文档内容
初二年级 数学学科
（检测时间90分钟，满分100分）
学生须知：
1．本检测卷共7页，共27道题．
2．在检测卷和答题卡．上准确填写班级、姓名和学号．
3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在卷面上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题目用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，故此选项符合题意；
B、 ，故该选项不合题意；
C、 ，故该选项不合题意；
D、 ，故该选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的概念，熟悉掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2. 若点P（﹣1，3）在函数y＝kx的图象上，则k的值为（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. D. -
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法即可解决问题．
【详解】∵点P（﹣1，3）在函数y＝kx的图象上，∴3＝﹣k，
∴k＝﹣3，
故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数图象上的点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识.
3. 式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可.
【详解】由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
故选C.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
4. 下列线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. a＝6，b＝8，c＝10 B. a＝1，b＝ ，c＝
C. a＝1，b＝1，c＝ D. a＝2，b＝3，c＝
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵62+82＝102，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12+（ ）2＝（ ）2，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵12+12＝（ ）2，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵22+32≠（ ）2，∴不能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形
就是直角三角形．5. 在平行四边形ABCD中， ， ．则平行四边形ABCD的周长是（ ）．
A. 16 B. 13 C. 10 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等可得DC=5，AD=3，然后再求出周长即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=CD，AD=BC，
∵AB=5，BC=3，
∴DC=5，AD=3，
∴平行四边形ABCD的周长为：5+5+3+3=16，
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．
6. 下列各式，运算正确的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．
【详解】解：A、 ，正确，故此选项符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 =2，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握二次根式加减运算法则是解题关键．
7. 如图，在▱ABCD中，下列结论一定成立的是（ ）
A. AC⊥BD B. ∠BAD+∠ABC＝180°C. AB＝AD D. ∠ABC＝∠BCD
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC不一定垂直BD，选项不能成立；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD+∠ABC＝180°，选项成立；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB不一定等于AD，选项不能成立；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC+∠BCD＝180°，选项不成立；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8. 如图，菱形中，对角线 、 交于点 ， 为 边中点，菱形 的周长为28，则 的长
等于（ ）
A. B. 4 C. 7 D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的性质求出边长以及 ，然后利用三角形中位线的性质即可解答．
【详解】解：∵菱形 的周长为28，
∴ ， ，
∵ 为 边中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键．9. 如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，
AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A. 2 ﹣1 B. 2 C. 2.8 D. 2 +1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得 ， ， ，则 是直角三角形，根据勾股定理得
，得 ，即可得．
【详解】解：由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即点D表示的数为： ，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
10. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小
正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣
y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）A. ②③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理： ，故①正确；
由图可知 ，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为 ，
即 ，故③正确；
由 可得 ，
又∵ ，
两式相加得： ，
整理得： ，，故④错误；
故正确的是①②③．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判
断是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如果一个无理数a与 的积是一个有理数，写出a的一个值是______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】 ，一个无理数a与 的积是有理数，那么即可判断a与 是同类二次根式，即可
写出a的值，答案不唯一．
【详解】解：∵ ，
∴由题意得一个无理数a与 的积是有理数，
∴a与 是同类二次根式，答案不唯一．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定
义以及同类二次根式的积为有理数即可．
12. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S，S，S，已知S
1 2 3 1
＝6，S＝8，则S＝_____．
2 3
【答案】14．
【解析】【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，S＝6，S＝8，
1 2
∴AC2＝6，BC2＝8，
∴AB2＝14，
∴S＝14，
3
故答案为：14．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
13. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的
树梢，至少要飞______m．
【答案】10
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 m．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求
解．
14. 如图，在 中， ， ， 分别是边 ， ， 的中点，若 的周长为10，则
的周长为______．【答案】20
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，根据三角形的周长公式计算，得到答
案．
【详解】解：∵△DEF的周长为10，
∴DE+EF+DF=4，
∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，
∴△ABC的周长=AC+AB+BC=2（DE+EF+DF）=20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解
题的关键．
15. 如图，将一张矩形纸片沿着 折叠后，点 恰好与 边上的点 重合，已知 ，
，则 的长度为__________cm．
【答案】
【解析】
【分析】先根据翻折变换的性质得出 ，再先设 的长为 x，则 ，，在 中由勾股定理得： ，已知 、 的长可求出
的长，又 ，在 中由勾股定理可得： ，即：
，将求出的 的值代入该方程求出x的值，即求出了 的长．
【详解】解：∵ 由 翻折而成，
∴ ，
∴ ， ， ，
设 ，则 ，
在 中由勾股定理得： ， 即 ，
∴ ，
∴ ，
在 中由勾股定理可得： ， 即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是图形的翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
16. 如图， 的对角线 、 交于点 ， 平分 交 于点 ，且 ，
， 连 接 ． 下 列 结 论 ： ① ； ② ； ③ ； ④
，成立的有__________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①②④
【解析】
【分析】由 中， ，易得 是等边三角形，又由 ，证得①
；继而证得 ，得② ；可得 是三角形的中位线，证得④
．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，∴ ，故②正确，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得
是等边三角形， 是 的中位线是关键．
三、解答题（本大题共11个小题，共52分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式 进行计算即可．
【详解】解：
；【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算二次根式的乘法运算，化简绝对值，零次幂，再合并即可．
【详解】解：
；
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，二次根式的加减运算，零次幂，化简绝对值，熟记相应的运算法
则是解本题的关键．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】把括号内的每一项都除以 ，再化简，相加即可．
【详解】解：
；
【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
20. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】【分析】先把 分解因式可得 ，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
；
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解的应用，熟记运算法则是解本题的关键．
21. “珍重生命，注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明家、新华书店、学校在一条笔
直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书， 于是又折回到刚经过的新华书店，
买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象
提供的信息回答下列问题:
（1）小明家到学校的距离是__ _米；
（2）小明在书店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 米；
（4）我们认为骑车的速度超过了 米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间
的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由，
【答案】（1）1500；（2）4；（3）2700；（4）不在安全限度内，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可的答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，
可得速度．【详解】（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
故答案为：1500；
（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从8～12分钟，
故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4；
（3）一共行驶的总路程=1200+(1200-600)+(1500-600)
=1200+600+900=2700米；
故答案为：2700；
（4）由图象可知：12～14分钟时，平均速度为： 米/分，
∵450＞300，
∴12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利
用了路程与时间的关系．
22. 如图，每个小正方形的边长为1．
（1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；
（2）求证：∠BCD=90°．
【答案】（1）四边形ABCD的面积为14.5，四边形ABCD的周长是 3 ；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形
ABCD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD，即可求得四边形ABCD的周长；
（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可证明；
【详解】（1）四边形ABCD的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；由勾股定理得AB ，BC 2 ，CD ，AD
，
故四边形ABCD的周长是 2 3 ；
（2）连接BD．
∵BD2 ，BC2+CD2=20+5=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．
【点睛】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
23. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．
▱
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS
定理判定 BOE≌△DOF即可．
【详解】△证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在 BOE和 DOF中，
△ △∵ ，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对角线互
相平分，证明三角形全等是解题的关键．
24. 已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC的面积．
【答案】2 +2
【解析】
【分析】作AD⊥BC于D，利用30°的直角三角形的性质即可求得BD、再根据勾股定理可求得AD长，利
用∠C＝45°可求得AD=CD，进而求得CD的长度，即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式即可求
解．
【详解】解：作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B＝30°，∠ADB=90°，
∴AD＝ AB＝4；
BD＝ ＝2
∵∠C＝45°，∠ADC=90°，
∴∠DAC＝∠C＝45°，
∴DC＝AD＝2，
∴BC＝BD+CD＝2 +2
∴S ＝ AD•BC＝2 +2
ABC
△的
【点睛】本题考查了30° 直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，正确作出辅助线把三角
形转化成两个直角三角形是关键．
25. 如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF，求证：四边
形ACFD为平行四边形
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质证出∠ADC=∠FCD，然后再证明△ADE≌△FCE可得AD=FC，根据一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论
【详解】证明：∵在▱ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD=FC．
又∵AD∥FC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．
26. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量 取值范围是__________；
（2）下表是 与 的几组对应值，求 的值；
… 0 1 2 3 …
… 6 5 4 2 1 0 1 2 …（3）在下面网格中，建立平面直角坐标系 ，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图
象；
（4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当 时， 随 的增大而增大；
③图像关于过点 且垂直于 轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是_________________________．（只填序号）
【答案】（1）任意实数
（2）
（3）画图见解析 （4）①②③
【解析】
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围；
（2）根据把 代入函数解析式，可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以判断该函数的性质．
【小问1详解】
解：在函数 中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
【小问2详解】
解：当 时， ，
【小问3详解】解：先描点，再连线，画出函数的图象如下：
【小问4详解】
解：由函数图象可知，
①函数有最小值为0，正确；
的
②当 时，y随x 增大而增大，正确；
③图象关于过点 且垂直于x轴 的直线对称，正确；．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查 的是函数的自变量的取值范围，画函数的图象，根据函数的图象归纳函数的性质，
掌握以上知识是解题的关键．
27. 如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线
DE的对称点为F，连接EF并延长交BC边于点G，连接DF，DG．
（1）依题意补全图形，并证明∠FDG＝∠CDG；
（2）过点E作EM⊥DE于点E，交DG的延长线于点M，连接BM．
①直接写出图中和DE相等的线段；
②用等式表示线段AE，BM的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）①DE＝EM；②BM＝ AE，证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；
（2）①证得∠EDG＝ ∠ADC＝45°，则可得出结论DE＝EM；
②过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，连接BM，证明△DAE≌△ENM（AAS），由全等三角形的性
质得出AE＝MN，AD＝EN，则得出AE＝BN＝MN，证得△BNM是等腰直角三角形，则可得出结论．
【详解】解：（1）依题意补全图形如图1，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠DFG＝90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵ ，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴∠FDG＝∠CDG；
（2）①DE＝EM．
∵∠ADE＝∠FDE，∠FDG＝∠CDG，∴∠EDG＝ ∠ADC＝45°，
∵EM⊥DE，
∴∠MED＝90°，
∴∠EMD＝∠EDM＝45°，
∴DE＝EM；
②BM＝ AE．
证明如下：
如图2，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，连接BM，
∵∠AED+∠NEM＝90°，∠AED+∠ADE＝90°，
∴∠NEM＝∠ADE，
又∵∠EAD＝∠MNE＝90°，DE＝EM，
∴△DAE≌△ENM（AAS），
∴AE＝MN，AD＝EN，
∵AD＝AB，
∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，
∴AE＝BN＝MN，
∴△BNM是等腰直角三角形，
∴BM＝ MN＝ AE．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定
及性质是解题的关键．
