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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间几何体的结构特征
一、选择题（共20小题；）
1. 底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥 ()
A. 一定是正三棱锥
B. 一定是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）
C. 一定不是正三棱锥
D. 不一定是正三棱锥
2. 若正方体的一条体对角线的长度为 3，那么此正方体的棱长等于 ()
1
A. B. √2 C. √3 D. 1
2
3. 下列关于圆柱的命题正确的是 ()
A. 圆柱的轴是经过圆柱上、下底面圆的圆心的直线
B. 圆柱的母线是连接圆柱上底面和下底面上一点的直线
C. 矩形较长的一条边所在的直线才可以作为旋转轴从而形成圆柱
D. 矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱
4. 用一平面去截体积为 4√3π 的球，所得截面的面积为 π，则球心到截面的距离为 ()
A. 2 B. √3 C. √2 D. 1
5. 如图所示的简单组合体的结构特征是 ()
A. 由两个四棱锥组合成的
B. 由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C. 由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的
D. 由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
6. 在正三棱锥 P−ABC 中，D,E 分别是 AB,BC 的中点，有下列三个论断：
① AC⊥PB；② AC∥平面PDE；③ AB⊥平面PDE．
其中正确论断的个数为 ()
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
7. 若圆柱的母线长为 10，则其高等于 ()
A. 5 B. 10 C. 20 D. 不确定8. 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五
棱柱对角线的条数共有 ()
A. 20 B. 15 C. 12 D. 10
9. 正方体的棱长为 4 ，在正方体内放八个半径为 1 的球，再在这八个球中间放一个小球，则
小球的半径为 ()
1
A. 1 B. 2 C. D. √3−1
2
10. 已知正三角形 ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，
E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是 ()
7π 9π
A. B. 2π C. D. 3π
4 4
11. 某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形，则
该几何体中最长的棱长为 ()
A. √2 B. √3 C. 1 D. √6
12. 有下面五个命题：①各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正
棱锥；③底面是正方形的棱锥是正四棱锥；④正四面体就是正四棱锥；⑤顶点在底面上的射影
既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是 ()
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
13. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 ()
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥
14. 正三棱锥 V −ABC 的底面边长为 2a，E 、 F 、 G 、 H 分别是 VA 、 VB 、 BC 、
AC 的中点，则四边形 EFGH 面积的取值范围是 ()
A. (0,+∞) B. (√3 a2,+∞ ) C. (√6 a2,+∞ ) D. (1 a2,+∞ )
3 3 215. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A B C D 中，M，N 分别为 BD ，B C 的中点，点 P
1 1 1 1 1 1 1
在正方体的表面上运动，且满足 MP⊥CN，则下列说法正确的是 ()
√3
A. 点 P 可以是棱 BB 的中点 B. 线段 MP 的最大值为
1 2
C. 点 P 的轨迹是正方形 D. 点 P 轨迹的长度为 2+√5
16. 在正三棱柱 ABC−A B C 中，若 AB=2，A A =1，则点 A 到平面 A BC 的距离为 ()
1 1 1 1 1
√3 √3 3√3
A. B. C. D. √3
4 2 4
17. 如图所示是正方体分割后的一部分，它的另一部分为下列图形中的 ()
A. B.
C. D.
18. 已知平面 α 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 α 成 60∘ 二面角的平面 β 截该球面得圆 N．
若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4π，则圆 N 的面积为 ()
A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π
19. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下
层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积（含最底层正
方体的底面面积）超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是 ()A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
20. 如图，模块 ①−⑤ 均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块 ⑥ 由 15 个棱长为 1 的小
正方体构成．现从模块 ①−⑤ 中选出三个放到模块 ⑥ 上，使得模块 ⑥ 成为一个棱长为 3
的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为 ()
A. 模块 ①,②,⑤ B. 模块 ①,③,⑤ C. 模块 ②,④,⑥ D. 模块 ③,④,⑤
二、填空题（共5小题；）
21. 一个棱柱至少有 个面；面数最少的一个棱锥有 个顶点；
顶点最少的一个棱台有 条侧棱．
22. 已知 A,B,C,D 是同一个球面上的四点，且每两点之间的距离都等于 2，则该球的半径是
，球心到平面 BCD 的距离是
23. 下列说法中，正确说法的序号是 ．
① 棱柱的各个侧面都是平行四边形；
② 底面是矩形的四棱柱是长方体；
③ 有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
④ 直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥．
24. 如果三棱锥 A−BCD 的底面 BCD 是正三角形，顶点 A 在底面 BCD 上的射影是
△BCD 的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
①正三棱锥所有棱长都相等；
②正三棱锥至少有一组对棱（如棱 AB 与 CD）不垂直；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④若正三棱锥所有棱长均为 2√2，则该棱锥外接球的表面积等于 12π；
⑤若正三棱锥 A−BCD 的侧棱长均为 2，一个侧面的顶角为 40∘，过点 B 的平面分别交侧
棱 AC，AD 于 M，N，则 △BMN 周长的最小值等于 2√3．以上结论正确的是 （写出所有正确命题的序号）．
25. 在三棱锥 A−BCD 中，侧棱 AB,AC,AD 两两垂直，△ABC 、 △ACD 、 △ADB 的
√2 √3 √6
面积分别为 、 、 ，则三棱锥 A−BCD 外接球的表面积为 ．
2 2 2
三、解答题（共5小题；）
26. 判断下列说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请举一个反例．
（1）有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱．
（2）正四棱柱是正方体．
（3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥．
27. 如图所示是一个三棱台 ABC−A B C ，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部
1 1 1
分都是一个三棱锥?
28. 如图，以直角梯形的一条边为轴旋转一周所形成的几何体是圆台吗?
29. 已知正六棱锥底面边长为 a，高为 ℎ，求底面面积、侧棱长和斜高．
30. 一个圆台的母线长为 12cm，两底面面积分别为 4πcm2 和 25πcm2，求：
（1）圆台的高；
（2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．答案
1. D 【解析】题中描述的三棱锥可能是正三棱锥，也可能不是，比如下图中的三棱锥 S−ABC .
2. C
3. A 【解析】由圆柱的定义和有关概念可知，A 正确；
矩形的任意一条边所在的直线都可以作为旋转轴形成圆柱，C 错误；
圆柱的母线必须在侧面上且垂直于底面，所以 B 不正确；
矩形绕任意直线旋转不一定形成圆柱，因此 D 错误．
4. C 【解析】设球半径为 R，截面圆半径为 r，则 R=√3，r=1，∴ d=√R2−r2=√2．
5. A
6. C 【解析】提示：找 AC 的中点 Q，联结 PQ 、 BQ，
容易得 PQ⊥AC，BQ⊥AC，所以 AC⊥平面PBQ，所以①成立；
显然 DE∥AC，所以②成立；
三角形 ABC 是等边三角形，显然 AB 和 DE 不垂直，所以③不成立．
7. B
8. D 【解析】正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一
个正五棱柱对角线的条数共有 5×2=10 条．
9. D 【解析】因为在正方体内放八个半径为 1 的球，所以，这 8 个球的球心组成一个新的正
方体，连接棱长是 4 的正方体的对角线，则在对角线上有 8 个小球中的两个还有最后放入的小
球三个球依次相切，所以，最后放入的小球的直径等于新形成的棱长为 2 的小正方体的对角线减去
两个球的半径，所以，小球的直径是 √22+22+22−2＝2√3−2 ． 所以，小球的半径是
2√3−2
＝√3−1 ．
210. C
11. B 【解析】由题意可知，此几何体如图所示，底面为一个直角三角形，高为 1，最长的棱为正方
体的主对角线，长为 √3．
12. A 【解析】命题①中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保
证顶点在底面上的射影是底面的中心，
故不是正棱锥，如图（1）中的三棱锥 S−ABC，可令 SA=SB=BC=AC=3，SC=AB=1，则此三
棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；
命题②中的“侧棱都相等”并不能保证底面是正多边形，如图（2）中的三棱锥 P−≝¿，可令
PD=PE=PF=1，DE=DF=√2，EF=1，三条侧棱都相等，但它不是正三棱锥；
命题③中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如图（3），从正
方体中截取一个四棱锥 D −ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；
1命题④中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有 4 个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全
等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；
命题⑤中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心”，说明了底面是
一个正多边形，符合正棱锥的定义．
13. D
14. B 【解析】提示：找 AB 的中点 D，联结 VD 、 CD，容易得知 VD⊥AB，CD⊥AB，所
1 1
以 AB⊥平面VCD，从而 VC⊥AB，所以 FG⊥EF，EF= AB=a，FG= VC，而
2 2
2√3a 1 √3
VC> ，所以四边形 EFGH 的面积 s=EF⋅FG= VC⋅a> a2 ．
3 2 3
15. D
【解析】A选项：若 P 为 BB 中点，MP∥B D ∥EN，E 为 C D 中点，
1 1 1 1 1
√1 √5
而 CN= +1= ，
4 2
√ 1 √5
CN= 1+ = ，
4 2
所以 CN=CE．
所以此时 EN 与 NC 不垂直，即 MP 与 CN 不垂直，故A选项错误．
B选项：作出与 CN 垂直面 ABGH，G，H 为 DCC D 中位线，
1 1
此时 CN⊥BG，HG⊥面B BCC ，
1 1
所以 HG⊥CN．
故 CN⊥面ABGH．
√3 BD √3
此时 MP 最大值于 A 或 B 取到，为 （ 1= ），
2 2 2又点 P 在正方体表面而非顶点，故B选项错．
C选项：AH≠AB，故不是正方形，故C选项错.
√ 1
D选项：长度为 2AB+2BG=2+2× 1+ =2+√5，故D选项正确．
4
16. B 【解析】利用等体积代换法：由 V =V ，可求点 A 到平面 A BC 的距离．
A −ABC A−A BC 1
1 1
17. B
18. D 【解析】如图所示，设球的半径为 R，由圆 M 的面积为 4π 知，
AM=2,
球心 O 到圆 M 的距离
OM=2√3,
在 Rt△OMN 中，∠OMN=30∘，所以
1
ON= OM=√3,
2
故圆 N 的半径
r=√R2−ON2=√13,
所以圆 N 的面积为
S=πr2=13π.
19. C 【解析】底层正方体边长为 2，每个面的面积为 2×2=4；
√2 1
第二层正方体边长为 2× ，每个面的面积为 4× ；
2 2
(√2) 2 (1) 2
第三层正方体的边长为 2× ，每个面的面积为 4× ；
2 2
⋯
(√2) n−1 (1) n−1
第 n 层正方体的边长为 2× ，每个面的面积为 4× ；
2 2
[ 1 (1) 2 (1) n−1] (1) n−5
则该塔形的表面积为 4×6+4 4× +4× +⋯+4× =40− ．
2 2 2 2
(1) n−5
解 40− >39，得 n>5．
2
20. A
【解析】观察模块 ⑥ 可知，模块 ⑤ 补模块 ⑥ 中间一层，于是模块⑥只缺最上面的一层的 8 块，
模块 ① 补模块 ⑥ 最上面一层的左边及前面 1 块，模块 ② 补模块 ⑥ 上面的右后角，如此便能够
成为一个棱长为 3 的大正方体．21. 5，4，3
√6 √6
22. ,
2 6
【解析】如图 O 是球心，A−BCD 是球的内接正四面体，棱长为 2，点 M 为点 A 在面 BCD
上的射影，则 M 是 △DBC 的重心，OD 是球的半径，OM 是球心到平面 BCD 的距离，我们
按照其中的几何量关系求出 OD 和 OM 即可．
23. ①
24. ③④⑤
【解析】①正三棱锥所有侧棱长都相等，底边长都相等，故不正确；
②正三棱锥顶点 A 在底面 BCD 上的射影是 △BCD 的中心，故对棱（如棱 AB 与 CD）垂直，
故不正确；
③当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和等于此正四面体的高，
为定值，故正确；
④若正三棱锥所有棱长均为 2√2，则该棱锥外接球半径为 √3，表面积等于 12π，正确；
⑤若正三棱锥 A−BCD 的侧棱长均为 2，一个侧面的顶角为 40∘，过点 B 的平面分别交侧棱 AC，
AD 于 M，N，则 △BMN 周长的最小值等于 √ 22+22−2×2×2× ( − 1) =2√3，故正确．
2
25. 6π
【解析】由题意，可求得 AB=√2，AC=1，AD=√3．
三棱锥 A−BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，可补成长方体，两者的外接球是同一个．
长方体的对角线就是球的直径，求得直径为 √6，所以外接球的表面积为 6π．
26. （1） 正确．
（2） 不正确．
（3） 不正确．
27. 过 A ，B，C 三点作一个平面，再过 A ，B，C 作一个平面，就把三棱台 ABC−A B C
1 1 1 1 1 1
分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 A −ABC，B−A B C ，A −BCC .
1 1 1 1 1 128. 不一定是提示：如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥BC，BC∥AD．以 AB 为轴旋转形成一
个圆台，以 AD 为轴旋转形成一个圆柱和圆锥的组合体'以 BC 为轴旋转形成一个圆柱挖去一个圆锥
的组合体，以 CD 为轴旋转形成一个圆台挖去一个小圆锥后和另一个圆锥的组合体．
√3 3√3 √ 3a2
29. 底面面积为 6× a2= a2，侧棱长为 √ ℎ 2+a2，斜高为 ℎ 2+ ．
4 2 4
30. （1） 圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD（如图所示）．
由已知可得 O A=2cm，OB=5cm
1
又由题意知腰长 AB=12cm．
所以高 AM=√122−(5−2) 2=3√15(cm)
（2） 如图所示，延长 BA，OO ，CD，交于点 S，
1
l−12 2
设截得此圆台的圆锥的母线长为 l，则由 △SAO ∽△SBO，可得 = ，解得 l=20．
1 l 5
即截得此圆台的圆锥的母线长为 20cm．
