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专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型
梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中
的一个重要定理。
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E
点，那么 ．这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形．
梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是 的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如
果 ，则F、D、E三点共线．
图1 图2
塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在 1678年发表了一个著名的定理，
后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，
如图2，则 。
注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是
三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线
段成比例和相似来解决。
例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在 中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于
点E，求证： ．
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例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在 中， ， ．AM为BC边上的中线，
于点D，CD的延长线交AB于点E．求 ．
C
例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点D、E分别在 的边AC、AB上， ， ，BD与
CE交于点F， ．求 ．
A
D
E
F
B C
例 4.（2023.江苏九年级月考）已知 AD 是 的高，点 D 在线段 BC 上，且 ， ，作
于点E， 于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．
例5.（2023.广东九年级专项训练）如图，在 中， 的外角平分线与边BC的延长线交于点P，
的平分线与边CA交于点Q， 的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线．
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例6．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅
劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与 的三边 或它们的延长线交于
三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则有 ， ，
∴ ， ．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
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（1）如图3， 三边 的延长线分别交直线 于 三点，证明： ．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边 的边长为3，点 为 的中点，
点 在 上，且 与 交于点 ，试求 的长．（3）如图5， 的面积为4，F为
中点，延长 至 ，使 ，连接 交 于 ，求四边形 的面积．
例7．（2023.山东九年级月考）如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR
相交于一点M，求证： ．
例8. （2023.浙江九年级期中）如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，
BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。
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例9.（2023.北京九年级月考如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线
AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证： .
例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大
的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在 内任取一点 ，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则
．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三
线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若 为等
边三角形（图3）， ， ，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出 的面积．
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课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝ AB，连接EM
并延长，交BC的延长线于D，则 ＝（ ）
A． B．2 C． D．
2.（2023.浙江九年级期中）如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、
BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（ ）
A． B． C． D．
3．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在 中， ， ，
， ，垂足为D，E为 的中点， 与 交于点F，则 的长为 ．
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4．（2022年山西中考一模数学试题）如图，在 中， ， ， ． 是
边上的中线．将 沿 方向平移得到 ． 与 相交于点 ，连接 并延长，与边 相
交于点 ．当点 为 的中点时， 的长为 ．
5．（2022年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图， 为 的直径，C为 上一点，
的切线 交 的延长线于点D，E为 的中点， 交 的延长线于点F．若 ， ，则
的长为 ．
6．（2023年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
， ， ， 的平分线分别交AC，BC于点E，F．则线段OE的长为 ．
7．（2023下·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，等边△ABC的边长为5，D在BC延长线上，CD＝3，
点E在线段AD上，且AE＝AB，连接BE交AC于F，则CF的长为 ．
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8．（2023·重庆·八年级期中）如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 ,
．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为 ．
9.（2023.湖北.九年级月考）如图所示， 被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6
个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则 的面积为 ．
10．（2023上·河南洛阳·九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解
答．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．
(1)求 的值；(2)若AB＝a，FB＝AE，求AC的长．
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11．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图， 三边 ， ， 的延长线分别交直线 于 ，
， 三点，证明： ．（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）
12．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果
一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，
CF与AD交于点E，则 ________．
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13．（2021·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》
一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则
．下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．
∴△NAF∽△CBF．∴ ①．
同理可得△NOA∽△COD．∴ ②．
任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；
任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC
＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于
点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的
比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．
14．（重庆2022-2023学年八年级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段BC
上一动点（不与点B、C重合），连接AD，延长BC至点E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥AD于点F，再
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延长EF交AB于点M．（1）若D为BC的中点，AB＝4，求AD的长；（2）求证：BM＝ CD．
15．（2023年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图， 为 的直径，C为 上一点， 的
切线 交 的延长线于点D，E为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
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