文档内容
北京市房山区 2019-2020 学年九年级上学期期中数学试题
考生须知
1．本试卷共6页，共三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上认真填写学校和姓名．
3．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将试卷、答题卡一并交回
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. 1cm，2cm，20cm，40cm B. 1cm，2cm，3cm，4cm
C. 4cm，2cm，1cm，3cm D. 5cm，10cm，15cm，20cm
【答案】A
【解析】
【分析】两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段进行，据此判断即可
【详解】解：所给选项，只有A中，1×40＝2×20，四条线段成比例，
故选A．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条
相乘，看它们的积是否相等．
2. 下列多边形一定相似的是（ ）
A. 两个平行四边形 B. 两个矩形
C. 两个菱形 D. 两个正方形
【答案】D
【解析】
【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答
案．
【详解】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，
两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，
两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，
两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．
3. 如图， ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（ ）
△A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵△ABC∽△AED
∴∠C＝∠ADE＝80°．
故应选C
4. 对于二次函数y＝﹣2x2，下列结论正确的是（ ）
A. y随x的增大而增大 B. 图象关于直线x＝0对称
C. 图象开口向上 D. 无论x取何值，y的值总是负数
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可判断A、B、C，代入x=0，可判断D.
【详解】解：∵a＝﹣2＜0，b=0，
∴二次函数图象开口向下；对称轴为x＝0；当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，
故A，C错误，B正确，
当x=0时，y=0，故D错误，
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握基础知识是解题关键.
5. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物
线与x轴的交点可判断C，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：A、由二次函数的图象开口向下可得 ，故选项错误；
B、由抛物线与 轴交于 轴上方可得 ，故选项错误；
C、由抛物线与 轴有两个交点可以看出方程 的根的判别式 ，故选项错误；
D、把 代入 得： ，由函数图象可以看出 时二次函数的值为正，正
确．
故选D．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握“数形结合”数学思想的应用．
6. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹
角相等，
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题
型．
7. 如图，在 ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且DE∥AB，若S ：S ＝1：3，则S ：
CDE BDE CDE
△ △ △
S ＝（ △）
ABE
△
A. 1：9 B. 1：12
C. 1：16 D. 1：20
【答案】B
【解析】
【分析】由S ：S ＝1：3得CD：BD＝1：3，进而得到CD：BC＝1：4，然后根据DE∥AB可得
CDE BDE
△ △
CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质得到 ，然后根据面积和差可求得答案.
△
【详解】解：过点H作EH⊥BC交BC于点H，
∵S ：S ＝1：3，
CDE BDE
△ △
∴CD：BD＝1：3，
∴CD：BC＝1：4，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴ ，
∵S ＝S ＋S ＋S ，
ABC CDE BDE ABE
△ △ △ △∴S ：S ＝1：12，
CDE ABE
△ △
故选B．
【点睛】本题综合考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握相似三角形的判
定与性质．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于
A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（ ）
.
A B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，又x2+bx+c=0时， =0，列式求解即
可． △
【详解】抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴△=b2-4ac=0，
∴b2-4c=0，
设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，
(x+x)2−4xx＝(x−x)2
1 2 1 2 1 2
可得：b2-4（c-m）=9，
解得：m= ．
故选B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图，D是 ABC的边AB上的点，请你添加一个条件，使 CBD与 ABC相似，你添加的条件是
___________．△ △ △【答案】∠BCD=∠A (答案不唯一)
【解析】
【分析】已知∠B＝∠B，根据两组角对应相等可以判定 CBD与 ABC相似，可得添加条件∠BCD＝∠A
即可判定 CBD∽△ABC． △ △
【详解】△解：∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴△CBD∽△ABC．
∴添加条件∠BCD＝∠A即可判定 CBD∽△ABC，
故答案为∠BCD＝∠A（答案不唯一△）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性试题，答案不唯一．
10. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱 的高为 米，踏板 长为 米，支撑点 到踏
脚 的距离为 米，现在踏脚着地，则捣头点 上升了________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意将其转化为如图所示 的几何模型，易得 DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解
△
答即可．
【详解】∵AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD：DE=AB：EF，
∴0.6：1.6=0.3：EF，
∴EF=0.8米．∴捣头点E上升了0.8米．
故答案为0.8
【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形
中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点E上升的高度．
11. 如图，把 ABC沿AB边平移到 A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是
△ △
ABC的面积的一半，若AB= ， 则此三角形移动的距离AA′=________ ．
△
【答案】 -1
【解析】
【详解】∵ ABC沿AB边平移到 A′B′C′的位置，
∴AC∥A′C′△， △
∴ ABC∽ A′BG，
△ △
∴ ，
∴AB:A′B= :1，
∵AB= ，
∴A′B=1，
∴AA′= −1.
12. 请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式_________．
【答案】y=（x-3）2【解析】
【详解】分析题意可知，本题可以根据二次函数解析式的顶点形式y=a(x-h)2+k (其中a，h，k为常数，
a≠0)来构造合适的抛物线解析式.
由上述顶点形式易知，常数h为二次函数顶点的横坐标，常数k为二次函数顶点的纵坐标.
由二次函数的图象与性质可知，二次函数的顶点必在其对称轴上. 对称轴为x=3，其顶点的横坐标必然为
3，即上述顶点形式中的常数h=3.
由于题目中没有规定顶点的纵坐标k以及常数a的取值，所以在利用顶点形式构造函数解析式时在满足
a≠0的前提下可以对这两个常数任意取值.
作为示例，利用当a=1，h=3，k=0时的二次函数顶点形式构造解析式，即y=(x-3)2.
13. 已知点A（4， ），B（1， ），C（﹣3， ）在函数 （m为常数）的图象上，
则 ， ， 的大小关系是___________（由小到大排列）
【答案】y＜y＜y
3 1 2
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线 x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而
增大，即可得出答案．
【详解】解：∵ （m为常数），
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
∵A（4，y）关于直线x＝2的对称点是（0，y），且−3＜0＜1，
1 1
∴y＜y＜y
3 1 2
故答案为y＜y＜y．
3 1 2
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解决本题的关键．
14. 抛物线y＝（x﹣1）2 + t 与x轴的两个交点之间的距离为4，则y的最小值是_____．
【答案】-4
【解析】
【分析】首先用含t的式子表示出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据两个交点之间的距离为4列方程
求出t，即可得到y的最小值．
【详解】解：设抛物线y＝（x−1）2＋t与x轴的两个交点为（x，0），（x，0），
1 2
则x＝ ，x＝ ，
1 2∴|x −x|＝4，
1 2
∴ ，
解得：t＝−4，
∴y的最小值是−4，
故答案为−4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，利用解方程的方法求出抛物
线与x轴交点的横坐标是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系xOy中，点A（m，n）在抛物线y＝ax2 +2ax-3a上，点A关于此抛物线对称轴的对
称点为B（p，q），则m+p的值是______．
【答案】-2
【解析】
【分析】首先求出抛物线的对称轴为直线x＝−1，然后根据抛物线的对称性得到 ，即可求得m
＋p＝−2．
【详解】解：抛物线y＝ax2＋2ax−3a的对称轴为直线x＝ ，
∵点A（m，n）关于此抛物线对称轴的对称点为B（p，q），
∴ ，
∴m＋p＝−2，
故答案为−2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性得出 是解题的关键．
16. 二次函数y=2x2 - 4x+m满足以下条件： 当-22时x的取值范围.
【答案】（1）y＝（x−3）2＋1；（2）见解析；（3）x＜2或x＞4．
【解析】
【分析】（1）利用配方法变形即可得解；
（2）列表，描点，画图即可；
（3）根据函数图象进行判断即可．
【详解】解：（1）y＝x2−6x＋10＝x2−6x＋9＋1＝（x−3）2＋1；
（2）列表：
描点、连线，作函数图象如图：（3）由图象可知：当y＞2时x的取值范围是x＜2或x＞4．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，根据点的坐标画出函数图象利用数形结合解决问
题是解题的关键．
19. 下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：
x … ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 …
y … m ﹣1 ﹣2 ﹣1 2 …
（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）当x＞0时，y的取值范围是 ；
（3）当抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，n的取值范围是 ．
【答案】(1)上，（1，－2），2；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，然后可得抛物线的开口方向及顶点坐
标，令x＝−1代入可求得m的值；
（2）根据（1）中所求顶点坐标可得答案；
（3）在y＝x＋n中，将x＝1代入可得y＝1＋n，结合条件可列出关于n的不等式，解不等式可得n的取值
范围．
【详解】解：（1）把点（0，−1），（1，−2）和（2，−1）代入二次函数解析式，得： ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝x2−2x−1＝（x−1）2−2，
∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，−2），
令x＝−1，代入y＝x2−2x−1可得m＝2，
故答案为上；（1，−2）；2；
（2）∵顶点坐标为（1，−2），
∴当x＞0时，y≥−2，
故答案为y≥−2；
（3）在y＝x＋n中，将x＝1代入可得y＝1＋n，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在直线y＝x＋n的下方，
∴1＋n＞−2，解得n＞−3，
故答案为n＞−3．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
20. 如图， ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D． 求证：DC 2 = DA·DB
△
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据同角的余角相等得到∠3=∠5，证明 ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，整
理即可证明． △
【详解】证明：∵CD⊥ AB，
∴∠1=∠2=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠5，
∴ ACD∽△CBD，
△∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握同角的余角相等、相似三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键．
21. 如图， ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE交于点O，连接D、E.
（1）依题意△补全图形；
（2） OAB与 OED相似吗？说明理由.
△ △
【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目的叙述直接补全图形即可；
（2）易证 BOD∽△AOE，由此可得OB：AO＝OD：OE，进而可得 OAB∽△OED．
【详解】解△：（1）如图： △；
（2）相似，
理由：∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴∠DAC＝∠EBC，
又∵∠BOD＝∠AOE，
∴△BOD∽△AOE，
∴OB：AO＝OD：OE，
∵∠AOB＝∠EOD，
∴△OAB∽△OED．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题的难点是多次证明三角形相似，熟记相似三角形的判
定方法是解题关键．
22. 如图，平行四边形ABCD中，过点C作CE交BD于点M，交AD于点F，交BA的延长线于点E，若
FM =2，EF =6，求CM的长.
【答案】4
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，从而证明 FDM∽△CBM，由此得出 ；同理
△
可得 ，从而推出 ，由已知数据得出EM，最后将相关值代入即可求得CM．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC，
∴△FDM ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，即 ，
∵FM=2，EF=6，
∴EM=8，
∴ ，
∴CM=4 (负值已舍去).
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相似三角形的判定方法及其性质定理是解题的关键．
23. 如图，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在这个网格上画一个与
△ABC相似，且面积最大的△AB C （A，B ，C ，三点都在格点上）．则这个三角形的面积是
1 1 1 1 1 1【答案】5．
【解析】
【详解】试题分析：：如图可得出AC= ，则AC的对应边AC 最长的长度为 ，所以可依次作出
1 1
AB ，B C ．即△AB C ，△AB C 的面积可用相似比求解．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
试题解析：利用勾股定理得出△ABC各边长AB= ，BC=2，AC= ，
故AC的对应边AC 最长的长度为 ，
1 1
AC =5 ，AB = ，B C =2 ．
1 1 1 1 1 1
∵ ，
∴
∵S = ×1×2=1，
△ABC
∴△AB C 的面积为：5．
1 1 1
考点：相似三角形的判定．
24. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，
达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高
度是多少？．
【答案】（1）y= - 0.2x2+3.5；（2）0.3m
【解析】
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2＋3.5，依题意可知函数图象经过点(1.5，3.05)，代入可得a的值；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得 ，解方程求出h
即可.
【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，
由图可知函数图象过点(1.5，3.05)，
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：a=-0.2，
∴抛物线的表达式为y= - 0.2x2+3.5；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则球出手时，球的高度为(h+1.7+0.25)m，
∵(1)中求得y= - 0.2x2+3.5，
∴ ，
解得：h=0.3，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.3m.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大，能够
结合题意求得二次函数的解析式是解答本题的关键．25. 有这样一个问题：探究函数y＝ 的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y＝
的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值．
x ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y 0 ﹣ ﹣1 ﹣ m …
求m的值；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数
的图象；
(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．
【答案】（1）x≥－2且x≠0；（2）1.（3）详见解析.（4） 当－ 2 ≤ x ＜ 0 或 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小 .
【解析】
【分析】（1）根据被开方数非负以及分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（2）将x=2代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性．【详解】解：（1）由题意得： ，解得x≥－2且x≠0；
故答案为x≥－2且x≠0；
(2)当x＝2时，m＝ ＝1.
(3)图象如图所示.
（4）观察函数图象发现：当-2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
故答案为当-2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，描点法画函数图象及从函数图像获取信息，连点成曲线画出
函数图象是解题的关键．
26. 已知抛物线C ：y=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．
1 1
（1）求k的值；
（2）怎样平移抛物线C 就可以得到抛物线C ：y=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；
1 2 2
（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C ：y=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值
2 2
范围．
【答案】（1）k=2；（2）方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）﹣3＜m＜1．
【解析】
【详解】【试题分析】（1）与x轴有一个交点，即2x2﹣4x+k=0的解有两个相等的实数根,即△=16﹣
8k=0，解得：k=2；
（2）C 配方得：y =2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C 是：y =2（x+1）2﹣8．
1 1 2 2
根据上加下减常数项，左加右减自变量得，平移抛物线C 就可以得到抛物线C 的方法是向左平移2个单
1 2
位长度，向下平移8个单位长度；
（3）先求出当x=1时的函数值，得y =2（x+1）2﹣8=0，即t=0．在y =2（x+1）2﹣8中，令y=0，解
2 2
得：x=1或﹣3．则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．
【试题解析】
（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；（2）C 是：y =2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C 是：y =2（x+1）2﹣8．
1 1 2 2
则平移抛物线C 就可以得到抛物线C 的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；
1 2
（3）当x=1时，y =2（x+1）2﹣8=0，即t=0．
2
在y =2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．
2
则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．
27. 如图，小芳家的落地窗（线段DE）与公路（直线PQ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向
窗外的公路望去．
（1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC．
（2）小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她想到了一个办法．她测出了邻家小彬在公路BC段上走
过的时间为10秒，又测量了点A到窗的距离是4米，且窗DE的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2
米/秒，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离．
【答案】(1)见解析;(2)16m
【解析】
【分析】（1）连接AD、AE并延长，交PQ于B、C，则BC即为所求；
（2）过A做AG⊥PQ于G，交DE于H，由窗DE和路PQ平行，可得 ADE∽△ABC，进而得到
△
，BC的长度可根据小彬的速度和时间求出，AH，DE已知，据此可求出AG.
【详解】解：（1）如图，BC即为所求：（2）过A做AG⊥PQ于G，交DE于H，
由题意可知：DE //BC，DE=3，AH=4， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AG=16，
答：点A到公路的距离是16m.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本
题中只要求出BC，即可利用相似比，列方程求出AG．
28. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y），E（3，y）在抛物线上，若y＜y，请直接写出n的取值范围；
1 2 1 2（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4
的上方，求k的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．（2）当n＜﹣1或n＞3时，y＜y．
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（3）∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由抛物线的对称轴方程可求得m=1，从而可求得抛物线的表达式；
（2）将x=3代入抛物线的解析式，可求得y=3，将y=3代入抛物线的解析式可求得x=-1，x=3，由抛物
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线的开口向下，可知当n<-1或n>3时，y3时,y
