文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023—2024 学年度第一学期北京市第三十五中学期中质量检测初三数
学
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题．28道小题，满分100分．
2．考试时间120分钟．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据轴中心对称图形的概念即可一
一判定即可．
【详解】选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重
合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图
形．
故选：B．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 得顶点坐标为 计算即可，熟练掌握公式是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】抛物线 的顶点坐标是 ，
故选A．
3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆， ，则 的大小为（ ）
A. 30° B. 50° C. 80° D. 100°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半，得∠BOC＝2∠A，进而可得答案．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，
∴∠A＝ ∠BOC＝50°．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．
4. 下列方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用根的判别式逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 故A不符合题意；
∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 故B不符合题意；
∵ ，
∴ 故C符合题意；
∵ ，
∴ 故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“当 一元二次方程有两个不相等的实根，当
一元二次方程有两个相等的实根，当 一元二次方程没有实数根”是解本题的关键．
5. 若将抛物线 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解．
【详解】解：将抛物线 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
6. 如图， 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，若 ，则 等于（ ）．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. 115° B. 75° C. 40° D. 35°
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据旋转的性质可知 ，而 ，然后根据图形即可求出
【详解】解：∵ 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转前后对应边、对应角相等．
7. 一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤进行即可．
【详解】解： 变形为： ，
配方得： ，
即 ；
故选：A．
8. 二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，抛物线与 轴的一个交点在
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
点 和点 之间，其部分图象如图所示，下列结论：① ，② ，③
，④若点 在二次函数的图象上，则关于 的一元二次方程
的两个根分别是 ．其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ③④ C. ①②③④ D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线对称轴为直线 可得 与 的数量关系，从而判断①，
由抛物线顶点纵坐标为3可判断②，由抛物线与 轴的交点范围及抛物线的对称性可判断③，由抛物线经
过 ， 可判断④．
【详解】 抛物线对称轴为直线 ，
，即 ，①正确．
抛物线顶点纵坐标为3，
，
整理得 ，
抛物线开口向下，
， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，②正确．
抛物线与 轴的一个交点在点 和点 之间，称轴是直线 ，
抛物线与 轴的另一交点在 ， 之间，
时， ，③正确．
在抛物线 上，称轴是直线 ，
也在抛物线 上，
的两个根分别是 ，1．④正确．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 二次函数 的开口方向是_________．
【答案】向上
【解析】
【分析】根据函数解析式中a的值直接解答．
【详解】解：∵ ，
∴图象开口方向是向上，
故答案为：向上．
【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．
10. 已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将x=1代入方程求解．
的
【详解】解：∵ 是关于 一元二次方程 的一个根
∴ ，解得：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为：-1．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的概念，理解概念正确代入计算是解题关键．
11. 已知二次函数 （ 是常数），则该函数图象的对称轴是直线 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数解析式，可以计算出该函数的对称轴．
【详解】∵二次函数 （a是常数），
∴该函数的对称轴是直线x＝− ＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12. 某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每
月平均增长率为 ，则可列出的方程是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可直接列出方程．
【详解】解：由题意得：
；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
13. 如图，正方形 的边长为6，点 在边 上．以点 为中心，把 顺时针旋转 至
的位置，若 ，则 ________．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】8
【解析】
【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC
的长．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，
由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，
∴∠ABF＋∠ABC＝180°，
∴C、B、F三点在一条直线上，
∴CF＝BC＋BF＝6＋2＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF＝DE是解答
本题的关键．
14. 如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，连接 ，若 ， ，则 等
于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ， ，得到 ，根据 ， 是 的直径得到 为
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
的中点，根据勾股定理计算即可；
【详解】∵ 是 的直径，弦 ，
∴ 为 的中点， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确利用勾股定理计算是解题的关键．
15. 如图，点A，B，C在⊙O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行四边形，则
_______________．
【答案】120°
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到∠3和∠1的关系，再结合平行四边形的性质和
周角360°即可求出．
【详解】如图，由题有平行四边形ABCO
∴∠1=∠2
∵
∴2∠1=∠3=2∠2
∵∠3+∠2=360°
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴∠2+2∠2=360°
∴∠2=120°
故答案为：120°
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16. 对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
根据二次函数图象的相关性质可知： ______， ______．
【答案】 ①. 1 ②. 3
【解析】
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得m和 的值．
【详解】解：由表格可知， 和 时的函数值相等，
∵表格中的两个函数对称轴都是直线 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1，3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18～23、25题每小题5分，第26、27、28题每
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
小题6分，第24题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解： ，
，
，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 已知：如图所示， 绕点A，顺时针旋转50°，得到 ，当E在BC边上时：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求证： ；
（2）连接BD，当 时，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，根据三角形的外角性质即可证明 ；
（2）根据旋转的性质得到 ，求得 ，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可知， ，
∵ 是 外的角，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由旋转的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
19. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不
等式是解题的关键．
（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据m的范围可知 ，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【小问1详解】
的
解：∵方程 有两个不相等 实数根，
，
；
【小问2详解】
为正整数，且 ，
，
当 时，方程为 ，
解得： ， ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
20. 如图， 中， ，以 为直径的半圆与 交于点 ，与 交于点 ．
（1）求证：点 为 的中点；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质可得到
AD＝BD；
（2）利用圆内接四边形的性质得到∠B＋∠DEC＝180°，则可判断∠AED＝∠B，再利用等腰三角形的性
质得到∠A＝∠B，所以∠A＝∠AED，从而得到结论．
【详解】（1）连接CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵CA＝CB，
∴AD＝BD，即点D为AB的中点；
（2）∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠DEC＝180°，
而∠AED＋∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠B，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等
腰三角形的性质．
21. 如图，用一条长 的绳子围成矩形 ，设边 的长为 ．
（1）边 的长为______________ ，矩形 的面积为______________ （均用含 的代数式表
示）；
（2）矩形 的面积是否可以是 ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．
【答案】（1） ；
（2）矩形 的面积不可以是
【解析】
【分析】（1）根据矩形的周长公式求得边 的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形 的面积；
（2）根据矩形的面积公式得到关于 的方程，通过解方程求得答案．
【小问1详解】
根据题意，知边 长的为： ，
矩形 的面积为： ；
故答案为： ； ；
【小问2详解】
若矩形 的面积是 ，则 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
整理得：
∴ ，
这个方程无解．
矩形 的面积不可以是 ．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22. 如图1，AB是 的直径，点C在 上，D为 的中点，连接BC，OD．
（1）求证： ；
（2）如图2，过点D作AB的垂线与 交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点， 的半
径为2，求弦BC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接BD，由D为 的中点，得 ，则 ，由等腰三角形的性质得
，推出 ，即可得证；
（2）由垂径定理得 ，由平行线的性质得 ，则 是等腰直角三角形，
，易证 是等腰直角三角形，得 ，再由 ，即可得出结果．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问1详解】
证明：连接BD，如图1所示：
∵D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【
小问2详解】
解：∵G为BC中点，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角
三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．
23. 已知：如图，点A ，B ，C 是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移3个
单位长度．
（1）请画出平移后的图形△ABC ；
1 1 1
（2）再将△ABC 绕原点O旋转180°，请画出旋转后的图形△ABC ，并写出点B 的坐标为 ．
1 1 1 2 2 2 2
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，（-2，-4）
【解析】
【分析】（1）按照向右平移，每个点的横坐标都增加3的规律平移即可；
（2）将 ABC 的三个顶点分别绕点O旋转180°，得到对应点A、B、C ，然后顺次连接各点即可．
1 1 1 2 2 2
【详解】△解：（1）作图如图所示；
（2）作图如图所示，旋转后点B 的坐标为（-2，-4），
2
故答案为：（-2，-4）．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的平移和旋转的应用，掌握平移和旋转的含义和方法是本题解题关键．
24. 对于抛物线 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
… …
… …
（1）它与 轴交点的坐标为______________，与 轴交点的坐标为______________，顶点坐标为
______________；
（2）在坐标系中利用描点法画出此拋物线；
（3）根据图象回答： 时， 的取值范围是______________；
（4）利用以上信息解答下列问题：若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在
的范围内有解，则 的取值范围是______________．
【答案】（1） ， ； ；
（2）见解析 （3） 或
（4）
【解析】
【分析】（1）解方程 得抛物线与 轴的交点坐标；计算自变量为0对应的函数值得到抛物
线与 轴的交点坐标；把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）通过列表、描点、连线画出二次函数图象；
（3）观察函数图象确定抛物线在 轴上方时 的取值范围即可；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（4）先利用二次函数的性质得到当 时，函数值的范围为 ，则利用二次函数的图象可
确定关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解时 的范围．
【小问1详解】
当 时， ，解得 ， ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ， ；
当 时， ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ，
∵ ，
抛物线的顶点坐标为 ；
故答案为： ， ； ； ；
【小问2详解】
列表：
0 1 2 3 4
3 0 0 3
描点、连线，如图，
【小问3详解】
根据函数图象可得，当 时， 的取值范围是 或 ；
故答案为： 或 ；
【小问4详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
当 时， ；
当 时， ，
∵当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
当 时， ，
当 时，关于 的一元二次方程 为实数）在 的范围内有解．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，二次函数与坐标轴交点，二次函数
与一元二次方程的关系，画二次函数图象，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
25. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出
口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触
台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如
图1和图2分别建立平面直角坐标系 ．
通过测量得到球距离台面高度 （单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离 （单位：dm）的相关数据，
如下表所示：
表1 直发式
m
表2 间发式
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
n
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中 ________， ________；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为 “间发式”模式下球第二次接
触台面时距离出球点的水平距离为 ，则 ________ （填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线 ，根据对称性即可求得 的值，
根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求
直线解析式，进而将 代入即可求解．
（2）根据题意设抛物线解析式为 ，将点 代入，待定系数法求二次函数解析式
即可求解．
（3）令 ，即 ，得出 ，设抛物线解析式为 ，将
点 代入，得出 ，令 ，即 ，得出 ，
即可求解．
【小问1详解】
解：∵直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；由表1数据，
可知对称轴为直线 ，
∴当 时的函数值与 时的函数值相等，
∴ ，
∵在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设直线解析式为
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
将点 ， 代入得，
，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；
由（1）可得对称轴为 ，顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，将点 代入，
得，
解得：
∴抛物线解析式为
【小问3详解】
解：∵“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为 ，
令 ，即 ，
解得 （舍去）或
∴ ，
∵在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，
由表2可得抛物线的顶点坐标为
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
设抛物线解析式为 ，将点 代入，
得，
解得：
∴抛物线解析式为
令 ，即 ，
解得 （舍去）或
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的
关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，其中
，设抛物线的对称轴为 ．
（1）当 时，如果 ，直接写出 ， 的值；
（2）当 ， 时，总有 ，求t的取值范围．
【答案】26. ， ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
27.
【解析】
【分析】（1）根据题意，当 时， ，由抛物线的对称轴为 ，得到 关于对称轴对称的
点的坐标为 ，即可写出答案；
（2）首先由 ，得到图象开口向下，满足 ， ，可得到 ，求出点 关于对称
轴对称的点为 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，当 时， ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ 关于对称轴对称的点的坐标为 ，
∵ ，且 ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：根据题意可知，当 时， ，
∵ ,
∴图象开口向下，满足 ， ，
∴当 时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为 ,
∴
∴点 关于对称轴对称的点为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，图象开口向下， , ，
∴ 解得 ，
∴ ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 在 中， ，点 是平面内一动点（不与点 重合），连接 ，将
绕点 逆时针旋转 ，至 的位置．
（1）如图1，若点 为 边 的中点， ，则 值为多少？
（2）如图2，若点 在 的边 上，取 中点 ，用等式表示线段 之间的数量关系，
并证明．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
（2）由“ ”可证 ， ，可得 ，可得结论．
【小问1详解】
在 中， ， ，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
为 的边 的中点，
，
将 绕点 逆时针旋转 至 的位置，
， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
，理由如下：
延长 到点 ，使 ，连接 ，如图3，
为 的中点，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
在 和 中，
，
，
， ，
，
由（1）知： ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质
等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和 ，给出如下定义：如果 ，那么
称点 为点 的“关联点”．例如点 的“关联点”为点 ，点 的“关联点”为点
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）在点 中，______________的“关联点”在函数 的图
象上；
（2）如果一次函数 图象上点 的“关联点”是 ，求点 的坐标；
（3）如果点 在函数 的图象上，其“关联点” 的纵坐标 的取值范围是
，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 、
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）点 的“关联点”是 ，点 的“关联点”是 ，点 的“关联
点”是 ，点 的“关联点”是 ，将点的坐标代入函数 ，看是否在函数图象
上，即可求解；
（2）当 时，点 ，则 ；当 时，点 ，则 ，解方程即可求
解；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点” 的纵坐标 的取值范围是 ，
而 ，函数图象只需要找到最大值（直线 与最小值（直线 直线 从大于等于0
开始运动，直到与 有交点结束．都符合要求 ，只要求出关键点即可求解．
【小问1详解】
点 的“关联点”是 ，
点 的“关联点”是 ，
点 的“关联点”是 ，
点 的“关联点”是 ，
将点的坐标代入函数 ，
得 和 在此函数图象上，
故答案为： 、 ；
【小问2详解】
当 时，点 ，
则 ，解得： （舍去）；
当 时，点 ，
，解得： ，
点 ；
【小问3详解】
如图为“关联点”函数图象：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
从函数图象看，“关联点” 的纵坐标 的取值范围是 ，
而 ，
函数图象只需要找到最大值（直线 与最小值（直线 直线 从大于等于0开始运动，直到
与 有交点结束．都符合要求 ，
即 ，解得： （舍去负值），
观察图象可知满足条件的 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中
考常考题型．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
