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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
海淀区七年级练习
数学
1．本试卷共7页，共3道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题（本题共30分，每题3分）
第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置，对各选项进行判断即可．
【详解】解：解：A、B、C选项中的图通过平移无法得到，D选项中的图是通过平移得到．
故选：D．
【点睛】本题注意考查的是利用平移设计图案，熟知平移与旋转的性质是解答此题的关键．
2. 如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上被覆盖的数在3与4之间，逐项进行判断即可．
【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在3与4之间；
A． ，不在3与4之间，故A错误；
B． ，不在3与4之间，故B错误；
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C． ，在3与4之间，故C正确；
D． ，不在3与4之间，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是估算出各个选项中的无理数在哪两个整数之间．
3. 若 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将这组值代入二元一次方程即可得出答案．
【详解】解：将 代入 得： ，
解得： ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．
4. 已知 ，下列变形中，一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解： ，
，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
如 时，满足 ，但 ，故选项D错误
故选：C．
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【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
5. 小明一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为 千
米 小时，则 满足的条件是（ ）
小客车 120
最高限 大型客车 100
速
货车 90
最低限速 60
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意已知小客车的最高限速和所有车辆的最低限速，易得出小客车的速度范围．
【详解】解：由题意小客车的最高限速为 千米 小时，而所有车辆的最低限速为 千米 小时，
，
因此小客车的速度范围是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组解集的原则是解题的关键．
6. 如图，直线 与 交于点O， ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】直接利用邻补角的定义结合垂线的定义进而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】主要考查了邻补角和垂线的定义，正确得出 的度数是解题关键．
7. 不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
移项得： ，
解得： ，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，需要注意的是：如果是表示大于或小于
号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
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8. 将一个长方形的长减少 ，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为 ，
宽为 ，则下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形的长减少 宽变成现在的2倍，列出方程即可．
【详解】解：设这个长方形的长为 ，宽为 ，根据题意得：
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系．
9. 如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．建立平面直角坐标系，使点B，C的
坐标分别为 和 ，则上述7个点中在第二象限的点有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面直角坐标中点的位置直接进行判断即可．
【详解】解：根据图形可知，点A、G在第二象限内，
∴7个点中在第二象限的点有2个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系的象限分布．
10. 为了解北京市城乡居民可回收物投放情况和资源化利用情况，北京市统计局连续两年分别对全市16区
的各3210名城乡居民开展调研，其中对于“被访者处理废弃电器及电子产品的方式（被访者回答时可以多
选）”这一问题的答题统计如下图所示，图中的数据为选择该选项的人数占总调研人数的百分比：
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根据上述信息，以下说法中不合理的是（ ）
A. 北京市城乡居民处理废弃电器及电子产品方式多样，呈现出多元化
B. 在2022年，将废弃电器及电子产品闲置在家的被访者较2021年明显减少
C. 与2021年相比，2022年“以旧换新”成为处理废弃电器及电子产品的最主要方式
D. 在2022年，有不足1000名被访者选择了“旧货交易、二次出售”的处理方式
【答案】D
【解析】
【分析】根据图表信息逐项判断即可．
【详解】解：北京市城乡居民处理废弃电器及电子产品方式多样，呈现出多元化，故选项A合理；
在2022年，将废弃电器及电子产品闲置在家的被访者较2021年明显减少，故选项B合理；
与2021年相比，2022年“以旧换新”成为处理废弃电器及电子产品的最主要方式，故选项C合理；
在2022年，被访者选择了“旧货交易、二次出售”的处理方式有 ，故选项D
不合理．
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图得出合理的信息是本题的关键．
二、填空题（本题共18分、每题3分）
11. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
的
∴16 平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
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故答案为：4
12. 计算 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
13. 如图，由 可以判定________ ________，其理由是________．
【答案】 ①. ②. ③. 同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线 的判定即可．
【详解】解： ，
，理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为： ，同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定：同位角相等，两直线平行是本题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，若点 到 轴的距离是3，则 的值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求得 的值．
【详解】因为点 到 轴的距离是3，
所以 ，
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解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到
x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
15. 有一个两位数，它的个位上的数为 ，十位上的数为 ，那么这个两位数可以用含有a，b的式子表示
为________，如果将它个位和十位上的数对调，使得到的两位数比原来的两位数大，那么a，b的大小关系
为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据这个两位数个位上的数为 ，十位上的数为 ，列出代数式即可；根据得到的两位数比原来
的两位数大，得出 ，整理得出 ．
【详解】解：∵这个两位数个位上的数为 ，十位上的数为 ，
∴这个两位数是 ；
将它个位和十位上的数对调后，可以表示为 ，要使得到的两位数比原来的两位数大，则
，
∴ ，
即 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，将线段 平移，得到线段 （点
的
A 对应点为点 ，点 的对应点为点 ），线段 上任一点 在平移后的对应点为 ，
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其中 ， ．
（1）若点 与点 恰好重合，则 ________， ________；
（2）若 ，且平移后三角形 的面积最大，则此时 ________， ________．
【答案】 ①. 4 ②. 2 ③. 0 ④. 6
【解析】
【分析】（1）根据点 与点 恰好重合，得到线段 向右平移4个单位，向下平移2个单位到线段 ，
从而得出 ， ；
（2）根据线段 上任一点 在平移后的对应点为 ， ， ，得出 只能向右
平移或向下平移，根据无论如何平移，线段 的长度不变，得出当 上的高最大时， 面积最
大，根据点B距离 最远时， 面积最大，根据 ，结合图形，得出当 向下平移 个
单位时，水平位置不动时，点B距离 最远， 面积最大，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点 与点 恰好重合，
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∴线段 向右平移4个单位，向下平移2个单位得到线段 ，
∴线段 上任一点 在平移后的对应点为 ，
∴ ， ；
故答案为：4；2；
（2）∵线段 上任一点 在平移后的对应点为 ， ， ，
∴ 只能向右平移或向下平移，
∵无论如何平移，线段 的长度不变，
∴当 上的高最大时， 面积最大，
即点B距离 最远时， 面积最大，
∵ ，
∴当 向下平移 个单位时，水平位置不动时，点B距离 最远， 面积最大，如图所示：
此时 ， ，
故答案为：0；6．
【点睛】本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移规律．
三、解答题（本题共52分，第17题8分，第18—20题，每题4分，第21题5分，第22题5
分，第23题4分，第24—26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
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17. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用代入消元法解方程组；
（2）用加减消元法解方程组．
【小问1详解】
解：
把 代入 ，得 ，
，
把 代入 ，得 ，
故原方程组的解为 ；
【小问2详解】
解：
，得 ，
把 代入 ，得 ，
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故原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的能力，熟练掌握并求出方程组的解是
本题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
故原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组解集的原则是解题的关键．
19. 已知正实数 的两个平方根分别是 和 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据平方根的定义，得 ，再化简即可；
（2）联立 ，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可．
【小问1详解】
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解：正实数 的两个平方根分别是 和 ，
，
，
若 ，则 ；
【小问2详解】
解：联立 ，得 ，
．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
20. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．
（1）线段 的长为________，请选用合适的工具，描出点 的位置；
（2）若点 的纵坐标为1，且 ，请判断：点 的位置________（填“唯一”或“不唯一”），若
唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点 的位置．
【答案】（1） ；画图见解析
（2）不唯一；图中标出所有点 的位置见解析
【解析】
【分析】（1）根据两点间距离公式求出 的长即可；连接 ，以点A为圆心， 为半径画弧，交
轴于一点，该点即为点C；
（2）根据点 的纵坐标为1，且 ，且B点坐标为 ，得出点D的坐标为 或 ，即可
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得出点D的位置不唯一．
【小问1详解】
解：线段 的长为 ；
如图：连接 ，以点A为圆心， 为半径画弧，交 轴于一点，该点即为点C．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即点C坐标为为 ；
故答案为： ．
【小问2详解】
解：∵点 的纵坐标为1，且 ，且B点坐标为 ，
∴点D的坐标为 或 ，
∴点D的位置不唯一，如图所示：
故答案为：不唯一．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握两点
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间距离公式．
21. 某博物馆有A，B两种不同的文创纪念品，花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者
购买5件A纪念品和10件B纪念品．
（1）A，B两种纪念品的单价各多少元？
（2）如果想购买两种纪念品共20件，其中A纪念品不少于8件，最少花费多少元？请说明理由．
【答案】（1）A，B两种纪念品的单价分别为30元、25元
（2）最少花费为540元；理由见解析
【解析】
【分析】（1）设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据花费400元可以购买10件A纪念品和4
件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为 件，根据题意得出 ，根据A纪念品的
价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，得出购买的A纪念品越少花费越少，根据m的取
值范围得出当购买 纪念品8件， 纪念品购买 件时，花费最少，求出最少花费即可．
【小问1详解】
解：设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据题意得：
，
解得： ，
答：A，B两种纪念品的单价分别为30元、25元．
【小问2详解】
解：设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为 件，根据题意得： ，
∵ ，即A纪念品的价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，
∴购买的A纪念品越少花费越少，
∴当购买 纪念品8件， 纪念品购买 （件）时，花费最少，
则最少花费为 （元），
答：最少花费为540元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组．
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22. 如图，已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，恰好满足 平分 ．若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ，根据 ，得出
，根据平行线的判断得出 ；
（ 2 ） 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出 ， 根 据 角 平 分 线 的 定 义 得 出
， 根 据 垂 直 定 义 得 出 ， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出
，最后求出 即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
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解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，
补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
23. 某市在实施居民阶梯电价收费政策前，对居民生活用电情况进行了调查，下图是通过简单随机抽样调
查获得的50个家庭去年的月均用电量直方图：（数据分为如下5组， ， ，
， ， ．）
（1）请补全直方图；
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（2）根据直方图可以判断，在上面5个组中，月均用电量 （度）在_________范围内的家庭最多；
（3）为鼓励节约用电，需要确定一个用电量的标准，将原来单一的 的电费标准改为按月均用
电量分为三档，如下表所示：
档位 月均用电量 （度） 电费单价（ ）
第一档
第二档
第三档
①根据表中信息，需要按第三档标准缴纳电费的家庭数约占总家庭数的百分比为________；
②抽样结果中，月均用电量 为 的9个家庭其月均用电量依次为 ， ， ，
， ， ， ， ， ，根据上述信息，若要使约 的家庭电费支出不受
到影响，请写出一个合理的 值为_________．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）310（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）用电量为 的家庭数为 ，补全直方图即可；
（2）观察直方图即可；
（3）①月均用电量 有5人，即可得出结果，② ，即 的值在第6个数
与第7个数 之间，即可得出结果．
【小问1详解】
解：用电量为 的家庭数为 ，补全直方图如图：
【小问2详解】
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解：用电量为 的家庭数为11，
用电量为 的家庭数为19，
用电量为 的家庭数为9，
用电量为 的家庭数为6，
用电量为 的家庭数为5，
故月均用电量 （度）在 范围内的家庭最多，
故答案为：
【小问3详解】
解：①月均用电量 有5人，
需要按第三档标准缴纳电费的家庭数约占总家庭数的百分比为 ，
故答案为： ．
② ，即 的值在第6个数 与第7个数 之间，
故 的值为310（答案不唯一）．
【点睛】本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24. 对于两个关于 的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是
“互联”的．例如不等式 和不等式 是“互联”的．
（1）请判断不等式 和 是否是“互联”的，并说明理由；
（2）若 和 是“互联”的，求 的最大值；
（3）若不等式 和 是“互联”的，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）是，理由见详解
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（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）解不等式得 ，再根据“互联”的定义即可；
（2）根据题意得 ，再根据“互联”的定义得 ；
（3）根据题意得 ，再根据“互联”的定义得 ，再解不等式即可．
【小问1详解】
解：是，理由如下：
解不等式得 ，
满足条件的整数有且只有一个：2，所以这两个不等式是“互联”的；
【小问2详解】
解：解不等式 ，得 ，
若 和 是“互联”的，
，则满足 的整数有且只有一个：1，
即 ，
故 的最大值为4；
【小问3详解】
解：若不等式 和 是“互联”的，
则满足 的整数有且只有一个，
，
．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式 的解法，本题的关键在于充分理解两不等式“互联”的
定义：有且仅有一个整数使两不等式同时成立．据此判断两不等式是否“互联”较为容易，根据两不等式
“互联”反解参数范围时需注意区间端点是否能取到．
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25. 如图，已知线段 ，点 是线段 外一点，连接 ， ．将线段
沿 平移得到线段 ．点 是线段 上一动点，连接 ， ．
（1）依题意在图1中补全图形，并证明： ；
（2）过点C作直线 ．在直线 上取点 ，使 ．
①当 时，画出图形，并直接用等式表示 与 之间的数量关系；
②在点 运动的过程中，当点 到直线 的距离最大时， 的度数是________（用含 的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①点 在直线 的上方时， ；点 在直线
的下方时， ；② ．
【解析】
【分析】（1）作 ，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点 到直线 的最大距离就是线
段 的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：补全图形如图所示，作 ，
∵将线段 沿 平移得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
即
【小问2详解】
解：①分两种情况：
点 在直线 的上方时，如图所示：
由平移的性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ；
点 在直线 的下方时，如图所示：
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，
∴ ，
整理，得 ；
②作 ，如图所示：
∵ ，
∴点 到直线 的距离就是线段 的长，
∵ ，
∴点 到直线 的最大距离就是线段 的长，此时 ，作 于点 ，如图所示：
由平移的性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画
出图形是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，对于不重合的两点 和点 ，如果当 时，有
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；当 时，有 ，则称点 与点 互为“进取点”．特别地，当 时，点
与点 也互为“进取点”．已知点 ，点 ．
（1）如图1，下列各点： ， ， ， ，其中所有与点 互为“进取点”
的是________；
（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足 ， 的所有整点中
（如图2）：
①已知点 为第一象限中的整点，且与点 ，点 均互为“进取点”，求所有符合题意的点 的坐
标；
②在所有的整点中取 个点，若这 个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出 的最大值．
【答案】（1）C、D、F；
（2）① ， ， ， ， ， ， ， ， ，
；
②31．
【解析】
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【分析】（1）根据 ， ，判定点 ， ，互为“进取点”；根据 ，判定
点 ， 互为“进取点”；根据 ， ，判定点 ， 不互为“进
取点”；根据 ， ，判定点 ， 互为“进取点”；
（2）①当 ， 时，有 ， ， ， 当 ， 时，有
， ， ， ， ， ， ，均与点 、点
互为“进取点”；
②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点 按向右再向上的顺序循环平移，每次
平移一个单位长度直到 ，第一象限内得到7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个
点，加上x轴上3个点， 的最大值为31．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴点A与点C互为“进取点”；
∵ ， ，
∴ ，
∴点A与点D互为“进取点”；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴点A与点E不互为“进取点”；
∵ ， ，
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∴ ， ，
∴点A与点F互为“进取点”；
故答案为：C、D、F；
【小问2详解】
解：①∵ 为第一象限中的整点，点 ，点 ，
∴当 ， 时，
， ，
∴ ， ， ，均与点 、点 互为“进取点”，
当 ， 时，
， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ，均与点 、点
互为“进取点”，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，均与点 、点 互为“进取点”；
②∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
∵当 时，有 ，则点 和点 互为“进取点”，
∴ ， ， ， ，
当 ， 时， 取值0,1,2,3， 取值1,2,3,4， 、 取值0,1,2,3,4，
∵任意两个整点都互为“进取点”，
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∴把点 按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到 ，（方法不唯一）
∴第一象限内共7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，x轴上共3个点，如图，
∴n的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，
解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则．
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