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人教A版数学--概率专题十五
知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,独立事件的乘法
公式
典例1、为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名
同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬
币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正
确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回
答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为 ，乙答对每
道题目的概率为 ，且两人每道题目是否回答正确相互独立.
（1）求乙同学最终得10分的概率；
（2）记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.
随堂练习：冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛
项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线 的左侧）有一个发球区，
运动员在发球区边沿的投掷线 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆
形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心 的远近决定胜负，甲、乙两人进行
投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆 中，得3分，冰壶的重心落在圆环 中，得2
分，冰壶的重心落在圆环 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为 ， ；甲、乙得2分的概率分别为 ， ；
甲、乙得1分的概率分别为 ， ．
（1）求甲所得分数大于乙所得分数的概率；
（2）设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为 ，求 的分布列和期望．
典例2、某紫砂壶加工工坊在加工一批紫砂壶时，在出窑过程中有的会因为气温骤冷、
泥料膨胀率不均等原因导致紫砂壶出现一定的瑕疵而形成次品，有的直接损毁．通常情
况下，一把紫砂壶的成品率为 ，损毁率为 ．对于烧窑过程中出现的次品，会通过再
次整形调整后入窑复烧，二次出窑，其在二次出窑时不出现次品，成品率为 ．已知一
把紫砂壶加工的泥料成本为500元/把，每把壶的平均烧窑成本为50元/次，复烧前的
整形工费为100元/次，成品即可对外销售，售价均为1500元．
（1）求一把紫砂壶能够对外销售的概率；
（2）某客户在一批紫砂壶入窑前随机对一把紫砂壶坯料进行了标记，求被标记的紫砂
壶的最终获利X的数学期望．随堂练习：2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正
常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫
情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1
月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕
电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加
三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电
视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商
品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为 、 、 ，
已知这三种商品都能抢购成功的概率为 ，至少一种商品能抢购成功的概率为 .
（1）①求 、 的值； ②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.
（2）求张某抢购成功获得的优惠总金额 的分布列和数学期望.
典例3、2022年4月16日上午9：57神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利返
回地面．半年内，航天员们顺利完成了两次出舱任务，两次“天空课堂”讲课，还组织
了天宫画展、春节跨年以及迎元宵活动，为全国观众留下了深刻印象，也掀起了一股航
天热．邢台市某中学航天爱好者协会为了解学生对航天知识的掌握程度，对该校高一、
高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成
绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理的相关信
息：等级 E D C B A
成绩
高一人数 1 2 3 4 10
高二频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.25
（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？
（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不
低于90分的人数记为X，用频率估计概率，求X的分布列和期望．
随堂练习：高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各
有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数
学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想
与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.
（1）求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（2）设 为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求 的分布列和数学期望．
典例4、甲、乙两名同学参加某个比赛，比赛开始前 箱子中装有3个红球3个白球，
箱子中装有1个红球2个白球．比赛规则是：先由甲同学从 箱子中每次取一个球放入
箱子中，若从 箱子中放入 箱子中的球是红球则停止取球，若是白球则继续取球放球过程，直到第一次取到红球并放入 箱子中为止．然后再由乙同学从 箱子中任取一
个球，若取出的是红球则乙同学获胜，否则甲同学获胜．
（1）用 表示甲同学从 箱子中取出放入 箱子中球的个数，求 的分布列及数学期
望；
（2）求甲同学获胜的概率．
随堂练习：为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗
词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为 ，高一年级胜高三年级
的概率为 ，且每轮对抗赛的成绩互不影响．
（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出
的概率；
（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，
但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．典例5、1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国
选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内
涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运
动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一
人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小
王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率
为 ，小马与小张比赛小张获胜的概率为 ，小马与小王比赛小马获胜的概率为 .
（1）比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
（2）比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
随堂练习：猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手
按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功依次分别获得猜公益基
金 元， 元， 元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基
金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．
假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是 ， ， ，该嘉宾选择继续闯关的概率均为 ，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（1）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
（2）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及均值．
典例6、2022年北京冬奥组委会发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告
（2022）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较
长的营销方式.为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关
系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企
业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占 ，统计后得到如下
列联表：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计
线上销售时间不少于8小时 75 100
线上销售时间不足8小时
合计 200
（1）完成上面的 列联表；
（2）根据 列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上
销售时间有关.
附：0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
随堂练习：如今大家对运动越来越重视，讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运
动”和“无氧运动”，有氧运动主要的作用是健身，而无氧运动主要的作用是塑形，一
般的健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体的目的.某健身机构对其60位
会员的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有42人，30岁以下无氧运
动为主的有12人，占30岁以下调查人数的 .
（1）根据以上数据完成如下 列联表；
有氧运动为主 无氧运动为主 总计
30岁以下 12
30岁及以上
总计 42 60（2）能否有 的把握认为运动方式与年龄有关？
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式： ，其中 .
人教A版数学--概率专题十五答案
典例1、答案： （1） （2）分布列见解析，X的数学期望为
解：（1）记“乙同学最终得10分”为事件A，
则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且
对一题错一题，
则 ，所以乙同学得10分的概率是 .
（2）甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.
，
，
，
，
.
X的分布列为
X 0 5 10 15 20
P
， 所以X的数学期望为 .
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，期望为：
解：（1）由题意知甲得 0 分的概率为 ， 乙得 0 分的概率为
，
甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，
甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分所以所求概率为 ．
（2） 可能取值为0，1，2，3，
所以，随机变量 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以
典例2、答案：（1） （2） .
解：（1）设一把紫砂壶第一次出窑为次品为事件A，则 ，
则第一次为次品，经过复烧，二次出窑为成品的概率为 ，
则一把紫砂壶能够对外销售的概率 ，
（2）X的可能取值为1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800，-500-50=-550，
-500-50-100-50=-700，则 ， ，
， ，
则X的分布列为：
950 800 -550 -700
所以最终获利X的数学期望为：
随堂练习：答案： （1）① ；② （2）分布列见解析，数学期望为
元
解：（1）①由题意得 即 解得：
②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件 .则 抢购到大屏幕电视机和冰
箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机，
或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱 . ∴
.
（2） 的可能取值为0，300，500，800，1100，1300，1600
，，
，
，
，
，
∴张某抢购成功获得的优惠总金额 的分布列为
0 300 500 800 1100 1300 1600
张某抢购成功获得的优惠总金额 的数学期望为：
（元）
典例3、答案： （1） ； （2）分布列见解析；期望为1.
解：（1）从高一样本中抽取一人，这个人的成绩不低于 分的概率 ，
从高二样本中抽取一人，这个人的成绩不低于 分的概率为 ，
因此，从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于 分的概率为．
（2）由题意可知，随机变量 的可能取值有 ， ， ， ．
则 ， ，
， ， ．
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
．
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，期望为
解：（1）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 ，
“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件 ,
由于事 件 、 相互独立，且 ，
所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为
.
（2）由题意，随机变量 可能的取值为0，1，2，3，
可得 ， ，， ，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
P
所以随机变量 的数学期望 .
典例4、答案： （1）分布列见解析，数学期望为 （2）
解：（1） 的可能取值是 ，
， ， ，
，
故 的分布列是
故 数学期望为 ， 故 的数学期望是 ．
（2） 时，表示 箱子中装有2个红球2个白球， 则甲获胜的概率
，
时，表示 箱子中装有2个红球3个白球， 甲获胜的概率 ，时，表示 箱子中装有2个红球4个白球， 甲获胜的概率 ，
时，表示 箱子中装有2个红球5个白球， 甲获胜的概率 ，
故甲获胜的概率
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析；期望为
解：（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为 ．
设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，
则 ．
（2）由题意可知 ，3，4，5，
则 ， ，
， ，
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
．
典例5、答案： （1） （2）分布列答案见解析，数学期望：
解：（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件
B，
小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立.则
设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M，
则
（2）X的可能取值为1，2
则X的分布列为
X 1 2
P
则
随堂练习：答案： (1) ；(2)分布列见解析，均值为1125元.
解:(1)事件A=“第一关闯关成功且获得公益基金为零”， A=“第一关闯关成功第二关
1
闯关失败”， A=“前两关闯关成功第三关闯关失败”，
2
显然A与A互斥，且A=A+A，
1 2 1 2
，
，所以该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率为 ；
(2)该嘉宾获得的公益基金总金额 为随机变量， 的可能值为0，1000，3000，
6000，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1000 3000 6000
的均值为： (元)
典例6、答案：（1）答案见解析
（2）有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有
关
解：（1）由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有
100家，
那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企
业占 ，
共有 家.
（22）完成 列联表如下：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计线上销售时间不少于8小时 75 25 100
线上销售时间不足8小时 45 55 100
合计 120 80 200
由题意，得 ，计算得 ， 由于 ，
故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）没有 的把握认为运动方式与年龄有
关
解： （1）依题意可得30岁以下的有 人，则30岁以上的有 人，
所以 列联表如下表所示：
有氧运动为主 无氧运动为主 总计
30岁以下 18 12 30
30岁及以上 24 6 30
总计 42 18 60
（2）由题意， ，所以没有 的把握认为运动方
式与年龄有关.
