+|PF|的取值范围．
2 1 2 1 2
【解答】解：如图，
由双曲线x2﹣ =1，得a2=1，b2=3，∴ ．
不妨以P在双曲线右支为例，当PF⊥x轴时，
2
把x=2代入x2﹣ =1，得y=±3，即|PF|=3，
2
此时|PF|=|PF|+2=5，则|PF|+|PF|=8；
1 2 1 2
由PF⊥PF，得 ，
1 2
又|PF|﹣|PF|=2，①
1 2
两边平方得： ，
∴|PF||PF|=6，②
1 2
联立①②解得： ，
此时|PF|+|PF|= ．
1 2
∴使△FPF 为锐角三角形的|PF|+|PF|的取值范围是（ ）．
1 2 1 2
故答案为：（ ）．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，
是中档题．
14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，
∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是
．
【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC= ．作
D′E⊥AC，垂足为E，D′E= ．CO= ，CE= = ，EO=CO﹣CE= ．过点B作
BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO= ．EF=BO= ．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平
面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出．
【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，
在Rt△ACD′中， = ．
作D′E⊥AC，垂足为E，D′E= = ．
CO= ，CE= = = ，
∴EO=CO﹣CE= ．
过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与
BD′所成的角．
则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO= ．
EF=BO= = ．
则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．
则D′F2= + ﹣2× cosθ= ﹣5cosθ≥ ，cosθ=1时
取等号．
∴D′B的最小值= =2．
∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值= = = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，
属于难题．
15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， =1，若 为平面单
位向量，则| |+| |的最大值是 ．
【分析】由题意可知，| |+| |为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值
的和，由此可知，当 与 共线时，| |+| |取得最大值，即 ．【解答】解：| |+| |= ，
其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和，
当 与 共线时，取得最大值．
∴ = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学
生正确理解问题的能力，是中档题．
三、解答题
16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB= ，求cosC的值．
【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin
（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
可得0＜A﹣B＜π，即可证明．
（II）cosB= ，可得sinB= ．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA= ．
利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．
【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．
∴A=2B．
（II）解：cosB= ，∴sinB= = ．
cosA=cos2B=2cos2B﹣1= ，sinA= = ．
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB= + × = ．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公
式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（15分）（2016•浙江）设数列{a}的前n项和为S，已知S=4，a =2S+1，n∈N*．
n n 2 n+1 n
（Ⅰ）求通项公式a；
n
（Ⅱ）求数列{|a﹣n﹣2|}的前n项和．
n
【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a}是
n
公比q=3的等比数列，即可求通项公式a；
n（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a﹣n﹣
n
2|}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵S=4，a =2S+1，n∈N*．
2 n+1 n
∴a+a=4，a=2S+1=2a+1，
1 2 2 1 1
解得a=1，a=3，
1 2
当n≥2时，a =2S+1，a=2S +1，
n+1 n n n﹣1
两式相减得a ﹣a=2（S﹣S ）=2a，
n+1 n n n﹣1 n
即a =3a，当n=1时，a=1，a=3，
n+1 n 1 2
满足a =3a，
n+1 n
∴ =3，则数列{a}是公比q=3的等比数列，
n
则通项公式a=3n﹣1．
n
（Ⅱ）a﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，
n
设b=|a﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，
n n
则b=|30﹣1﹣2|=2，b=|3﹣2﹣2|=1，
1 2
当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，
则b=|a﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，
n n
此时数列{|a﹣n﹣2|}的前n项和T=3+ ﹣ =
n n
，
则T= = ．
n
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利
用方程组法证明列{a}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法
n
进行数列求和．
18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，
∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为
K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出
BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三
角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出
BF= ，DF= ，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直
线BD和平面ACFD所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：
∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；
∴AC⊥平面BCK，BF 平面BCK；
∴BF⊥AC；
⊂
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；
∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；
∴BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；
∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；
∵F为CK中点，且DF∥AC；
∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；
∴ ；
又 ；
∴在Rt△BFD中， ，cos ；
即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 ．
【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，
以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．
19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A
到y轴的距离等于|AF|﹣1，
（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于
点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；
（Ⅱ）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而
求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的
取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，
由抛物线定义得， ，即p=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t≠±1，
∵AF不垂直y轴，
∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），
联立 ，得y2﹣4sy﹣4=0．
yy=﹣4，
1 2
∴B（ ），
又直线AB的斜率为 ，故直线FN的斜率为 ，
从而得FN： ，直线BN：y=﹣ ，
则N（ ），
设M（m，0），由A、M、N三点共线，得 ，
于是m= = ，得m＜0或m＞2．
经检验，m＜0或m＞2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转
化思想方法，属中档题．
20．（15分）（2016•浙江）设函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2
（Ⅱ） ＜f（x）≤ ．
【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x2﹣x3= ，利用放缩法得 ≤ ，即可
证明结论成立；
（Ⅱ）利用0≤x≤1时x3≤x，证明f（x）≤ ，再利用配方法证明f（x）≥ ，结合函数的
最小值得出f（x）＞ ，即证结论成立．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，
且1﹣x+x2﹣x3= = ，
所以 ≤ ，
所以1﹣x+x2﹣x3≤ ，
即f（x）≥1﹣x+x2；
（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，
所以f（x）=x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≤ ；
由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2= + ≥ ，
且f（ ）= + = ＞ ，
所以f（x）＞ ；
综上， ＜f（x）≤ ．
【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论
证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．
