文档内容
2015年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ）
A [3，4） B （2，3 C （﹣1，2） D （﹣1，3
． ． ． ．
] ]
2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积
是（ ）
A 8cm3 B 12cm3 C D
． ． ． ．
3．（5分）（2015•浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A 充分不必要条 B 必要不充分条
． 件 ． 件
C 充分必要条件 D 既不充分也不
． ． 必要条件
4．（5分）（2015•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，
m β，（ ）
⊂
A 若l⊥β，则α⊥βB 若α⊥β，则 C 若l∥β，则α∥β D 若α∥β，则l∥m
⊂
． ． l⊥m ． ．
5．（5分）（2015•浙江）函数f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（
）
A B C D
． ． ． ．6．（5分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，
且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜
y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方
案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A ax+by+cz B az+by+cx C ay+bz+cx D ay+bx+cz
． ． ． ．
7．（5分）（2015•浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α
上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（ ）
A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线的一支
． ． ． ．
8．（5分）（2015•浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（ ）
A 若t确定，则b2B 若t确定，则
． 唯一确定 ． a2+2a唯一确定
C 若t确定，则 D 若t确定，则
． ． a2+a唯一确定
sin 唯一确定
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9．（6分）（2015•浙江）计算：log = ，2 =
2
．
10．（6分）（2015•浙江）已知{a }是等差数列，公差d不为零，若a ，a ，a 成等比数列，
n 2 3 7
且2a +a =1，则a = ，d= ．
1 2 1
11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，
最小值是 ．
12．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）= ，则f（f（﹣2））=
，f（x）的最小值是 ．13．（4分）（2015•浙江）已知 ， 是平面向量，且 • = ，若平衡向量 满足 • =
1 2 1 2 1
• =1，则| |= ．
14．（4分）（2015•浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值
是 ．
15．（4分）（2015•浙江）椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y= x
的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
tan（ +A）=2．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若B= ，a=3，求△ABC的面积．
17．（15分）（2015•浙江）已知数列{a }和{b }满足a =2，b =1，a =2a （n N*），b +
n n 1 1 n+1 n 1
b + b +…+ b =b ﹣1（n N*） ∈
2 3 n n+1
（Ⅰ）求a 与b ； ∈
n n
（Ⅱ）记数列{a b }的前n项和为T ，求T ．
n n n n
18．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
1 1 1
A A=4，A 在底面ABC的射影为BC的中点，D是B C 的中点．
1 1 1 1
（Ⅰ）证明：A
1
D⊥平面A
1
BC；
（Ⅱ）求直线A B和平面BB C C所成的角的正弦值．
1 1 119．（15分）（2015•浙江）如图，已知抛物线C ：y= x2，圆C ：x2+（y﹣1）2=1，过点
1 2
P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C 和圆C 相切，A，B为切
1 2
点．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物
线相切，称该公共点为切点．
20．（15分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b R）．
（Ⅰ）当b= +1时，求函数f（x）在[﹣1，1 上的最小值g∈（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1 上存在零点，] 0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
]2015 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ）
A [3，4） B （2，3 C （﹣1，2） D （﹣1，3
． ． ． ．
] ]
考点： 交集及其运算．
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专题： 集合．
分析： 求出集合P，然后求解交集即可．
解答： 解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，
Q={x|2＜x＜4}，
则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．
故选：A．
点评： 本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积
是（ ）
A 8cm3 B 12cm3 C D
． ． ． ．
考点： 由三视图求面积、体积．
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专题： 空间位置关系与距离．
分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的
正方形奥为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+ ×2×2×2= ．
故选：C．
点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能
力．3．（5分）（2015•浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A 充分不必要条 B 必要不充分条
． 件 ． 件
C 充分必要条件 D 既不充分也不
． ． 必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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专题： 简易逻辑．
分析： 利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．
解答： 解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．
如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，
所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
点评： 本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
4．（5分）（2015•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，
m β，（ ）
⊂
A 若l⊥β，则α⊥βB 若α⊥β，则 C 若l∥β，则α∥β D 若α∥β，则l∥m
⊂
． ． l⊥m ． ．
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．
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专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： A根据线面垂直的判定定理得出A正确；
B根据面面垂直的性质判断B错误；
C根据面面平行的判断定理得出C错误；
D根据面面平行的性质判断D错误．
解答： 解：对于A，∵l⊥β，且l α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；
对于B，当α⊥β，l α，m β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；
对于C，当l∥β，且l α时⊂，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；
对于D，当α∥β，且⊂l α，⊂m β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．
故选：A． ⊂
点评： 本题考查了空间中的平⊂行与垂⊂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应
用问题，是基础题目．
5．（5分）（2015•浙江）函数f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（
）
A B C D
． ． ． ．
考点： 函数的图象．
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专题： 函数的性质及应用．
分析： 由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据在（0，
1）上，f（x）＜0，结合所给的选项，得出结论．
解答：
解：对于函数f（x）=（x﹣ ）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关
于原点对称，且满足f（﹣x）=（ ﹣x）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的
图象关于原点对称．
故排除A、B．
再根据在（0，1）上， ＞x，cosx＞0，f（x）=（x﹣ ）cosx＜0，故排除
C，
故选：D．
点评： 本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值
域，属于中档题．
6．（5分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，
且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜
y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方
案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A ax+by+cz B az+by+cx C ay+bz+cx D ay+bx+cz
． ． ． ．
考点： 函数的最值及其几何意义．
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专题： 函数的性质及应用．
分析： 作差法逐个选项比较大小可得．
解答： 解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，
∴ax+by+cz﹣（az+by+cx）
=a（x﹣z）+c（z﹣x）
=（x﹣z）（a﹣c）＞0，
∴ax+by+cz＞az+by+cx；
同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）
=b（z﹣x）+c（x﹣z）
=（z﹣x）（b﹣c）＞0，
∴ay+bz+cx＞ay+bx+cz；
同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）
=a（z﹣y）+b（y﹣z）
=（z﹣y）（a﹣b）＜0，
∴az+by+cx＜ay+bz+cx，
∴最低费用为az+by+cx
故选：B
点评： 本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．
7．（5分）（2015•浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α
上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（ ）
A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线的一支
． ． ． ．考点： 圆锥曲线的轨迹问题．
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专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧
面与平面α的交线，则答案可求．
解答： 解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到
椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的
侧面上，
再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭
圆定义．
故可知动点P的轨迹是椭圆．
故选：C．
点评： 本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
8．（5分）（2015•浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．（ ）
A 若t确定，则b2B 若t确定，则
． 唯一确定 ． a2+2a唯一确定
C 若t确定，则 D 若t确定，则
． ． a2+a唯一确定
sin 唯一确定
考点： 四种命题．
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专题： 简易逻辑．
分析： 根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答
案．
解答： 解：∵实数a，b，t满足|a+1|=t，
∴（a+1）2=t2，
a2+2a=t2﹣1，
t确定，则t2﹣1为定值．
sin2b=t2，
A，C不正确，
∴若t确定，则a2+2a唯一确定，
故选：B
点评： 本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可判
断．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9．（6分）（2015•浙江）计算：log = ，2 = ．
2
考点： 对数的运算性质．
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专题： 函数的性质及应用．
分析： 直接利用对数运算法则化简求值即可．解答：
解：log =log =﹣ ；
2 2
2 = =
=3 ．
故答案为： ； ．
点评： 本题考查导数的运算法则的应用，基本知识的考
查．
10．（6分）（2015•浙江）已知{a }是等差数列，公差d不为零，若a ，a ，a 成等比数列，
n 2 3 7
且2a +a =1，则a = ，d= ﹣ 1 ．
1 2 1
考点： 等比数列的性质．
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专题： 等差数列与等比数列．
分析：
运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣ a ，再由条
1
件2a +a =1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．
1 2
解答： 解：由a ，a ，a 成等比数列，
2 3 7
则a 2=a a ，
3 2 7
即有（a +2d）2=（a +d）（a +6d），
1 1 1
即2d2+3a d=0，
1
由公差d不为零，
则d=﹣ a ，
1
又2a +a =1，
1 2
即有2a +a +d=1，
1 1
即3a ﹣ a =1，
1 1解得a = ，d=﹣1．
1
故答案为： ，﹣1．
点评： 本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意
等差数列和等比数列的性质的合理运用．
11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，最小值是
．
考点： 二倍角的余弦；三角函数的最值．
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专题： 三角函数的图像与性质．
分析：
由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）= sin（2x﹣ ）+ ，由正弦函数
的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．
解答： 解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1
= + sin2x+1
= sin（2x﹣ ）+ ．
∴最小正周期T= ，最小值为： ．
故答案为：π， ．
点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于
基本知识的考查．
12．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）= ，则f（f（﹣2））=
，f（x）的最小值是 2 ﹣6 ．
考点： 函数的最值及其几何意义．
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专题： 函数的性质及应用．
分析： 由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式
可得各段的最小值，比较可得．
解答： 解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，
∴f（f（﹣2））=f（4）=4+ ﹣6=﹣ ；
∵当x≤1时，f（x）=x2，
由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；
当x＞1时，f（x）=x+ ﹣6，
由基本不等式可得f（x）=x+ ﹣6≥2 ﹣6=2 ﹣6，当且仅当x= 即x= 时取到等号，即此时函数取最小值2 ﹣6；
∵2 ﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2 ﹣6
故答案为：﹣ ；2 ﹣6
点评： 本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．
13．（4分）（2015•浙江）已知 ， 是平面向量，且 • = ，若平衡向量 满足 • =
1 2 1 2 1
• =1，则| |= ．
考点： 平面向量数量积的性质及其运算律．
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专题： 平面向量及应用．
分析： 根据数量积得出 ， 夹角为60°，＜ ， ＞=＜ ， ＞=30°，运用数量积
1 2 1 2
的定义判断求解即可．
解答：
解：∵ ， 是平面单位向量，且 • = ，
1 2 1 2
∴ ， 夹角为60°，
1 2
∵平衡向量 满足 • = • =1
1
∴ 与 ， 夹角相等，且为锐角，
1 2
∴ 应该在 ， 夹角的平分线上，
1 2
即＜ ， ＞=＜ ， ＞=30°，
1 2
| |×1×cos30°=1，
∴| |=
故答案为：
点评： 本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容
易题，关键是判断夹角即可．
14．（4分）（2015•浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值
是 15 ．
考点： 简单线性规划．
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专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣
4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．
解答： 解：如图，由x2+y2≤1，
可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，
则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，
令z=﹣3x﹣4y+10，得 ，
如图，
要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线 在y轴上的截距最小，
由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．
则 ，即z=15或z=5．
由题意可得z的最大值为15．
故答案为：15．
点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学
转化思想方法，是中档题．
15．（4分）（2015•浙江）椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y= x
的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
考点： 椭圆的简单性质．
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专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然
后求解离心率即可．解答：
解：不妨令c=1，设Q（m，n），由题意可得 ，即：
，
由①②可得：m= ，n= ，代入③可得：
，
解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，
可得，4e6+e2﹣1=0．
即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，
可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0
解得e= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
tan（ +A）=2．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若B= ，a=3，求△ABC的面积．
考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．
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专题： 解三角形．
分析： （Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三
角函数关系式即可得解．
（Ⅱ）由tanA= ，A （0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由
sinC=sin（A+B）=sin∈ （A+ ），可得sinC，利用三角形面积公式即可得
解．解答：
解：（Ⅰ）由tan（ +A）=2．可得tanA= ，
所以 = = ．
（Ⅱ）由tanA= ，A （0，π），可得sinA= ，cosA= ．
∈
又由a=3，B= 及正弦定理 ，可得b=3 ，
由sinC=sin（A+B）=sin（A+ ），可得sinC= ．
设△ABC的面积为S，则S= absinC=9．
点评： 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应
用，同时考查了运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）（2015•浙江）已知数列{a }和{b }满足a =2，b =1，a =2a （n N*），b +
n n 1 1 n+1 n 1
b + b +…+ b =b ﹣1（n N*） ∈
2 3 n n+1
（Ⅰ）求a 与b ； ∈
n n
（Ⅱ）记数列{a b }的前n项和为T ，求T ．
n n n n
考点： 数列的求和．
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专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）直接由a =2，a =2a ，可得数列{a }为等比数列，由等比数列的通项
1 n+1 n n
公式求得数列{a }的通项公式；
n
再由b =1，b + b + b +…+ b =b ﹣1，取n=1求得b =2，当n≥2时，得
1 1 2 3 n n+1 2
另一递推式，作差得到 ，整理得数列{ }为常数列，由此
可得{b }的通项公式；
n
（Ⅱ）求出 ，然后利用错位相减法求数列{a b }的前n项和为
n n
T ．
n
解答：
解：（Ⅰ）由a =2，a =2a ，得 ．
1 n+1 n
由题意知，当n=1时，b =b ﹣1，故b =2，
1 2 2
当n≥2时，b + b + b +…+ =b ﹣1，和原递推式作差得，
1 2 3 n
，整理得： ，
∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
因此
，
两式作差得： ，
（n N*）．
∈点评： 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时
考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．
18．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
1 1 1
A A=4，A 在底面ABC的射影为BC的中点，D是B C 的中点．
1 1 1 1
（Ⅰ）证明：A
1
D⊥平面A
1
BC；
（Ⅱ）求直线A B和平面BB C C所成的角的正弦值．
1 1 1
考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
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专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （I）连接AO，A
1
D，根据几何体的性质得出A
1
O⊥A
1
D，A
1
D⊥BC，利用直
线平面的垂直定理判断．
（II）利用空间向量的垂直得出平面BB C C的法向量 =（ ，0，1），|
1 1
根据与 数量积求解余弦值，即可得出直线A B和平面BB C C所成的角
1 1 1
的正弦值．
解答： 证明：（I）∵AB=AC=2，D是B C 的中点．
1 1
∴A
1
D⊥B
1
C
1
，
∵BC∥B C ，
1 1
∴A
1
D⊥BC，
∵A
1
O⊥面ABC，A
1
D∥AO，
∴A
1
O⊥AO，A
1
O⊥BC
∵BC∩AO=O，A
1
O⊥A
1
D，A
1
D⊥BC
∴A
1
D⊥平面A
1
BC
解：（II）
建立坐标系如图
∵在三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A A=4
1 1 1 1
∴O（0，0，0），B（0， ，0），B （﹣ ， ， ），A （0，0
1 1
）
即 =（0， ， ）， =（0， ，0）， =（ ，0，
），
设平面BB C C的法向量为 =（x，y，z），
1 1即得出
得出 =（ ，0，1），| |=4，| |=
∵ = ，
∴cos＜ ， ＞= = ，
可得出直线A B和平面BB C C所成的角的正弦值为
1 1 1
点评： 本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空
间想象能力，计算能力，属于中档题．
19．（15分）（2015•浙江）如图，已知抛物线C ：y= x2，圆C ：x2+（y﹣1）2=1，过点
1 2
P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C 和圆C 相切，A，B为切
1 2
点．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物
线相切，称该公共点为切点．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
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专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与
抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆
C 的圆心D（0，1），设B（x ，y ），由题意可知：点B与O关于直线PD
2 0 0
得出，可得 ，解得B坐标．
（II）由（I）可得：（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又|AB|= ．即可得出S =
△PAB
．
解答： 解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）
（k≠0），联立 ，
化为x2﹣4kx+4kt=0，
∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t2）．
圆C 的圆心D（0，1），设B（x ，y ），由题意可知：点B与O关于直线
2 0 0
PD得出，
∴ ，解得 ．
∴B ．
（II）由（I）可得：k = = ，直线AB的方程为：y﹣t2=
AB
，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，
∴点P到直线AB的距离d= = =t，
又|AB|= =t2．
∴S = = ．
△PAB
点评： 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平
分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求
解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难
题．
20．（15分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b R）．
（Ⅰ）当b= +1时，求函数f（x）在[﹣1，1 上的最小值g∈（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1 上存在零点，] 0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
]
考点： 二次函数的性质；函数零点的判定定理．
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专题： 分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： （Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1 的关系，运用
函数的单调性即可得到最小值；
]（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，
得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得
到所求b的范围．
解答：
解：（Ⅰ）当b= +1时，f（x）=（x+ ）2+1，对称轴为x=﹣ ，
当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1 上递减，则g（a）=f（1）= +a+2；
]
当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣ ＜1，则g（a）=f（﹣ ）=1；
当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1 上递增，则g（a）=f（﹣1）= ﹣a+2．
]
综上可得，g（a）= ；
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，
则 ，
由于0≤b﹣2a≤1，
由此 ≤s≤ （﹣1≤t≤1），
当0≤t≤1时， ≤st≤ ，
由﹣ ≤ ≤0，得﹣ ≤ ≤9﹣4 ，
所以﹣ ≤b≤9﹣4 ；
当﹣1≤t＜0时， ≤st≤ ，
由于﹣2≤ ＜0和﹣3≤ ＜0，所以﹣3≤b＜0，
故b的取值范围是[﹣3，9﹣4 ．
点评： 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零
点的关系，以及韦达定理的运用，] 考查不等式的性质和分式函数的最值的求
法，属于中档题．
